レイリー・テイラー不安定性

システムに導入される摂動は、極めて小さな振幅の速度場によって記述される。流体は非圧縮性であると仮定されるため、この速度場は流れ関数表現 を持つ。${\displaystyle (u'(x,z,t),w'(x,z,t)).\,}$

$${\displaystyle {\textbf {u}}'=(u'(x,z,t),w'(x,z,t))=(\psi _{z},-\psi _{x}),\,}$$

ここで、下付き文字は偏微分を表します。さらに、最初は静止している非圧縮性流体では渦がなく、流体は非回転のままです。したがって、流れ関数表現では、次に、システムのx方向 の並進不変性により、仮説を立てることができます。${\displaystyle \nabla \times {\textbf {u}}'=0\,}$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =0.\,}$

$${\displaystyle \psi \left(x,z,t\right)=e^{i\alpha \left(x-ct\right)}\Psi \left(z\right),\,}$$

ここで、は空間波数である。したがって、問題は次の方程式を解くことに帰着する。 ${\displaystyle \alpha \,}$

$${\displaystyle \left(D^{2}-\alpha ^{2}\right)\Psi _{j}=0,\,\,\,\ D={\frac {d}{dz}},\,\,\,\ j=L,G.\,}$$

問題の領域は次のとおりです。ラベル「L」の流体は領域 に存在し、ラベル「G」の流体は上半平面 に存在します。ソリューションを完全に指定するには、境界とインターフェイスの条件を固定する必要があります。これにより波の速度cが決定され、システムの安定性特性が決まります。 ${\displaystyle -\infty <z\leq 0\,}$${\displaystyle 0\leq z<\infty \,}$

これらの条件のうち最初のものは境界の詳細によって提供されます。摂動速度は無フラックス条件を満たす必要があり、境界で流体が漏れ出さないようにします。したがって、では、では となります。流れ関数では、これは次のようになります 。${\displaystyle w'_{i}\,}$${\displaystyle z=\pm \infty .\,}$${\displaystyle w_{L}'=0\,}$${\displaystyle z=-\infty \,}$${\displaystyle w_{G}'=0\,}$${\displaystyle z=\infty \,}$

$${\displaystyle \Psi _{L}\left(-\infty \right)=0,\qquad \Psi _{G}\left(\infty \right)=0.\,}$$

他の 3 つの条件は、インターフェイスで詳細に提供されます。 ${\displaystyle z=\eta \left(x,t\right)\,}$

垂直速度の連続性： では、垂直速度は に一致する。流れ関数表現を使用すると、次の式が得られる。 ${\displaystyle z=\eta }$${\displaystyle w'_{L}=w'_{G}\,}$

$${\displaystyle \Psi _{L}\left(\eta \right)=\Psi _{G}\left(\eta \right).\,}$$

拡大する と${\displaystyle z=0\,}$

$${\displaystyle \Psi _{L}\left(0\right)=\Psi _{G}\left(0\right)+{\text{H.O.T.}},\,}$$

ここで、HOT は「高次項」を意味します。この式は必要な界面条件です。

自由表面条件: 自由表面では、運動条件が成り立ちます。 ${\displaystyle z=\eta \left(x,t\right)\,}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}+u'{\frac {\partial \eta }{\partial x}}=w'\left(\eta \right).\,}$$

線形化すると、これは単純に

$${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}=w'\left(0\right),\,}$$

ここで、速度は表面 に線形化されます。通常モードと流れ関数の表現を使用すると、この条件は、2 番目の界面条件になります。 ${\displaystyle w'\left(\eta \right)\,}$${\displaystyle z=0\,}$${\displaystyle c\eta =\Psi \,}$

界面を横切る圧力関係:表面張力 の場合、界面における圧力差はヤング・ラプラス方程式で表されます。 ${\displaystyle z=\eta }$

$${\displaystyle p_{G}\left(z=\eta \right)-p_{L}\left(z=\eta \right)=\sigma \kappa ,\,}$$

ここでσは表面張力、κは界面の 曲率であり、線形近似では

$${\displaystyle \kappa =\nabla ^{2}\eta =\eta _{xx}.\,}$$

したがって、

$${\displaystyle p_{G}\left(z=\eta \right)-p_{L}\left(z=\eta \right)=\sigma \eta _{xx}.\,}$$

しかし、この条件は総圧力（ベース+摂動）を参照するため、

$${\displaystyle \left[P_{G}\left(\eta \right)+p'_{G}\left(0\right)\right]-\left[P_{L}\left(\eta \right)+p'_{L}\left(0\right)\right]=\sigma \eta _{xx}.\,}$$

（通常通り、摂動量はz=0の面上に線形化できる。）静水力バランスを用いると、

$${\displaystyle P_{L}=-\rho _{L}gz+p_{0},\qquad P_{G}=-\rho _{G}gz+p_{0},\,}$$

これは

$${\displaystyle p'_{G}-p'_{L}=g\eta \left(\rho _{G}-\rho _{L}\right)+\sigma \eta _{xx},\qquad {\text{on }}z=0.\,}$$

摂動圧力は、摂動に対する 線形化オイラー方程式の水平運動量方程式を用いて、流れ関数の観点から評価され、次の式 が得られる。 $${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}'}{\partial t}}=-{\frac {1}{\rho _{i}}}{\frac {\partial p_{i}'}{\partial x}}\,}$$${\displaystyle i=L,G,\,}$

$${\displaystyle p_{i}'=\rho _{i}cD\Psi _{i},\qquad i=L,G.\,}$$

この最後の方程式とジャンプ条件を組み合わせると、 ${\displaystyle p'_{G}-p'_{L}}$

$${\displaystyle c\left(\rho _{G}D\Psi _{G}-\rho _{L}D\Psi _{L}\right)=g\eta \left(\rho _{G}-\rho _{L}\right)+\sigma \eta _{xx}.\,}$$

2番目の界面条件を代入し、通常モード表現を使用すると、この関係は次のようになる。 ${\displaystyle c\eta =\Psi \,}$

$${\displaystyle c^{2}\left(\rho _{G}D\Psi _{G}-\rho _{L}D\Psi _{L}\right)=g\Psi \left(\rho _{G}-\rho _{L}\right)-\sigma \alpha ^{2}\Psi ,\,}$$

ラベルを付ける必要がない（派生語のみ） 。${\displaystyle \Psi \,}$${\displaystyle \Psi _{L}=\Psi _{G}\,}$${\displaystyle z=0.\,}$

解決

成層流のモデルが構築されたので、解は手元にあります。境界条件を伴う流れ関数方程式の解は次のようになります。 ${\displaystyle \left(D^{2}-\alpha ^{2}\right)\Psi _{i}=0,\,}$${\displaystyle \Psi \left(\pm \infty \right)\,}$

$${\displaystyle \Psi _{L}=A_{L}e^{\alpha z},\qquad \Psi _{G}=A_{G}e^{-\alpha z}.\,}$$

最初の界面条件は、において、 が作用することを規定しており 、 3番目の界面条件は、 ${\displaystyle \Psi _{L}=\Psi _{G}\,}$${\displaystyle z=0\,}$${\displaystyle A_{L}=A_{G}=A.\,}$

$${\displaystyle c^{2}\left(\rho _{G}D\Psi _{G}-\rho _{L}D\Psi _{L}\right)=g\Psi \left(\rho _{G}-\rho _{L}\right)-\sigma \alpha ^{2}\Psi .\,}$$

この方程式に解を代入すると、次の関係式が得られる。

$${\displaystyle Ac^{2}\alpha \left(-\rho _{G}-\rho _{L}\right)=Ag\left(\rho _{G}-\rho _{L}\right)-\sigma \alpha ^{2}A.\,}$$

Aは両側から打ち消され、残るのは

$${\displaystyle c^{2}={\frac {g}{\alpha }}{\frac {\rho _{L}-\rho _{G}}{\rho _{L}+\rho _{G}}}+{\frac {\sigma \alpha }{\rho _{L}+\rho _{G}}}.\,}$$

この結果の意味を完全に理解するには、表面張力がゼロの場合を考えるのが役に立つ。

$${\displaystyle c^{2}={\frac {g}{\alpha }}{\frac {\rho _{L}-\rho _{G}}{\rho _{L}+\rho _{G}}},\qquad \sigma =0,\,}$$

そして明らかに

• 、かつcが実数の場合、これはライター用液体が上部にあるときに発生します。${\displaystyle \rho _{G}<\rho _{L}\,}$${\displaystyle c^{2}>0\,}$
• 、かつc が純粋に虚数である場合、これは重い流体が上にあるときに発生します。${\displaystyle \rho _{G}>\rho _{L}\,}$${\displaystyle c^{2}<0\,}$

さて、重い液体が上に来ると、そして ${\displaystyle c^{2}<0\,}$

$${\displaystyle c=\pm i{\sqrt {\frac {g{\mathcal {A}}}{\alpha }}},\qquad {\mathcal {A}}={\frac {\rho _{G}-\rho _{L}}{\rho _{G}+\rho _{L}}},\,}$$

ここで、アトウッド数である。正の解を取ると、解は次の形になることがわかる。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}\,}$

$${\displaystyle \Psi \left(x,z,t\right)=Ae^{-\alpha |z|}\exp \left[i\alpha \left(x-ct\right)\right]=A\exp \left(\alpha {\sqrt {\frac {g{\tilde {\mathcal {A}}}}{\alpha }}}t\right)\exp \left(i\alpha x-\alpha |z|\right)\,}$$

そしてこれは界面位置ηと次のように関連付けられる：ここで定義する${\displaystyle c\eta =\Psi .\,}$${\displaystyle B=A/c.\,}$