1 42 多面体

8 次元幾何学では、1 _{42 は}E ₈群の対称性内で構築された均一な 8 次元多面体です。

コクセター記号は1 ₄₂で、 1 ノードシーケンスの端に単一のリングを持つ 分岐コクセター-ディンキン図を表します。

平行化された 1 _{42 は}、 1 ₄₂の中間辺の点によって構成され、二重平行化された 2 ₄₁および四重平行化された 4 ₂₁と同じである。

^{これらの多面体は、8 次元の 255 (2 8}  − 1)個の凸一様多面体の族の一部であり、一様多面体の面と頂点図形で構成され、このCoxeter-Dynkin 図の空でない環のすべての組み合わせによって定義されます。。

1 ₄₂は 2400 面体、すなわち 240 個の1 ₃₂多面体と 2160 個の7次元半立方体( 1 ₄₁ ) から構成されます。その頂点図形は7 次元単体の双曲線図形です。

この多面体は、半八面体とともに、記号1 ₅₂で表される 8 次元空間と、コクセター・ディンキン図をモザイク状に並べることができます。。

• EL Elte (1912) は、この多面体が6面体のタイプを2つ以上持つため、半正多面体のリストから除外しましたが、彼の命名規則では、17280の頂点を持つため、V ₁₇₂₈₀と呼ばれます。^[1]
• コクセターは、 1 ノードの枝の端に単一のリングを持つ分岐コクセター-ディンキン図にちなんで、これを1 _{42と名付けました。}
• ジアコシトラコント-ジスキリアヘクトヘキサコンタ-ゼットン（略称bif） - 240-2160 ファセットポリゼットン（ジョナサン・バワーズ）^[2]

17280 個の頂点は、次の符号と位置の順列として定義できます。

全記号の組み合わせ（32）：（280×32=8960頂点）

(4、2、2、2、2、0、0、0)

符号の組み合わせの半分（128）：（（1+8+56）×128=8320頂点）

(2、2、2、2、2、2、2、2、2)

(5、1、1、1、1、1、1、1、1)

(3、3、3、1、1、1、1、1)

この座標系では辺の長さは 2 √ 2であり、多面体の半径は 4 √ 2です。

これは、8 次元空間内の 8 つの超平面ミラーのセットに基づくWythoff 構成によって作成されます。

ファセット情報は、Coxeter-Dynkin 図から抽出できます。。

2長枝の端のノードを削除すると、7デミキューブ、1 ₄₁が残ります。。

4長枝の端のノードを削除すると、1 ₃₂が残ります。。

頂点図形は、環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることで決定されます。これにより、双平行化7単体、0 ₄₂、。

配置行列で見ると、要素数はミラー除去とコクセター群の順序の比によって導出できる。^[3]

_{E 8}の部分対称性、すなわちE ₇、 E ₆、 B ₈、 B ₇、 B ₆、 B 5 _{、 B 4}、 B ₃、 B ₂、 A ₇、および A ₅ コクセター平面、およびさらに20次および 24 次対称平面の正投影が示されています。頂点は円として示され、各射影平面での重なりの順序によって色分けされています。

平行化された 1 _{42 は}、頂点が 1 ₄₂の中央の辺に位置する1 ₄₂多面体の平行化であることからその名前が付けられています。長さ 4、2、1 の 3 つの枝の中心にリングがある 0 ₄₂₁多面体とも呼ばれます。

• 0 ₄₂₁多面体
• 2 ₄₁多面体
• 四辺形化された 4 ₂₁多面体
• 整流された240-2160ファセットポリゼットン（頭字語バフィー）としての整流されたジアコシトラコント-ジスキリアヘクトヘキサコンタ-ゼットン（ジョナサン・バワーズ）^[4]

これは、8 次元空間内の 8 つの超平面ミラーのセットに基づくWythoff 構成によって作成されます。

ファセット情報は、Coxeter-Dynkin 図から抽出できます。。

長さ1の枝の端にあるノードを削除すると、7-単体の双対枝が残ります。

2次元枝の端にあるノードを削除すると、2次元7次元立方体が残ります。。

3長枝の端のノードを削除すると、整流された1 _32が残ります。。

頂点図形は、環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることで決定されます。これにより、5セルの三角形のデュオプリズムプリズムが作成されます。。

配置行列で見ると、要素数はミラー除去とコクセター群の順序の比によって導くことができる。^[5]

B ₆、 B ₅、 B ₄、 B ₃、 B ₂、 A ₇、および A ₅ コクセター平面の部分対称性の正投影が表示されます。頂点は円で表示され、各射影平面での重なりの順序によって色分けされます。

_{（E 8}： E ₇、 E ₆、 B ₈、 B ₇ 、[24]の平面は大きすぎて表示できないため表示されていません。）

• E8多面体のリスト

• HSM Coxeter、Regular Polytopes、第 3 版、Dover New York、1973 年
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイヴィック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
  • (論文 24) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Klitzing、Richard。「8D 均一ポリゼッタ」。o3o3o3x *c3o3o3o3o - ビフ、o3o3o3x *c3o3o3o3o - バフィー