スケールの高さ

大気科学、地球科学、惑星科学において、スケールハイト（通常、大文字のHで表記）は、物理量がe（自然対数の底、約 2.718） の係数で減少する距離（垂直または半径）です。

惑星の大気の場合、スケールハイトは高度の増加に応じて大気圧がe倍に減少する。スケールハイトは特定の温度では一定である。これは^{[1] [2]で計算できる。}

$${\displaystyle H={\frac {k_{\text{B}}T}{mg}}}$$ または同等の 場合には、 $${\displaystyle H={\frac {RT}{Mg}}}$$

• k _B =ボルツマン定数=1.381 × 10 ⁻²³  J⋅K ⁻¹ ‍ [ ^3]
• R =モル気体定数
• T =ケルビン単位の平均大気温度=地球の場合250 K ^[4]
• m = 分子の平均質量
• M = 大気粒子の平均モル質量= 地球の場合 0.029 kg/mol
• g =現在の位置における重力加速度

特定の高度における圧力（単位面積あたりの力）は、その上にある大気の重さによって決まります。高さzにおける大気の密度が ρで圧力がPである場合、上方に非常に小さな高さdzだけ移動すると、圧力はdPだけ減少します。これは、厚さdzの大気層の重さに等しい値です 。

ここで、 g は重力加速度です。dz が小さい場合、gは一定であると仮定できます。マイナス記号は、高さが増加すると圧力が減少することを示します。したがって、平均分子量Mの理想気体の温度Tにおける状態方程式を使用すると、密度は次のように表すことができます 。$${\displaystyle {\frac {dP}{dz}}=-g\rho }$$$${\displaystyle \rho ={\frac {MP}{RT}}}$$

これらの式を組み合わせると次の式が得られます 。これを上記の H の式と組み合わせると次の式が得られます。 これは温度が変化しない限り変化しません。上記を積分し、P _{0 が高さ}z = 0での圧力(海面での圧力) であると仮定すると、高さzでの圧力は次のように表すことができます。 $${\displaystyle {\frac {dP}{P}}={\frac {-dz}{{k_{\text{B}}T}/{mg}}}}$$$${\displaystyle {\frac {dP}{P}}=-{\frac {dz}{H}}}$$$${\displaystyle P=P_{0}\exp \left(-{\frac {z}{H}}\right)}$$

これは、圧力が高度とともに指数関数的に減少することを意味します。 ^[5]

地球の大気では、海面気圧P ₀は平均して約1.01 × 10 ⁵  Pa、乾燥空気の平均分子量は28.964  Daなのでm =28.964 日×1.660 × 10 ⁻²⁷  kg/Da =4.808 × 10 ⁻²⁶  kg。温度の関数として、地球の大気のスケールハイトはH / T = k / mg =となる。1.381 × 10 ⁻²³  J⋅K ⁻¹ / (4.808 × 10 ⁻²⁶  kg ×9.81 m⋅s ⁻² ) =29.28 m/K。これにより、代表的な気温のスケール高さは次のようになります。

• 気温= 290 K、標高= 8500 m
• 気温= 273 K、標高= 8000 m
• 気温= 260 K、標高= 7610 m
• 気温= 210 K、標高= 6000 m

これらの数値は、NRLMSISE-00にプロットされた地球の大気の温度と密度と比較する必要があります。NRLMSISE-00では、空気の密度が海面での1200 g/m ^{3から 70 km で 0.125 g/m 3}に低下していることがわかります。これは、係数 9600 で、平均スケール高さが 70 / ln(9600) = 7.64 km であることを示しており、その範囲での平均気温が 260 K 近くであることと一致しています。

注記：

• 密度は理想気体の法則によって圧力と関連している。したがって、密度は海面のρ ₀から高度とともに指数関数的に減少する。ρ 0 はおよそ次の式に等しい。1.2 kg⋅m ⁻³。
• 高度 100 km を超えると、大気は十分に混合されなくなり、各化学物質は独自のスケールの高さを持ちます。
• ここでは温度と重力加速度は一定であると仮定しましたが、どちらも長距離にわたって変化する可能性があります。

選択された太陽系天体の大気スケール高度のおおよその値:

たとえば原始星のような凝縮した中心物体の周りのガス円盤の場合、惑星のスケール高さに似た円盤スケール高さを導き出すことができます。中心物体に比べて質量が小さいガス円盤から始めます。円盤は星からの重力のz成分と静水圧平衡状態にあり、重力成分は円盤の中央面を指していると仮定します。 ここで、 $${\displaystyle {\frac {dP}{dz}}=-{\frac {GM_{*}\rho z}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}}}}$$

• G =重力定数≈6.674 × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² ‍ [ ^15]
• r =星または中心に凝縮された物体の中心からの距離を表す放射状円筒座標
• z =ディスクの中央面（または星の中心）からの距離を表す高さ/高度の円筒座標
• M _* = 恒星/中心凝縮体の質量
• P = ディスク内のガスの圧力
• ${\displaystyle \rho}$= ディスク内のガス質量密度

薄い円板近似では、静水圧平衡方程式は ${\displaystyle z\ll r}$$${\displaystyle {\frac {dP}{dz}}\approx -{\frac {GM_{*}\rho z}{r^{3}}}}$$

ガス圧を決定するには、理想気体の法則を使用する こと ができます。 $${\displaystyle P={\frac {\rho k_{\text{B}}T}{\bar {m}}}}$$

• T = ディスク内のガス温度。温度はrの関数だが、zには依存しない。
• ${\displaystyle {\bar {m}}}$= ガスの平均分子量

理想気体の法則と静水力平衡方程式 を用いると、次の式が得られます。 この式の解は、 です 。 ここで、は、星の中心から距離rにある円盤の中央面でのガス質量密度、は円盤のスケール高さで、 太陽質量、は天文単位、 は原子質量単位です。 $${\displaystyle {\frac {d\rho }{dz}}\approx -{\frac {GM_{*}{\bar {m}}\rho z}{kTr^{3}}}}$$$${\displaystyle \rho =\rho _{0}\exp \left(-\left({\frac {z}{h_{D}}}\right)^{2}\right)}$$${\displaystyle \rho_{0}}$${\displaystyle h_{D}}$$${\displaystyle h_{D}={\sqrt {\frac {2kTr^{3}}{GM_{*}{\bar {m}}}}}\approx 0.0306{\sqrt {\frac {\left(T/100\ {\text{K}}\right)\left(r/1{\text{ au}}\right)^{3}}{\left(M_{*}/M_{\odot }\right)\left({\bar {m}}/2{\text{ amu}}\right)}}}\ {\text{ au}}}$$${\displaystyle M_{\odot}}$${\displaystyle {\text{au}}}$${\displaystyle {\text{amu}}}$

例示的な近似として、温度の半径方向の変化を無視すると、中心の物体から半径方向に離れるにつれてディスクの高度が増加することが わかります。${\displaystyle T}$${\displaystyle h_{D}\propto r^{3/2}}$

ディスク内のガス温度Tはzに依存しないという仮定により、等温ディスクスケール高と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle h_{D}}$

中心物体の周りの薄いガスディスク内の磁場は、ディスクのスケールハイトを変化させる可能性がある。^{[16] [17] [18]}たとえば、非完全導電性ディスクがポロイダル磁場（つまり、初期磁場がディスクの平面に垂直）の中を回転している場合、ディスク内にトロイダル（つまり、ディスク平面に平行）磁場が生成され、ディスクが挟まれて圧縮される。この場合、ディスクのガス密度は次のようになる。^[18]

$${\displaystyle \rho (r,z)=\rho _{0}(r)\exp \left(-\left({\frac {z}{h_{D}}}\right)^{2}\right)-\rho _{\text{cut}}(r)\left[1-\exp \left(-\left({\frac {z}{h_{D}}}\right)^{2}\right)\right]}$$ ここ で、カットオフ密度は 、${\displaystyle \rho _{\text{カット}}}$$${\displaystyle \rho _{\rm {cut}}(r)=(\mu _{0}\sigma _{D}r)^{2}\left({\frac {B_{z}^{2}}{\mu _{0}}}\right)\left({\frac {\Omega _{*}}{\Omega _{K}}}-1\right)^{2}}$$

• ${\displaystyle \mu _{0}}$自由空間の透過性である
• ${\displaystyle \sigma _{D}}$ディスクの電気伝導率です
• ${\displaystyle B_{z}}$はポロイダル磁場の方向の磁束密度である。${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \Omega _{*}}$中心物体の回転角速度です（ポロイダル磁場が中心物体から独立している場合はゼロに設定できます）${\displaystyle \Omega _{*}}$
• ${\displaystyle \Omega _{K}}$中心物体からの距離における円盤のケプラーの 角速度です。${\displaystyle r}$

これらの式は、磁化ディスクの 最大高さ を次のように与え、 一方、e-折り畳み磁気スケールの高さ は次のように与えられる。 ${\displaystyle H_{B}}$$${\displaystyle H_{B}=h_{D}{\sqrt {\ln \left(1+\rho _{0}/\rho _{\rm {cut}}\right)}},}$$${\displaystyle h_{B}}$$${\displaystyle h_{B}=h_{D}{\sqrt {\ln \left(1+{\frac {1-1/e}{1/e+\rho _{\text{cut}}/\rho _{0}}}\right)}}\ .}$$

• 時間定数