静電気学

ガウスの法則^{[ 10 ] [ 11 ]}は、「自由空間内の任意の形状の閉曲面を電場内に描いた場合、その閉曲面を通過する全電気束は、その閉曲面によって囲まれた全電荷に比例する」と述べている。多くの数値計算問題は、物体の周囲にガウス面を考えることで解決できる。数学的には、ガウスの法則は積分方程式の形をとる。

${\displaystyle \Phi _{E}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={Q_{\text{enclosed}} \over \varepsilon _{0}}=\int _{V}{\rho \over \varepsilon _{0}}\mathrm {d} ^{3}r,}$

どこ${\displaystyle \mathrm {d} ^{3}r=\mathrm {d} x\ \mathrm {d} y\ \mathrm {d} z}$は体積要素です。電荷が表面または線に沿って分布している場合は、${\displaystyle \rho \,\mathrm {d} ^{3}r}$による${\displaystyle \sigma \,\mathrm {d} A}$または${\displaystyle \lambda \,\mathrm {d} \ell }$発散定理を用いると、ガウスの法則を微分形式で表すことができる。

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\rho \over \varepsilon _{0}}.}$

どこ${\displaystyle \nabla \cdot }$は発散演算子です。

静電ポテンシャルの定義とガウスの法則の微分形式（上記）を組み合わせると、ポテンシャルΦと電荷密度ρの間の関係が得られます。

$\displaystyle {\nabla }^{2}\phi =-{\rho \over \varepsilon _{0}}.}$

この関係はポアソン方程式の一種である。^{[ 12 ]}不対電荷が存在しない場合、この方程式はラプラス方程式となる。

${\displaystyle {\nabla }^{2}\phi =0,}$

電場は非回転であるため、電場をスカラー関数の勾配として表現することが可能です。${\displaystyle \phi }$静電ポテンシャル（電圧とも呼ばれる）と呼ばれる電場、${\displaystyle E}$、高電位領域から低電位領域への点、数学的には次のように表される。

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi .}$

勾配定理を用いると、静電ポテンシャルは、電荷を点から点へ移動させるのに必要な単位電荷あたりの仕事量であることが証明できる。${\displaystyle a}$指摘する${\displaystyle b}$以下の線積分を用いて：

${\displaystyle -\int _{a}^{b}{\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\ell } }=\phi (\mathbf {b} )-\phi (\mathbf {a} ).}$

これらの式から、電場がゼロになる領域（例えば、導体内部など）では電位が一定であることがわかる。

試験粒子の位置エネルギー、${\displaystyle U_{\mathrm {E} }^{\text{single}}}$は、仕事の線積分から計算できます。${\displaystyle q_{n}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\ell } }$無限遠点から積分し、集合を仮定します。${\displaystyle N}$電荷を帯びた粒子${\displaystyle Q_{n}}$すでにポイントに位置しています${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$この位置エネルギー（ジュール単位）は次のとおりです。

${\displaystyle U_{\mathrm {E} }^{\text{single}}=q\phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {Q_{i}}{\left\|{\mathcal {\mathbf {R} _{i}}}\right\|}}}$

どこ${\displaystyle \mathbf {\mathcal {R_{i}}} =\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}}$各電荷の距離${\displaystyle Q_{i}}$試験電荷から${\displaystyle q}$その地点に位置する${\displaystyle \mathbf {r} }$、 そして${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}$は、${\displaystyle \mathbf {r} }$テスト電荷が存在しない場合。電荷が2つだけ存在する場合、ポテンシャルエネルギーは${\displaystyle Q_{1}Q_{2}/(4\pi \varepsilon _{0}r)}$N個の電荷の集合による全電気ポテンシャルエネルギーは、各粒子について以下の値を加算することによって計算されます。

${\displaystyle U_{\mathrm {E} }^{\text{total}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}Q_{j}\sum _{i=1}^{j-1}{\frac {Q_{i}}{r_{ij}}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}Q_{i}\phi _{i},}$

ここで、 j = 1 からNまでの以下の合計は、 i = jを除く。

${\displaystyle \phi _{i}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\stackrel {j=1}{j\neq i}}^{N}{\frac {Q_{j}}{r_{ij}}}.}$

この電位は、${\displaystyle \phi _{i}}$測定されるのは${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$料金が${\displaystyle Q_{i}}$が欠けていた。この式は明らかに、分散した電荷雲から各点電荷を組み立てるのに必要な（無限の）エネルギーを除外している。電荷の総和は、処方箋を使用して電荷密度の積分に変換できる。${\textstyle \sum (\cdots )\rightarrow \int (\cdots )\rho \,\mathrm {d} ^{3}r}$:

${\displaystyle U_{\mathrm {E} }^{\text{total}}={\frac {1}{2}}\int \rho (\mathbf {r} )\phi (\mathbf {r} )\,\mathrm {d} ^{3}r={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \left|{\mathbf {E} }\right|^{2}\,\mathrm {d} ^{3}r,}$

静電エネルギーのこの 2 番目の表現は、電場が電位の負の勾配であるという事実と、部分積分に似た方法でベクトル解析の恒等式を使用しています。電場エネルギーのこれら 2 つの積分は、静電エネルギー密度の 2 つの相互排他的な式を示しているようです。${\textstyle {\frac {1}{2}}\rho \phi }$そして${\textstyle {\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}}$両者が全空間にわたって積分された場合にのみ、全静電エネルギーの値が等しくなります。

電気伝導体の内部には電場は存在しない。^{[ 15 ]}外部電場は、静電誘導として知られる、物質の他の部分への、または他の部分からの電荷キャリアの移動による表面電荷によって平衡が保たれている。表面の小さな領域のすぐ上の電場と表面電荷を結びつける方程式は次のようになる。 $${\displaystyle \mathbf {E\cdot {\hat {n}}} ={\frac {\sigma }{\epsilon _{0}}}}$$ どこ

• ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$= 表面単位法線ベクトル、
• ${\displaystyle \mathbf {\sigma } }$＝表面電荷密度。

平均電場（外部値の半分）^{[ 16 ]}は導体パッチに力（クーロンの法則）を及ぼし、その力は${\displaystyle \mathbf {f} }$は

${\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {1}{2\epsilon _{0}}}\sigma ^{2}\mathbf {\hat {n}} }$。

表面直下の場に関して言えば、力は次式で与えられる圧力に相当する。

${\displaystyle P={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}(\mathbf {E\cdot {\hat {n}}} )^{2},}$

この圧力は、移動電荷が電子、正孔、または移動陽子であるかどうか、表面電荷の符号、または電場の表面法線成分の符号に関係なく、導体の表面に垂直に作用します。 ^{[ 16 ]}誘電体における電気歪みについても同様の形式があることに注意してください。^{[ 17 ]}