大きな集合（組合せ論）

組合せ数学では、正の整数の大きな集合

${\displaystyle S=\{s_{0},s_{1},s_{2},s_{3},\dots \}}$

逆数の 無限和が

${\displaystyle {\frac {1}{s_{0}}}+{\frac {1}{s_{1}}}+{\frac {1}{s_{2}}}+{\frac {1}{s_{3}}}+\cdots }$

発散します。小集合とは、大きくない正の整数の部分集合、つまり逆数の合計が収束する集合です。

大きな集合は、ミュンツ・サースの定理や等差数列に関するエルデシュ予想に登場します。

• 正の整数のすべての有限部分集合は小さい。
• すべての正の整数の集合は大集合です。この記述は調和級数の発散と同等です。より一般的には、任意の等差数列（つまり、 a  ≥ 1、b  ≥ 1、n  = 0、1、2、3、...のan  +  bの形式のすべての整数の集合）は大集合です。${\displaystyle \{1,2,3,4,5,\dots \}}$
• 平方数の集合は小さいです (バーゼル問題を参照)。立方数の集合、4 乗の集合なども同様です。より一般的には、 2 次以上の任意の多項式の正の整数値の集合は小さい集合を形成します。
• 2の累乗の集合 {1, 2, 4, 8, ...} は小さな集合であり、任意の等比数列(つまり、 a  ≥ 1、b  ≥ 2、n =  0、1、2、3、...の形式ab ^{nの数の集合) も小さな集合です。}
• 素数 の集合は大きい。双子素数の集合は小さい（ブルンの定数を参照）。
• 素数ではない素数累乗の集合（すなわち、 n  ≥ 2 かつpが素数であるp ^{n の}形式のすべての数）は、素数が大きいにもかかわらず小さい。この特性は解析的整数論で頻繁に使用される。より一般的には、完全累乗の集合は小さく、冪数集合でさえ小さい。
• 与えられた基数で展開したときに与えられた桁を含まない数の集合は小さい。例えば、集合

${\displaystyle \{1,2,\dots ,5,6,8,9,\dots ,15,16,18,19,\dots ,65,66,68,69,80,81,\dots \}}$

小数点展開で数字 7 を含まない整数の累乗は小さい。このような累乗はケンプナー累乗と呼ばれます。

• 上漸近密度がゼロでない集合は大きい。
• aとbが互いに素である等差数列an+bのすべての素数の集合は大きい (等差数列に関するディリクレの定理を参照)。

• 小さな集合のすべてのサブセットは小さいです。
• 有限個の小集合の和は小さい。なぜなら、2 つの収束級数の和は収束級数だからである。(集合論の用語では、小集合はイデアルを形成します。)
• すべての小さな集合の補数は大きいです。
• ミュンツ・サースの定理は、集合が大きいことと、 が張る多項式の集合が、正の実数の閉区間上の連続関数の一様ノルム位相において稠密であることに限ると述べています。これは、ストーン・ワイエルシュトラスの定理の一般化です。${\displaystyle S=\{s_{1},s_{2},s_{3},\dots \}}$$${\displaystyle \{1,x^{s_{1}},x^{s_{2}},x^{s_{3}},\dots \}}$$

ポール・エルデシュは、 すべての大きな集合には任意に長い等差数列が含まれていると予想した。彼はその証明に対して、他のどの予想よりも高額な3000ドルの賞金を提示し、この賞金提示は最低賃金法に違反していると冗談を言った。^[1]この疑問は未だに解決されていない。

一般に、与えられた集合が大きいか小さいかを識別する方法はわかっていません。その結果、大きいか小さいかがわからない集合が多数存在します。

• 逆数の和の一覧

• AD Wadhwa (1975). 調和級数の興味深いサブシリーズ。アメリカ数学月刊誌 82 (9) 931–933. JSTOR  2318503