流体力学的安定性

流れの安定性を判断するために用いられる重要なツールは、 1850年代初頭にジョージ・ガブリエル・ストークスによって初めて提唱されたレイノルズ数（Re）です。 1880年代初頭にこの考えをさらに発展させたオズボーン・レイノルズと関連付けられるこの無次元数は、慣性項と粘性項の比を表します。^{[ 4 ]}物理的には、この数は流体の運動量による力（慣性項）と、流れる流体の異なる層の相対運動から生じる力（粘性項）の比です。その式は^{[ 2 ]です。}$${\displaystyle R_{e}={\frac {\text{慣性}}{\text{粘性}}}={\frac {\rho u^{2}}{\frac {\mu u}{L}}}={\frac {\rho uL}{\mu }}={\frac {uL}{\nu }}}$$ どこ

レイノルズ数は、流れが安定しているか不安定であるかの境界点、すなわち臨界レイノルズ数を示すことができるため有用である。${\displaystyle R_{c}}$レイノルズ数が増加すると、不安定性につながる可能性のある擾乱の振幅は小さくなります。^{[ 1 ]}レイノルズ数が高い場合、流体の流れは不安定になると考えられています。レイノルズ数が高い状態は、例えば以下のようないくつかの方法で実現できます。${\displaystyle \mu }$値が小さい場合、または${\displaystyle \rho }$そして${\displaystyle {\text{u}}}$値が高い。^{[ 2 ]}これは、不安定性がほぼすぐに発生し、流れが不安定または乱流になることを意味します。^{[ 1 ]}

流体の流れの安定性を解析的に見つけるためには、流体力学的安定性が磁気流体力学、プラズマ物理学、弾性などの他の分野の安定性と多くの共通点があることに注意することが有用です。それぞれのケースで物理は異なりますが、使用される数学と手法は似ています。本質的な問題は非線形偏微分方程式によってモデル化され、既知の定常解と非定常解の安定性が調べられます。^{[ 1 ]}ほとんどすべての流体力学的安定性問題に対する支配方程式は、ナビエ・ストークス方程式と連続方程式です。ナビエ・ストークス方程式は次のように与えられます。^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\nabla p_{0}+\mathbf {b} ,}$$

どこ

• ${\displaystyle \mathbf {u} }$流体の速度場
• ${\displaystyle p_{0}}$流体の圧力
• ${\displaystyle \mathbf {b} }$流体に作用する物体の力、例えば重力
• ${\displaystyle \nu }$動粘度
• ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}}$速度場の時間に関する偏微分
• ${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}$は勾配演算子です

ここ${\displaystyle \nabla }$これは、方程式の左辺の速度場に作用し、次に右辺の圧力に作用する演算子として使用されます。

連続方程式は次のように表される。 $${\displaystyle {\frac {D\mathbf {\rho } }{Dt}}+\rho \,\nabla \cdot \mathbf {u} =0}$$ どこ${\displaystyle {\frac {D\mathbf {\rho } }{Dt}}}$これは密度の物質微分です。

もう一度${\displaystyle \nabla }$オペレーターとして使用されています${\displaystyle \mathbf {u} }$そして、速度の発散を計算している。

しかし、検討対象の流体が非圧縮性、つまり密度が一定である場合、${\displaystyle {\frac {D{\boldsymbol {\rho }}}{Dt}}=0}$したがって： $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$$

流れが非圧縮性であるという仮定は妥当であり、ほとんどの速度で流れるほとんどの流体に当てはまります。このような仮定を用いることで、ナビエ・ストークス方程式をオイラー方程式のような扱いやすい微分方程式に簡略化することができます。

粘性のない流れ、つまり粘性力が小さく計算で無視できる流れを考えると、オイラー方程式が得られます。 $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =-\nabla p_{0}}$$

この場合、非粘性流体を仮定しましたが、境界が存在する流れではこの仮定は成り立ちません。境界が存在すると、境界層に無視できない粘性が生じ、ナビエ・ストークス方程式に戻ります。さまざまな条件下でこれらの支配方程式の解を求め、その安定性を判断することが、流体の流れ自体の安定性を判断する基本原理となります。

流れが安定か不安定かを判断するには、線形安定性解析法がよく用いられる。この解析法では、支配方程式と境界条件が線形化される。これは、「安定」または「不安定」という概念が無限小の擾乱に基づいているという事実に基づいている。このような擾乱については、波長の異なる擾乱は独立して変化すると考えるのが妥当である。（非線形支配方程式では、波長の異なる擾乱が互いに相互作用する可能性がある。）

分岐理論は 、与えられたシステムの構造の変化に伴う流れの安定性を研究する上で有用な方法です。流体力学的安定性は、一連の微分方程式とその解です。分岐は、システムのパラメータのわずかな変化がその挙動の質的な変化を引き起こすときに発生します。^{[ 1 ]}流体力学的安定性の場合に変化するパラメータはレイノルズ数です。分岐の発生は不安定性の発生と一致することが示されています。^{[ 1 ]}

実験室での実験は、複雑な数学的手法を用いずに特定の流れに関する情報を得るための非常に有効な手段です。流れの時間的変化を実際に観察することは、数値的なアプローチと同様に有用な場合があり、これらの実験から得られた知見は、基礎となる理論と関連付けることができます。また、実験的解析は、支配的なパラメータを非常に容易に変化させることができ、その影響を視覚的に確認できるため、非常に有用です。

分岐理論や弱非線形理論といったより複雑な数学理論を扱う場合、数値的に解くのは非常に困難で時間のかかる作業となりますが、コンピュータの助けを借りれば、このプロセスははるかに容易かつ迅速になります。1980年代以降、計算解析はますます有用になり、ナビエ・ストークス方程式などの支配方程式を解くアルゴリズムの改良により、様々な種類の流れに対してより正確な積分が可能になりました。

ケルビン・ヘルムホルツ不安定性（KHI）は、自然界で見られる流体力学的安定性の応用例です。これは、2つの流体が異なる速度で流れている場合に発生します。流体の速度の差により、2つの層の界面にせん断速度が生じます。 ^{[ 3 ]}一方の流体のせん断速度は、もう一方の流体にせん断応力を誘発し、それが拘束表面張力よりも大きい場合、両者の界面に沿って不安定性が生じます。^{[ 3 ]}この動きにより、ケルビン・ヘルムホルツ不安定性の特徴である、一連の転覆する海洋波が現れます。実際、見かけ上の海洋波のような性質は、流体が何らかの軸を中心に回転するときに形成される渦の形成の一例であり、この現象とよく関連付けられています。

ケルビン・ヘルムホルツ不安定性は、土星や木星などの惑星大気の帯状構造、例えば巨大赤斑渦などに見られます。巨大赤斑を取り巻く大気には、既知のKHIの中で最大の例があり、これは木星大気の異なる層の境界面におけるせん断力によって引き起こされています。先に述べた海洋波のような特徴がはっきりと見える画像が多数撮影されており、最大で4つのせん断層が確認できます。^{[ 5 ]}

気象衛星はこの不安定性を利用して、広大な水域上の風速を測定します。波は風によって発生し、風が水と周囲の空気との境界面で水面をせん断します。衛星に搭載されたコンピューターは、波の高さを測定することで海の粗さを判断します。これはレーダーを用いて行われ、無線信号を水面に送信し、反射信号からの遅延時間（「飛行時間」と呼ばれる）を記録します。気象学者は、この情報から雲の動きや、雲付近で予想される空気の乱れを把握することができます。

レイリー・テイラー不安定性は、流体力学的安定性のもう 1 つの応用例であり、これも 2 つの流体の間で発生しますが、今回は流体の密度が異なります。^{[ 6 ]}密度の違いにより、2 つの流体は結合した位置エネルギーを減らそうとします。^{[ 7 ]}密度の低い流体は上向きに押し上げようとし、密度の高い流体は下向きに押し下げようとします。^{[ 6 ]}したがって、2 つの可能性があります。軽い流体が上にある場合、界面は安定していると言われますが、重い流体が上にある場合、システムの平衡は界面のあらゆる擾乱に対して不安定になります。この場合、両方の流体が混ざり始めます。^{[ 6 ]}少量の重い流体が下方へ押し出され、同量の軽い流体が上方へ押し出されると、位置エネルギーは初期状態よりも低くなるため、^{[ 7 ]}擾乱が大きくなり、レイリー・テイラー不安定性に関連する乱流が発生する。^{[ 6 ]}

この現象は、かに星雲などの星間ガスで見られます。磁場や宇宙線によって銀河面から押し出され、通常のスケールハイトを超えて押し出されると、レイリー・テイラー不安定になります。^{[ 6 ]}この不安定性は、火山噴火や原子爆弾などの過程で形成されるキノコ雲も説明します。

レイリー・テイラー不安定性は地球の気候に大きな影響を与えます。グリーンランドとアイスランドの海岸から吹く風は、通過する海面の蒸発を引き起こし、表面付近の海水の塩分濃度を高め、表面付近の水を高密度にします。これにより、海流を駆動するプルームが発生します。このプロセスはヒートポンプとして機能し、暖かい赤道付近の水を北へ運びます。海洋の循環がなければ、北ヨーロッパは気温の急激な低下に直面する可能性が高いでしょう。^{[ 6 ]}

二成分液体混合物中に均一に分散したコロイド粒子（通常、サイズは1ナノメートルから1ミクロンの範囲）が存在すると、システムが初期状態では安定した重力平衡状態にある場合でも（したがって、上述のレイリー・テイラー不安定性とは逆）、対流流体力学的不安定性を引き起こす可能性があります。液体に、高さとともに濃度が減少する重い分子溶質が含まれている場合、システムは重力的に安定しています。実際、流体の一部が自発的な変動によって上昇すると、密度の低い流体に囲まれることになり、下方に押し戻されます。このメカニズムにより、対流運動が抑制されます。しかし、二成分混合物に均一に分散したコロイド粒子が含まれている場合、このメカニズムが破綻することが示されています。その場合、システムが重力的に安定している場合でも、対流運動が発生します。^{[ 8 ]} この不安定性を理解するための重要な現象は拡散泳動です。コロイド粒子と液体溶液間の界面エネルギーを最小化するために、分子溶質の勾配によってコロイドの内部移動が決定され、コロイドが上方に運ばれ、底部で減少します。言い換えれば、コロイドは液体混合物よりもわずかに密度が高いため、高さとともに局所的に密度が増加します。この不安定性は、熱勾配がない場合でも、液体が底部から加熱されたときに観察されるものと同様の対流運動を引き起こします（ レイリー・ベナール対流として知られています）。この場合、上方への移動は熱膨張によるものであり、パターン形成につながります。^{[ 8 ]} この不安定性は、熱帯魚のカラフルな縞模様など、動物が複雑で特徴的なパターンを得る仕組みを説明しています。^{[ 9 ]}