ドナルドソンの定理

数学、特に微分位相幾何学とゲージ理論において、ドナルドソンの定理は、 4次元のコンパクトで方向性のある滑らかな多様体の定常 交差形式は対角化可能であることを述べています。交差形式が正（負）定常である場合、整数上の単位行列（負の単位行列）に対角化できます。定理の元のバージョン^[1]では、多様体が単連結である必要がありましたが、後に任意の基本群を持つ4次元多様体に適用できるように改良されました。^[2]

この定理はサイモン・ドナルドソンによって証明されました。これは1986年に彼が受賞したフィールズ賞の受賞理由となった貢献です。

ドナルドソンの証明は、4次元多様体上の主-バンドル上の反自己双対方程式の解のモジュライ空間 を利用している。アティヤ・シンガー指数定理により、モジュライ空間の次元は次のように与えられる。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{P}}$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \dim {\mathcal {M}}=8k-3(1-b_{1}(X)+b_{+}(X)),}$

ここで、はチャーン類、はの最初のベッチ数、 は交差形式に関するの正定値部分空間の次元です。 が定常交差形式と単連結である場合、方向を変更した後でも、常におよび が成り立ちます。したがって、 を持つ任意の主-バンドルを取ると、次元 5 のモジュライ空間が得られます。 ${\displaystyle k=c_{2}(P)}$${\displaystyle b_{1}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle b_{+}(X)}$${\displaystyle H_{2}(X,\mathbb {R} )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle b_{1}(X)=0}$${\displaystyle b_{+}(X)=0}$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

このモジュライ空間は非コンパクトかつ一般的に滑らかであり、特異点は可約接続に対応する点にのみ発生し、そのような可約接続は正確に多数存在する。^[3]クリフォード・タウベスとカレン・ウーレンベックの結果は、が非コンパクトである一方で、無限遠での構造は容易に記述できることを示している。^{[4] [5] [6]}すなわち、例えば、の開集合が存在し、パラメータ を十分に小さく選択すると、微分同相写像が存在する。 ${\displaystyle b_{2}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\varepsilon }}$${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\varepsilon }{\xrightarrow {\quad \cong \quad }}X\times (0,\varepsilon )}$。

タウベスとウーレンベックの研究は、本質的には、任意の一点に曲率が無限に集中する四次元多様体上のASD接続の列を構築することに関するものである。そのような各点について、極限では一意の特異ASD接続が得られ、ウーレンベックの除去可能な特異点定理を使用して、その点で明確に定義された滑らかなASD接続になる。^{[6] [3]}${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$

ドナルドソンは、 の内部の可約接続に対応する特異点も記述できることを観察しました。それらは、複素射影平面上の円錐のように見えます。さらに、そのような特異点の数を数えることができます。を の標準表現によって に関連付けられた上の -バンドルとします。すると、ゲージを法とする可約接続は、 上の複素直線バンドルである分割と 1-1 対応します。^[3]以下を計算できます。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle E=L\oplus L^{-1}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E=L\oplus L^{-1}}$

${\displaystyle 1=k=c_{2}(E)=c_{2}(L\oplus L^{-1})=-Q(c_{1}(L),c_{1}(L))}$、

ここで、 はの第二コホモロジー上の交差形式です。 上の直線束は第一チャーン類 によって分類されるので、ゲージを法とする可約接続はとなるペアと 1-1 対応していることがわかります。ペアの数を とします。整数上の任意の負定値二次形式に適用される基本的な議論から、 が対角化可能である場合のみ等式となることがわかります。^[3]${\displaystyle Q}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle c_{1}(L)\in H^{2}(X;\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \pm \alpha \in H^{2}(X;\mathbb {Z} )}$${\displaystyle Q(\alpha ,\alpha )=-1}$${\displaystyle n(Q)}$${\displaystyle n(Q)\leq {\text{rank}}(Q)}$${\displaystyle Q}$

したがって、次のようにしてモジュライ空間をコンパクト化することができます。まず、各円錐を可約特異点で切断し、 のコピーを接着します。次に、 のコピーを無限遠に接着します。結果として得られる空間は、と のコピーの互いに素な和集合 (方向は不明) の間の共ボルディズムです。4次元多様体のシグネチャは共ボルディズム不変量です。したがって、は確定的であるため、次のようになります。 ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n(Q)}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\text{rank}}(Q)=b_{2}(X)=\sigma (X)=\sigma (\bigsqcup n(Q)\mathbb {CP} ^{2})\leq n(Q)}$、

これから、 の交差形式は対角化可能であると結論付けられます。 ${\displaystyle X}$

マイケル・フリードマンは以前、任意のユニモジュラ対称双線型形式は、何らかの閉じた有向四次元多様体の交差形式として実現されることを示しました。この結果をセールの分類定理およびドナルドソンの定理と組み合わせると、いくつかの興味深い結果が見られます。

1) 任意の不定対角化不可能な交差形式は、微分可能な構造を持たない4 次元位相多様体を生成します(したがって、平滑化できません)。

2) 2 つの滑らかな単連結 4 次元多様体が同相であるための必要十分条件は、それらの交差形式が同じランク、シグネチャ、およびパリティを持つ場合です。

• ユニモジュラー格子
• ドナルドソン理論
• ヤン・ミルズ方程式
• ロクリン定理

• ドナルドソン、SK（1983）、「ゲージ理論の4次元位相幾何学への応用」、微分幾何学ジャーナル、18（2）：279–315、doi：10.4310/jdg/1214437665、MR  0710056、Zbl  0507.57010
• ドナルドソン、SK; クロンハイマー、PB (1990)、「4次元多様体の幾何学」、オックスフォード数学モノグラフ、ISBN 0-19-850269-9
• フリード、DS;ウーレンベック、K. (1984)、インスタントンと4次元多様体、シュプリンガー
• フリードマン、M.; クイン、F. (1990)、4次元多様体の位相、プリンストン大学出版
• Scorpan, A. (2005)、「4次元多様体のワイルドワールド」、アメリカ数学会