オイラー・マクローリンの公式

剰余項は、積分が通常、和と完全に等しくならないために生じます。この公式は、r = m、m + 1、…、n − 1に対して、連続する区間[ r、r + 1]に部分積分を繰り返し適用することによって導出できます。これらの積分における境界項が公式の主要項となり、残りの積分が剰余項を形成します。

剰余項は、周期化されたベルヌーイ関数P _k ( x )に関して正確な表現を持つ。ベルヌーイ多項式は、 B ₀ ( x ) = 1およびk ≥ 1の場合、再帰的に定義できる。 $${\displaystyle B_{k}'(x)=kB_{k-1}(x),\qquad \int _{0}^{1}B_{k}(x)\,dx=0.}$$ 周期化されたベルヌーイ関数は次のように定義される。 $${\displaystyle P_{k}(x)=B_{k}{\bigl (}x-\lfloor x\rfloor {\bigr )},}$$ ここで、⌊ x ⌋ はx以下の最大の整数を表すので、x − ⌊ x ⌋ は常に区間[0,1)内に収まります。

この表記法では、剰余項R _pは $${\displaystyle R_{p}=(-1)^{p+1}\int _{m}^{n}f^{(p)}(x){\frac {P_{p}(x)}{p!}}\,dx.}$$

k > 0の場合、 0 ≤ x ≤ 1に対して、 $${\displaystyle {\bigl |}B_{k}(x){\bigr |}\leq {\frac {2\cdot k!}{(2\pi )^{k}}}\zeta (k),}$$ ここでζはリーマンゼータ関数 を表す。この不等式を証明する一つの方法は、多項式B _k ( x )のフーリエ級数を求めることである。この不等式は、xがゼロのとき偶数kに対して達成される。奇数kの場合は項ζ ( k )を省略できるが、この場合の証明はより複雑である（Lehmerを参照）。^{[ 3 ]}この不等式を用いると、剰余項の大きさは次のように推定できる。 $${\displaystyle \left|R_{p}\right|\leq {\frac {2\zeta (p)}{(2\pi )^{p}}}\int _{m}^{n}\left|f^{(p)}(x)\right|\,dx.}$$

B _1からB ₇までのベルヌーイ数は、 1 / 2、1 / 6、0 、 -1 / 30、0、1 / 42、0です。したがって、オイラー・マクローリンの公式の低次のケース は次のようになります。$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=m}^{n}f(i)-\int _{m}^{n}f(x)\,dx&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+\int _{m}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-\int _{m}^{n}f''(x){\frac {P_{2}(x)}{2!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}+\int _{m}^{n}f'''(x){\frac {P_{3}(x)}{3!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}-\int _{m}^{n}f^{(4)}(x){\frac {P_{4}(x)}{4!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+\int _{m}^{n}f^{(5)}(x){\frac {P_{5}(x)}{5!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}}-\int _{m}^{n}f^{(6)}(x){\frac {P_{6}(x)}{6!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}}+\int _{m}^{n}f^{(7)}(x){\frac {P_{7}(x)}{7!}}\,dx.\end{aligned}}}$$

バーゼル問題は、合計を決定することです $${\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{25}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$$

オイラーは1735年にオイラー・マクローリンの公式のわずかな項だけでこの和を小数点以下20桁まで計算した。おそらくこの計算によって、和がπ 2 / 6に等しいと確信し、同年^中にそれを証明した。^{[ 4 ]}

fが多項式でpが十分に大きい場合、剰余項は消滅します。たとえば、f ( x ) = x ^{3の場合、} p = 2を選択して、簡略化すると、 $${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.}$$

この式は有限積分を近似する手段を提供する。a < b を積分区間の端点とする。近似に使用する点の数Nを固定し、対応するステップサイズをh = ⁠ b − a / N − 1 ⁠と表す。x i = a + ( i − 1) h と設定すると、 x 1 = aおよびx N ₌ bとなる。_すると次のようになる_。^{[ 5 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\\&\sim h\left({\frac {f(x_{1})}{2}}+f(x_{2})+\cdots +f(x_{N-1})+{\frac {f(x_{N})}{2}}\right)+{\frac {h^{2}}{12}}{\bigl [}f'(x_{1})-f'(x_{N}){\bigr ]}-{\frac {h^{4}}{720}}{\bigl [}f'''(x_{1})-f'''(x_{N}){\bigr ]}+\cdots \end{aligned}}}$$

これは、補正項を含めることで台形公式を拡張したものと見なすことができる。この漸近展開は通常収束しないことに注意が必要である。fとhに依存するあるpが存在し、 pを超える項は急速に増加する。したがって、剰余項は一般的に注意深く観察する必要がある。^{[ 5 ]}

オイラー・マクローリンの公式は、数値積分における詳細な誤差解析にも用いられます。これは、滑らかな周期関数に対する台形公式の優れた性能を説明するものであり、特定の補外法にも用いられます。クレンショー・カーティス積分は、本質的には変数変換であり、任意の積分を周期関数の積分で表すもので、オイラー・マクローリン法が非常に正確です（この場合、オイラー・マクローリンの公式は離散コサイン変換の形をとります）。この手法は周期化変換として知られています。

和や級数の漸近展開を計算する文脈では、通常、オイラー・マクローリンの公式の最も有用な形式は次のようになります。 $${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)\sim \int _{a}^{b}f(x)\,dx+{\frac {f(b)+f(a)}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\,{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right),}$$

ここで、aとbは整数です。^{[ 6 ]}多くの場合、 a → −∞またはb → +∞またはその両方の極限を取っても展開は有効です。多くの場合、左辺の和は閉じた形で評価できませんが、右辺の積分は初等関数で評価できます。すると、漸近級数のすべての項を初等関数で表すことができます。たとえば、 $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\sim \underbrace {\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\,dk} _{={\dfrac {1}{z}}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{t=1}^{\infty }{\frac {B_{2t}}{z^{2t+1}}}.}$$

ここで左辺はψ ⁽¹⁾ ( z )に等しく、すなわち、次のように定義される1次ポリガンマ関数である。

${\displaystyle \psi ^{(1)}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z);}$

ガンマ関数Γ( z )は、 zが正の整数のとき( z − 1)!に等しくなります。これにより、 ψ ⁽¹⁾ ( z )の漸近展開が得られます。この展開は、スターリングの階乗関数の近似に対する正確な誤差推定値の導出の出発点となります。

アポストルの議論の概要を以下に示します。^{[ 1 ]}

ベルヌーイ多項式B _n ( x )とn = 0, 1, 2, ...の周期ベルヌーイ関数P _n ( x )は、上で紹介しました。

最初のいくつかのベルヌーイ多項式は次のとおりである。 $${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}(x)&=1,\\B_{1}(x)&=x-{\tfrac {1}{2}},\\B_{2}(x)&=x^{2}-x+{\tfrac {1}{6}},\\B_{3}(x)&=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{2}}x,\\B_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\tfrac {1}{30}},\\&\,\,\,\vdots \end{aligned}}}$$

値B _n (1)はベルヌーイ数B _nです。n ≠ 1 の場合、次のように なります。$${\displaystyle B_{n}=B_{n}(1)=B_{n}(0),}$$n = 1 の 場合、 $${\displaystyle B_{1}=B_{1}(1)=-B_{1}(0).}$$

関数P _{n は}区間[0,  1]上でベルヌーイ多項式と一致し 、周期 1 の周期関数です。さらに、n = 1 の場合を除いて、連続でもあります。したがって、 $${\displaystyle P_{n}(0)=P_{n}(1)=B_{n}\quad {\text{for }}n\neq 1.}$$

kを整数とし、積分を考える 。$${\displaystyle \int _{k}^{k+1}f(x)\,dx=\int _{k}^{k+1}u\,dv,}$$ どこ $${\displaystyle {\begin{aligned}u&=f(x),\\du&=f'(x)\,dx,\\dv&=P_{0}(x)\,dx&{\text{since }}P_{0}(x)&=1,\\v&=P_{1}(x).\end{aligned}}}$$

部分積分すると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{k}^{k+1}f(x)\,dx&={\bigl [}uv{\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}v\,du\\&={\bigl [}f(x)P_{1}(x){\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx\\&=B_{1}(1)f(k+1)-B_{1}(0)f(k)-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}}$$

B ₁ (0) = − ⁠ 1 / 2 ⁠、B ₁ (1) = ⁠ 1 / 2 ⁠を使用し、上記をk = 0からk = n − 1まで合計すると、次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{n}f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f(x)\,dx+\cdots +\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx\\&={\frac {f(0)}{2}}+f(1)+\dotsb +f(n-1)+{\frac {f(n)}{2}}-\int _{0}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}}$$

両辺に ⁠ f ( n ) − f (0) / 2 ⁠を加えて整理すると、次のようになる。$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(0)}{2}}+\int _{0}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.}$$

これは総和公式のp = 1 の場合です。帰納法を続けるために、誤差項に部分積分を適用します。 $${\displaystyle \int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx=\int _{k}^{k+1}u\,dv,}$$ どこ $${\displaystyle {\begin{aligned}u&=f'(x),\\du&=f''(x)\,dx,\\dv&=P_{1}(x)\,dx,\\v&={\tfrac {1}{2}}P_{2}(x).\end{aligned}}}$$

部分積分の結果は $${\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl [}uv{\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}v\,du&=\left[{\frac {f'(x)P_{2}(x)}{2}}\right]_{k}^{k+1}-{\frac {1}{2}}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx\\&={\frac {B_{2}}{2}}(f'(k+1)-f'(k))-{\frac {1}{2}}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx.\end{aligned}}}$$

k = 0からk = n − 1まで合計し、これを低次の誤差項に代入すると、次の式の p = 2の場合が得られます。$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(0)}{2}}+{\frac {B_{2}}{2}}{\bigl (}f'(n)-f'(0){\bigr )}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{n}f''(x)P_{2}(x)\,dx.}$$

このプロセスは繰り返すことができる。このようにして、数学的帰納法によって形式化できるオイラー・マクローリンの総和公式の証明が得られる。この帰納法のステップは、部分積分と周期的なベルヌーイ関数の恒等式に基づいている。