外国為替オプション

金融において、外国為替オプション（一般的にはFXオプションまたは通貨オプションと略される）は、ある通貨建ての金銭を、指定された日に、事前に合意された為替レートで別の通貨に交換する権利を与えるが、義務を負わないデリバティブ金融商品である。^[1]外国為替デリバティブを参照。^[2]

外国為替オプション市場は、あらゆる種類のオプションの中で最も深く、最大かつ最も流動性の高い市場です。ほとんどの取引は店頭取引 (OTC)で、規制は緩やかですが、一部は国際証券取引所、フィラデルフィア証券取引所、シカゴ商品取引所などの取引所で先物契約のオプションとして取引されています。国際決済銀行は、2005 年に取引所取引通貨オプションの世界市場を名目上 158.3 兆ドルと評価しました。^{[引用が必要]}

たとえば、GBPUSD 契約では、所有者に 12 月 31 日に 1,000,000 ポンドを売却し、2,000,000 ドルを購入する権利を与えることができます。この場合、事前に合意された為替レート、つまり行使価格は1 GBP あたり 2.0000 USD (または通常引用される GBP/USD 2.00) であり、想定元本 (名目額) は 1,000,000 ポンドと 2,000,000 ドルです。

このタイプの契約は、ドルのコールとポンドのプットの両方であり、為替レートのプットであるため、通常は GBPUSD プットと呼ばれますが、USDGBPコールと呼ばれることもあります。

12 月 31 日のレートが 2.0000 より低い場合 (たとえば 1.9000)、つまりドルが強くなりポンドが弱くなる場合、オプションが行使され、所有者は GBP を 2.0000 で売却し、すぐにスポット市場で 1.9000 で買い戻すことができます。このプロセスで (2.0000 GBPUSD - 1.9000 GBPUSD) × 1,000,000 GBP = 100,000 USD の利益が得られます。代わりに GBP で利益を得る場合 (スポット市場で USD を売却)、これは 100,000 / 1.9000 = 52,632 GBP になります。

• コール オプション– 固定された日付と価格で資産を購入する権利。
• プットオプション– 固定された日付と価格で資産を売却する権利。
• 外国為替オプション – 固定された日付とレートで、ある通貨でお金を売り、別の通貨でお金を買う権利。
• 行使価格– 投資家がオプションを行使できる資産価格。
• スポット価格– 取引時の資産の価格。
• 先物価格– 将来の時点での資産の配送価格。
• 想定元本– オプションにより投資家が売却または購入できる各通貨の金額。
• 想定元本の比率 –現在のスポットや先物ではなく、行使価格。
• ニュメレール– 資産が評価される通貨。
• 非線形ペイオフ - 単純な FX オプションのペイオフは、基礎となる通貨に対して線形であり、支払い額は特定のnuméraireで表されます。
• ニューメレールの変更– FX オプションの暗黙のボラティリティは、やはり非線形性のせいで、購入者のニューメレールに依存します。${\displaystyle x\mapsto 1/x}$
• イン・ザ・マネー – プット オプションの場合、これは現在の価格が権利行使価格よりも低い場合であり、行使すると利益が発生します。コール オプションの場合は状況が逆になります。

FX オプションと従来のオプションの違いは、後者の場合、取引は一定の金額を支払い、商品、株式、またはその他の非金銭資産を購入または売却する権利を受け取ることです。FX オプションでは、問題の資産も別の通貨建ての金銭です。

たとえば、原油のコール オプションを使用すると、投資家は特定の価格と日付で原油を購入できます。取引の反対側の投資家は、実質的に通貨のプット オプションを売っていることになります。

残余リスクを排除するために、トレーダーは現地通貨の想定元本ではなく、外貨の想定元本を一致させます。そうしないと、受け取った外貨と渡した外貨が相殺されません。

上記の例のように、レートのFXオプションの場合、GBPUSDのオプションは、USDを基準としてGBPUSDに線形のUSD値を与えます（2.0000から1.9000への動きは0.10 × ⁠2,000,000ドル/2.0000ドル⁠ = 100,000 ドルの利益）ですが、GBP 値は非線形です。逆に、USDGBP レートでは GBP 値は線形ですが、USD 値は非線形です。これは、レートを反転すると、非線形である の効果があるためです。 ${\displaystyle x\mapsto 1/x}$

企業は主に、外貨建ての不確実な将来のキャッシュフローをヘッジする ために FX オプションを使用します。一般的なルールは、特定の外貨建てのキャッシュフローを先物でヘッジし、不確実な外貨建てのキャッシュフローをオプションでヘッジすることです。

英国の製造会社が、エンジニアリング機器一台を90日以内に納品し、10万ドルの支払いを受ける予定であるとします。今後90日間で英ポンドが米ドルに対して上昇した場合、英国企業は10万ドルを英ポンドに両替した後に受け取る英ポンドの額が減るため損失を被ります。しかし、英ポンドが米ドルに対して下落した場合、英国企業が受け取る英ポンドの額は増えます。この不確実性により、企業は為替リスクにさらされます。キャッシュフローが確実であると仮定すると、企業は90日以内に10万ドルを現在の先物為替レートで英ポンドと引き換えに納品する先物契約を締結できます。この先物契約は無料であり、予想される現金が到着すると仮定すると、企業のエクスポージャーと正確に一致し、為替リスクを完全にヘッジします。

キャッシュフローが不確実な場合、フォワード FX 契約では、予想される USD 現金が受け取られなかった場合に、企業は反対方向の FX リスクにさらされるため、通常はオプションの方が良い選択となります。^{[引用が必要]}

オプションを使用すると、英国企業は GBP コール/USD プット オプション (予想収入の一部または全部を所定のレートでポンドで売却する権利) を購入でき、次のメリットが得られます。

• 企業が90日以内に期待するGBPの価値を保護する（現金が受け取られると仮定）
• コストは最大でもオプションプレミアムのみ（損失が無制限になる可能性があるフォワードとは異なります）
• 予想した現金が受け取れなかったが、為替レートが有利に動いた場合に利益が得られる

株式オプションのブラック・ショールズ・モデルや特定の金利オプションのブラック・モデルと同様に、為替レートのヨーロピアン・オプションの価値は通常、レートが対数正規分布に従うと仮定して計算されます。^[3]

最も初期の通貨オプション価格モデルは、ビガーとハルによって発表されました (Financial Management、1983 年春)。このモデルは、ガーマンとコールハーゲンのモデルに先行していました。1983 年に、ガーマンとコールハーゲンはブラック ショールズ モデルを拡張し、2 つの金利 (各通貨に 1 つ) の存在に対応しました。 が国内通貨の満期までの無リスク金利で、 が外国通貨の無リスク金利であるとします (ここで、国内通貨はオプションの価値を取得する通貨です。また、この式では、FX レート (ストライクと現在のスポットの両方) が「外国通貨の単位あたりの国内通貨の単位」で見積もられる必要があります)。結果も同じ単位で、意味のあるものにするには、いずれかの通貨に変換する必要があります。^[4]${\displaystyle r_{d}}$${\displaystyle r_{f}}$

すると、外貨へのコールオプションの国内通貨価値は

${\displaystyle c=S_{0}e^{-r_{f}T}{\mathcal {N}}(d_{1})-Ke^{-r_{d}T}{\mathcal {N}} (d_{2})}$

プットオプションの価値は価値がある

_{${\displaystyle p=Ke^{-r_{d}T}{\mathcal {N}}(-d_{2})-S_{0}e^{-r_{f}T}{\mathcal {N} }(-d_{1})}$}

どこ ：

${\displaystyle d_{1}={\frac {\ln(S_{0}/K)+(r_{d}-r_{f}+\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}}$

${\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}}}$

${\displaystyle S_{0}}$現在のスポットレートは

${\displaystyle K}$行使価格は

${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$累積正規分布関数である

${\displaystyle r_{d}}$国内リスクフリーの単純金利である

${\displaystyle r_{f}}$外国リスクフリーの単純金利は

${\displaystyle T}$満期までの期間（適切な日数計算規則に従って計算されます）

そして、為替レートの変動性です。${\displaystyle \sigma}$

以前の価格設定モデルは、Biger と Hull の Financial Management (1983 年春) によって発表されました。このモデルは、Garman と Kolhagen モデルに先行するものです。オプションのリスク エクスポージャー、つまりギリシャ文字の計算には、さまざまな手法が使用されています(たとえば、Vanna-Volga 法)。すべてのモデルによって生成されるオプション価格は一致していますが (Garman-Kohlhagen 法を使用)、スポット価格の変動、ボラティリティ サーフェス、金利曲線の特性に使用される仮定によって、リスクの数値は大幅に異なる場合があります。

ガーマン・コールハーゲンの次によく使われるモデルはSABRとローカルボラティリティ^[要出典]ですが、リスク数値を相手方と合意する場合（デルタの交換や25デルタオプションの行使価格の計算など）には、常にガーマン・コールハーゲンが使用されます。