周波数変調合成

周波数変調合成（FM合成）は、波形の周波数を変調器で変調することによって波形の周波数を変更する音声合成の一種です。発振器の（瞬間的な）周波数は、変調信号の振幅に応じて変化します。 ^[1]

FM 合成では、倍音と非倍音の両方の音を作成できます。倍音の音を合成するには、変調信号が元の搬送信号と倍音関係にある必要があります。周波数変調の量が増えると、音は次第に複雑になります。搬送信号の非整数倍の周波数 (つまり、非倍音) を持つ変調器を使用することで、非倍音のベルのようなパーカッシブなスペクトルを作成できます。

アナログ発振器を使用したFM合成ではピッチが不安定になる場合があります。^[2]しかし、FM合成はデジタルでも実装でき、より安定しているため標準的な方法になりました。

アプリケーション

デジタルFM合成（瞬間周波数の時間積分を使用した位相変調に相当）は、1974年初頭からいくつかの楽器の基礎となっていました。ヤマハは1974年にFM合成に基づいた最初のプロトタイプのデジタルシンセサイザーを構築し、 ^[3] 1980年にヤマハGS-1を商業的にリリースしました。^{[4] 1978年から}ニューイングランドデジタルコーポレーションによって製造されたシンクラヴィアIには、ヤマハからライセンスを受けたFM合成アルゴリズムを使用したデジタルFMシンセサイザーが含まれていました。^[5]ヤマハの画期的なヤマハDX7シンセサイザーは1983年にリリースされ、1980年代半ばにFMを合成の最前線に持ち込みました。^[6]

アミューズメント用途: PC、アーケード、ゲーム機、携帯電話のFMサウンドチップ

FM 合成は、90 年代半ばまでゲームやソフトウェアの一般的な設定にもなりました。AdLibやSound BlasterなどのIBM PC 互換システム用のサウンドカードにより、 OPL2やOPL3などのヤマハチップが普及しました。シャープX68000やMSX (ヤマハ CX5M コンピュータユニット)などの他のコンピュータではOPMサウンドチップが使用され、その後の CX5M ユニットではOPPサウンドチップが使用されています。NEC PC -88およびPC-98コンピュータでは、 OPNまたはOPNAサウンドチップが使用されています。

アーケードシステムやゲームコンソールでは、OPMは1980年代から1990年代にかけての多くのアーケードボード（セガのSystem 16やカプコンのCP Systemアーケードボードを含む）で使用され、OPNは1980年代の一部のアーケードボードで使用されていました。OPNBは、 SNKのネオジオアーケード（MVS）や家庭用コンソール（AES）マシンで特に使用されたほか、タイトーのアーケードボードの主要な基本サウンドジェネレーターとして使用されました（OPNBのバリアントはタイトーZシステムで使用されていました）。関連するOPN2は、セガのメガドライブ（ジェネシス）、富士通のFMタウンズマーティ、およびセガの一部のアーケードボード（セガシステムC-2やセガシステム32など）で、サウンドジェネレーターチップの1つとして使用されました。

2000 年代を通じて、FM 合成は、主にヤマハ SMAF形式で、着信音やその他のサウンドを再生するためにさまざまな携帯電話でも使用されていました。

歴史

ドン・ブックラ（1960年代半ば）

ドン・ブックラは、チョーニングの特許取得前の1960年代半ばに、自身の楽器にFMを実装した。彼の158、258、259デュアル発振器モジュールには、特定のFM制御電圧入力があり、^[7]モデル208（ミュージックイーゼル）には、プライマリ発振器のFMとAMを可能にするためにハードワイヤードされた変調発振器があった。^{[8]これらの初期のアプリケーションではアナログ発振器が使用され、この機能は、}ミニモーグやARPオデッセイなどの他のモジュラーシンセサイザーやポータブルシンセサイザーにも引き継がれた。

ジョン・チョウニング（1960年代後半～1970年代）

20世紀半ばまでに、音を運ぶ手段である周波数変調（FM）は数十年前から理解されており、ラジオ放送に使用されていました。FM合成は、マックス・マシューズ[引用が必要]によって説明されたデジタルサウンドの新しい可能性に触発され、デジタル合成と空間化の探求を通じて、カリフォルニア州スタンフォード大学のジョン・チョウニング^によって1967年から開発されました。彼のアルゴリズム^[^{引用が必要}^]^は^、 1973年に日本のヤマハにライセンスされました。 ^[3]ヤマハによって商品化された実装（1977年4月の米国特許4018121 ^[9]または米国特許4,018,121 ^[10]）は、実際には位相変調^[^{引用が必要}^]に基づいていますが、どちらも本質的に直交振幅変調の特殊なケースであるため、結果は数学的に同等になります^[^{引用が必要}^]。^[11]

1970年代～1980年代

ヤマハによる拡張

ヤマハのエンジニアは、チョウニングのアルゴリズムを市販のデジタルシンセサイザーに応用し始め、周波数変調中にアナログシステムで通常発生する歪みの導入を回避するための「キースケーリング」方法などの改良を加えたが^[要出典]、ヤマハがFMデジタルシンセサイザーをリリースするまでには数年を要した。^[12] 1970年代、ヤマハは旧社名「日本楽器製造株式会社」の下で多数の特許を取得し、チョウニングの研究を発展させた。^[10]ヤマハは1974年に最初のプロトタイプのFMデジタルシンセサイザーを製作しました。 ^[3]ヤマハは最終的に1980年に最初のFMデジタルシンセサイザーであるヤマハGS-1を発売し、FM合成技術を商品化しました。 ^[4] FM合成は、ヤマハや、ヤマハからライセンスを受けたニューイングランドデジタルコーポレーションの製品など、初期のデジタルシンセサイザーの基礎となりました。 ^[5]

ヤマハのDX7シンセサイザーは1983年に発売され、1980年代を通じて広く普及しました。ヤマハの他のいくつかのモデルも、その10年間にFMシンセシスのバリエーションと進化をもたらしました。^[13]

ヤマハは1970年代にFMのハードウェア実装の特許を取得し、^[10] 1990年代半ばまでFM技術の市場をほぼ独占していました。

カシオによる関連開発

カシオは、位相歪み合成と呼ばれる類似の合成形式を開発し、 CZ シリーズのシンセサイザーで使用しました。この合成形式は、DX シリーズと類似した (ただし、わずかに異なる方法で生成された) 音質を持っていました。

1990年代

特許切れ後の普及

1995年にスタンフォード大学のFM特許が失効したことにより、デジタルFM合成は他のメーカーでも自由に実装できるようになりました。FM合成特許は失効前にスタンフォードに2000万ドルをもたらし、1994年には「スタンフォード史上2番目に利益の大きいライセンス契約」となりました。^[14]

FM は現在、 Native Instrumentsの FM8やImage-LineのSytrusなどのソフトウェアベースのシンセサイザーに多く使用されていますが、一部の最新デジタルシンセサイザーの合成レパートリーにも組み込まれており、通常は減算合成、サンプルベース合成、加法合成、その他の手法などの他の合成方法とオプションとして共存しています。このようなハードウェアシンセサイザーの FM の複雑さの度合いは、単純な 2 オペレータ FM から、Korg KronosやAlesis Fusionの非常に柔軟な 6 オペレータエンジン、 Kurzweil Music Systemsの最新シンセサイザーのような広範囲にモジュール化されたエンジンでの FM の作成までさまざまです。^[^要出典^]

リアルタイム畳み込みと変調（AFM + サンプル）とフォルマントシェーピング合成

ヤマハSY99 ^[15]とFS1R ^{[16]シンセサイザーは、それぞれ}サンプルベース合成とフォルマント合成のカウンターパートとして、非常に強力なFM機能を売りにしていました。FM機能に特化した新しいハードウェアシンセサイザーは、1999年のFS1Rの発売以降市場から姿を消しましたが、Clavia製のNord Leadシンセサイザー、 Alesis Fusionシリーズ、Korg OasysとKronos 、Modor NF-1には、よく発達したFM合成オプションが搭載されています。他のさまざまなシンセサイザーも、メインエンジンを補完するために限定的なFM機能を提供しています。^[要出典]

FS1R には 16 のオペレーターがあり、8 つの標準 FM オペレーターと、オシレーターではなくノイズソースを音源として使用する 8 つの追加オペレーターがありました。調整可能なノイズソースを追加することで、FS1R は人間の声や管楽器で生成される音をモデル化し、打楽器の音も作成できました。FS1R には、フォルマント波形と呼ばれる追加の波形も含まれていました。フォルマントは、チェロ、バイオリン、アコースティックギター、ファゴット、イングリッシュホルン、または人間の声などの共鳴する楽器の音をモデル化するために使用できます。フォルマントは、いくつかの金管楽器の倍音スペクトルにも見られます。^[17]

2000年代～現在

可変位相変調、FM-X 合成、変更された FM など。

2016年、コルグはコンパクトで手頃な価格のデスクトップモジュールであるコルグVolcaシリーズの3ボイス、6オペレーターのFMバージョンであるコルグVolca FMをリリースしました。 ^[18]コルグはまた、減算、アナログモデリング、加算、セミモジュラー、ウェーブシェイピングを備えた6オペレーターのFMシンセシスを統合したopsix（2020）とopsix SE（2023）をリリースしました。

ヤマハは2016年に128ボイスのサンプルベースエンジンと128ボイスのFMエンジンを組み合わせたモンタージュをリリースした。このFMのイテレーションはFM-Xと呼ばれ、8つのオペレーターを備えている。各オペレーターにはいくつかの基本波形の選択肢があるが、各波形にはスペクトルを調整するためのいくつかのパラメーターがある。 ^[19]その後、 2018年に、128ボイスのサンプルベースエンジンに加えて、64ボイス、8オペレーターのFM-Xアーキテクチャを備えた、より手頃な価格のヤマハMODXが続いた。 ^[20] 2022年にリリースされたMODX+では、FM-Xエンジンのボイス数がモンタージュと同じ128に増加した。^[21]モンタージュの後継機として2023年にモンタージュMが発売され、同じ128ボイス、8オペレーターのFM-Xエンジンに加え、128ボイスのサンプルベースエンジンと、新たに導入された16ボイス、3オシレーターのアナログベースエンジンAN-Xが搭載されました。^[22]

エレクトロンは2018年に、エレクトロンの有名なシーケンスエンジンを搭載した8ボイス、4オペレーターのFMシンセサイザーであるDigitoneを発売しました。 ^[23]

FM-X 合成は、 2016 年にYamaha Montageシンセサイザーで初めて導入されました。FM-X は 8 つのオペレーターを使用します。各 FM-X オペレーターには、選択可能なマルチスペクトル波形のセットが用意されており、各 FM-X オペレーターは 3 つまたは 4 つの DX7 FM オペレーターのスタックと同等になります。選択可能な波形のリストには、正弦波、All1 および All2 波形、Odd1 および Odd2 波形、Res1 および Res2 波形が含まれます。正弦波の選択は、DX7 波形と同じように機能します。All1 および All2 波形はのこぎり波です。Odd1 および Odd2 波形はパルス波または矩形波です。これらの 2 種類の波形を使用して、ほとんどの楽器の倍音スペクトルの下部にある基本的な倍音ピークをモデル化できます。 Res1 および Res2 波形は、スペクトルのピークを特定の倍音に移動し、楽器のスペクトルのさらに上の倍音の三角形または丸いグループをモデル化するために使用できます。All1 または Odd1 波形を複数の Res1 (または Res2) 波形と組み合わせる (およびそれらの振幅を調整する) と、楽器またはサウンドの倍音スペクトルをモデル化できます。^[17] ^{[引用が必要]}

8 つの FM 演算子のセットとマルチスペクトル波形を組み合わせる手法は、ヤマハが 1999 年にリリースした FS1R で初めて導入されました。8 つのノイズ演算子を使用した FM-X と同様の結果を達成できました。

スペクトル分析

2 オペレータのデモンストレーション: モジュレータの周波数がキャリアの周波数よりも低い場合、出力ノートはモジュレータのノートになります。

FM 合成には次のような複数のバリエーションがあります。

さまざまなオペレータ配置（ヤマハ用語では「FMアルゴリズム」と呼ばれます）
- 2人のオペレーター
- シリアルFM（多段）
- パラレルFM（複数の変調器、複数の搬送波）、
- それらのミックス
演算子のさまざまな波形
- 正弦波形
- その他の波形
追加変調
- リニアFM
- 指数FM（アナログシンセサイザーのCV/oct.インターフェースの逆対数変換に先行）
- FMと発振器の同期

など

これらのバリエーションの基礎として、次の 2 つの演算子 (2 つの正弦波演算子を使用した線形 FM 合成) のスペクトルを分析します。

2人のオペレーター

1つの変調器によるFM合成で生成されるスペクトルは次のように表される: ^[24]^[25]

変調信号の場合、搬送信号は次のようになる。^{[注 1]} $m(t)=B\,\sin(\omega _{m}t)\,$

{\begin{aligned}FM(t)&\ =\ A\,\sin \left(\,\int _{0}^{t}\left(\omega _{c}+B\,\sin(\omega _{m}\,\tau )\right)d\tau \right)\\&\ =\ A\,\sin \left(\omega _{c}\,t-{\frac {B}{\omega _{m}}}\left(\cos(\omega _{m}\,t)-1\right)\right)\\&\ =\ A\,\sin \left(\omega _{c}\,t+{\frac {B}{\omega _{m}}}\left(\sin(\omega _{m}\,t-\pi /2)+1\right)\right)\\\end{aligned}}

搬送波と変調器の一定の位相項を無視すると、最終的には Chowning 1973 および Roads 1996、p. 232 に記載されている次の式が得られます。 $\phi _{c}=B/\omega _{m}\,$ $\phi _{m}=-\pi /2\,$

{\begin{aligned}FM(t)&\ \approx \ A\,\sin \left(\omega _{c}\,t+\beta \,\sin(\omega _{m}\,t)\right)\\&\ =\ A\left(J_{0}(\beta )\sin(\omega _{c}\,t)+\sum _{n=1}^{\infty }J_{n}(\beta )\left[\,\sin((\omega _{c}+n\,\omega _{m})\,t)\ +\ (-1)^{n}\sin((\omega _{c}-n\,\omega _{m})\,t)\,\right]\right)\\&\ =\ A\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(\beta )\,\sin((\omega _{c}+n\,\omega _{m})\,t)\end{aligned}}

ここで、は搬送波と変調器の角周波数（）、は周波数変調指数、振幅はそれぞれ第1種ベッセル関数である。^{[注 2]} $\omega _{c}\,,\,\omega _{m}\,$ $\,\omega =2\pi f\,$ $\beta =B/\omega _{m}\,$ $J_{n}(\beta )\,$ $n\,$

参照

参考文献

脚注

^ 変調信号は瞬時周波数として、搬送波信号間の時間積分によって位相に変換されることに注意してください。 $m(t)$ $FM(t)$ $[0,t]$
^ 上記の式は三角関数の加算公式を使用して変換されます
${\begin{aligned}\sin(x\pm y)&=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y\end{aligned}}$
ベッセル関数の補題
${\begin{aligned}\cos(\beta \sin \theta )&=J_{0}(\beta )+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(\beta )\cos(2n\theta )\\\sin(\beta \sin \theta )&=2\sum _{n=0}^{\infty }J_{2n+1}(\beta )\sin((2n+1)\theta )\end{aligned}}$

（出典：Kreh 2012）
次のように:
${\begin{aligned}&\sin \left(\theta _{c}+\beta \,\sin(\theta _{m})\right)\\&\ =\ \sin(\theta _{c})\cos(\beta \sin(\theta _{m}))+\cos(\theta _{c})\sin(\beta \sin(\theta _{m}))\\&\ =\ \sin(\theta _{c})\left[J_{0}(\beta )+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(\beta )\cos(2n\theta _{m})\right]+\cos(\theta _{c})\left[2\sum _{n=0}^{\infty }J_{2n+1}(\beta )\sin((2n+1)\theta _{m})\right]\\&\ =\ J_{0}(\beta )\sin(\theta _{c})+J_{1}(\beta )2\cos(\theta _{c})\sin(\theta _{m})+J_{2}(\beta )2\sin(\theta _{c})\cos(2\theta _{m})+J_{3}(\beta )2\cos(\theta _{c})\sin(3\theta _{m})+...\\&\ =\ J_{0}(\beta )\sin(\theta _{c})+\sum _{n=1}^{\infty }J_{n}(\beta )\left[\,\sin(\theta _{c}+n\theta _{m})\ +\ (-1)^{n}\sin(\theta _{c}-n\theta _{m})\,\right]\\&\ =\ \sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(\beta )\,\sin(\theta _{c}+n\theta _{m})\qquad (\because \ J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x))\end{aligned}}$

引用

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文献

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外部リンク

FM 入門、ビル・ショットスタット著
FMチュートリアル
シンセの秘密、第 12 部: 周波数変調入門、Gordon Reid 著
シンセの秘密、第 13 部: 周波数変調についてさらに詳しく、Gordon Reid 著
ポール・ウィッフェンスシンセスクール: パート 3
複素演算子解析を含む FM 合成 FM 合成のミラーサイト、2019

[26] 変調信号は瞬時周波数として、搬送波信号間の時間積分によって位相に変換されることに注意してください。 $m(t)$ $FM(t)$ $[0,t]$

[27] 上記の式は三角関数の加算公式を使用して変換されます
${\begin{aligned}\sin(x\pm y)&=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y\end{aligned}}$
ベッセル関数の補題
${\begin{aligned}\cos(\beta \sin \theta )&=J_{0}(\beta )+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(\beta )\cos(2n\theta )\\\sin(\beta \sin \theta )&=2\sum _{n=0}^{\infty }J_{2n+1}(\beta )\sin((2n+1)\theta )\end{aligned}}$

（出典：Kreh 2012）
次のように:
${\begin{aligned}&\sin \left(\theta _{c}+\beta \,\sin(\theta _{m})\right)\\&\ =\ \sin(\theta _{c})\cos(\beta \sin(\theta _{m}))+\cos(\theta _{c})\sin(\beta \sin(\theta _{m}))\\&\ =\ \sin(\theta _{c})\left[J_{0}(\beta )+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(\beta )\cos(2n\theta _{m})\right]+\cos(\theta _{c})\left[2\sum _{n=0}^{\infty }J_{2n+1}(\beta )\sin((2n+1)\theta _{m})\right]\\&\ =\ J_{0}(\beta )\sin(\theta _{c})+J_{1}(\beta )2\cos(\theta _{c})\sin(\theta _{m})+J_{2}(\beta )2\sin(\theta _{c})\cos(2\theta _{m})+J_{3}(\beta )2\cos(\theta _{c})\sin(3\theta _{m})+...\\&\ =\ J_{0}(\beta )\sin(\theta _{c})+\sum _{n=1}^{\infty }J_{n}(\beta )\left[\,\sin(\theta _{c}+n\theta _{m})\ +\ (-1)^{n}\sin(\theta _{c}-n\theta _{m})\,\right]\\&\ =\ \sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(\beta )\,\sin(\theta _{c}+n\theta _{m})\qquad (\because \ J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x))\end{aligned}}$

[1] ドッジ＆ジェルス 1997、115ページ

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