対立の四角形

用語論理（哲学論理学の一分野）において、対立四角形は、 4つの基本的な定言命題間の関係を表す図である。この四角形の起源は、アリストテレスの論文『解釈論』における矛盾と対立という2つの対立概念の区別に遡ることができる。しかし、アリストテレス自身はこの図を描いておらず、それは数世紀後に行われた。

まとめ

伝統的な論理学では、命題（ラテン語：propositio）とは、現代の言語哲学や論理学における命題の意味ではなく、口頭による主張（oratio enunciativa ）を指します。定言命題 $とは、主語（ S$ ）と述語（ $P$ ）の2つの項を含む単純な命題であり、述語は主語に対して肯定または否定されます。

すべての定言命題は、ラテン語のaff i rmo (私は肯定する)に基づく肯定命題 $A$ と $I$ 、およびn e g o (私は否定する) に基づく否定命題 $E$ と $O$ の4 つの論理形式のいずれか $に$ 還元 $できます$ 。これらは次の $とおり$ $です$ 。

A命題、普遍肯定（universalis affirmativa ） $は$ 、ラテン語では「omne $S$ est $P$ 」であり、通常は「すべての $S$ は $P$ である」と訳される。
$E$ 命題、普遍否定（universalis negativa）、ラテン語形「nullum $S$ est $P$ 」、通常「 $S$ は $P$ ではない」と訳される。
$I$ 命題、特定肯定 ( specificis affermativ ) は、ラテン語で「quoddam $S$ est $P$ 」、通常「ある $S$ は $P$ 」と訳されます。
$O$ 命題、特定否定 ( specificis negativa )、ラテン語では「quoddam $S$ nōn est $P$ 」、通常は「ある $Sは$ $P$ ではない」と訳されます。

表形式で：

命題 $A は$ 「すべての $Sは$ $P$ である」と表現できます。しかし、命題 $E$ をそれに対応して「すべての $Sは$ $P$ ではない」と表現すると、曖昧になります^{[ 2 ]。} $これは、命題がE$ または $O の$ どちらにもなり得るため、形式を決定するには文脈が必要となるからです。標準形式「どの $Sも$ $P$ ではない」は曖昧ではないため、こちらが好まれます。命題 $O は、「いくつかの$ $Sは$ $P$ ではない」および「ある特定の $Sは$ $P で$ はない」という形式も取ります(ラテン語 'Quoddam $S$ nōn est $P$ .')。

** $Sx$ 現代の形式では、声明は $S$ オブジェクトに適用する $x$ 単純に「 $x$ は $S$ 多くの場合。 $Sx$ 次のように書くこともできます $S(x)$ 。

アリストテレスは（『ヘルメイネイアスの実験』（Περὶ Ἑρμηνείας、ラテン語De Interpretatione、英語 'On Interpretation'）の第 6 章と第 7 章で）これら 4 種類の命題の間には一定の論理的関係があると述べています。彼は、すべての肯定には必ず 1 つの否定が対応し、すべての肯定とその否定は「対立」しており、常に一方が真で他方が偽であると述べています。肯定文とその否定のペアは、彼が「矛盾」と呼ぶものです。（中世ラテン語ではcontradictio）。矛盾語の例としては、「すべての男性は白人である」と「すべての男性が白人であるわけではない」（「一部の男性は白人ではない」とも読む）、「白人はいない」と「一部の男性は白人である」などがある。

反対関係、副反対関係、副交代関係、上交代関係といった以下の関係は、 $S$ として述べられたもの（あるいは現代論理学において命題 $S$ を満たすもの）が存在するという伝統的な論理学の仮定に基づいて成り立つ。この仮定を取り除くと、これらの関係は成り立たなくなる。

'逆に（中世：contrariae）矛盾命題とは、両方の命題が同時に真であることはできない命題のことである。例えば、普遍肯定命題「すべての男性は白人である」と普遍否定命題「白人はいない」は、同時に真であることはできない。しかし、これらは矛盾命題ではない。なぜなら、両方とも偽である可能性があるからである。例えば、すべての男性が白人であるというのは偽である。なぜなら、白人ではない男性もいるからである。しかし、白人はいないというのも偽である。なぜなら、白人の男性もいるからである。

すべての命題には矛盾する反対命題（否定）が存在し、矛盾する命題は反対命題が偽である場合に真となるため、反証命題（中世の論理学者はこれを副反証命題、subcontrariaeと呼んだ）の反対命題は両方とも真となり得るが、両方とも偽となることはあり得ない。副反証命題は普遍命題の否定であるため、中世の論理学者はこれを「特殊命題」と呼んだ。

このことから暗示されるもう 1 つの論理的関係は、アリストテレスによって明示的に言及されてはいないが、「交代」（alternatio）であり、「下位交代」から成る。' と '超交代下位交替とは、特定の命題と、同じ性質（肯定または否定）の普遍命題との間の関係であり、特定の命題が普遍命題によって暗示されるものである。一方、上位交替とは、普遍命題の偽（同等に普遍命題の否定）が特定の命題の偽（同等に特定の命題の否定）によって暗示されるものである。^{[ 3 ]}（上位交替は下位交替の対偶である。）これらの関係において、特定の命題は普遍命題の下位であり、普遍命題は特定の命題の上位である。例えば、「すべての人は白人である」が真であれば、その反対命題「白人はいない」は偽である。したがって、矛盾命題「何人かの人は白人である」は真である。同様に、普遍命題「白人はいない」は、特定の命題「すべての人が白人ではない」を暗示する。^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

要約すれば：

普遍的な命題は相反するものである。「すべての人は正義である」と「誰も正義ではない」は同時に真であることはできない。ただし、一方が真で他方が偽である場合や、両方が偽である場合（少なくとも一人の人が正義であり、少なくとも一人の人が正義でない場合）はあり得る。
個々の命題は相反する命題である。「ある人は正義である」と「ある人は正義ではない」は同時に偽であることはできない。
ある性質に関する特定の命題は、その同じ性質に関する普遍命題の下位命題であり、普遍命題は特定の命題の上位命題である。なぜなら、アリストテレス意味論では、「すべての $A$ は $B$ である」は「ある $A$ は $B$ である」を意味し、「 $A$ は $B$ ではない」は「ある $Aは$ $B$ ではない」を意味するからである。現代の英語の文の形式的解釈では、「すべての $A$ は $Bである」は「任意の$ $x$ について、 $x$ が $A$ であるという命題は $xが$ $B$ であるという命題を意味する」と解釈され、これは「ある $xは$ $A$ である」を意味しないことに注意されたい。しかし、これは意味論的解釈の問題であり、時折主張されるように、アリストテレス論理が「間違っている」ことを意味するものではない。
普遍的肯定（ $A$ ）と特定的否定（ $O$ ）は矛盾している。ある $Aが$ $B$ でないならば、すべての $Aが$ $B$ であるとは限らない。逆に、現代の意味論ではそうではないが、すべての $Aが$ $B$ でないならば、ある $Aは$ $B$ でないと考えられていた。この解釈は困難を引き起こした（下記参照）。アリストテレスのギリシャ語では、特定的否定は「ある $Aは$ $B$ でない」ではなく「すべての $A$ が $Bであるとは限らない」と表現されているが、彼の『$ ヘルマネアスの道』の注釈の中で、ある人物は特定的否定を「quoddam A nōn est $B$ 」、文字通り「ある $Aは$ $B$ ではない」と訳しており、中世の論理学に関するすべての著作では、特定命題をこのように表現するのが慣例となっている。

これらの関係は、ボエティウスが描いた図の基礎となり、中世の論理学者が論理関係を分類するために使用しました。命題は正方形の4つの角に配置され、関係はそれらの間に引かれた線として表されるため、「対立の正方形」という名前が付けられました。したがって、次のケースを作成できます。^{[ 6 ]}

$A$ が真であれば、 $E$ は偽、 $I$ は真、 $O$ は偽である。
$E$ が真であれば、 $A$ は偽、 $I$ は偽、 $O$ は真である。
$Iが$ 真であれば、 $E$ は偽であり、 $A$ と $O$ は不確定である。
$O$ が真であれば、 $A$ は偽であり、 $E$ と $Iは$ 不確定である。
$A$ が偽の場合、 $O$ は真であり、 $E$ と $Iは$ 不確定である。
$E$ が偽の場合、 $I$ は真であり、 $A$ と $O$ は不確定である。
$I$ が偽であれば、 $A$ は偽、 $E$ は真、 $O$ は真である。
$O$ が偽であれば、 $A$ は真、 $E$ は偽、 $I$ は真である。

それらを記憶するために、中世の人々は次のようなラテン語の韻を考案しました。^{[ 7 ]}

$adfirmat$ 、negat $E$ 、sed universaliter ambae; $私は$ 、 $O$ を否定し、特定のことを行います。

これは、上記のいずれの場合においても、AとEが両方とも真でも両方とも偽でもないことを断言している。Iと $O$ について $も$ $同様$ $で$ ある。最初の2つは普遍的な命題であるのに対し、 $I$ / $O$ は特定の命題を指す。

対立四角形は、中世の論理学者が記述したカテゴリー推論、すなわち転換と反証と対位法に用いられた。これら3種類のカテゴリー推論はそれぞれ、 $A$ 、 $E$ 、 $I$ 、 $O$ の4つの論理形式に適用された。

存在論的重要性の問題

中世の論理学者が「quoddam $A$ est $B$ 」（ある特定の $A$ は $B$ $で$ ある）と「quoddam $A$ non est $B$ 」（ある特定の $A$ は B ではない）という形で表した副次的矛盾命題（I $と$ $O$ ）は、両方とも偽であることはできない。なぜなら、それらの普遍的矛盾命題（ $Aは$ $B$ ではない/ すべての $A$ は $Bである）は両方とも真であることはできないからである。これは、$ ピエール・アベラール（1079 年 2 月 12 日 - 1142 年 4 月 21 日）によって最初に指摘された困難につながる。「ある $A$ は $B$ である」は、「何かが $A$ である」、つまり $A$ である何かが存在することを暗示しているように見える。例えば、「ある男は白人である」は、「ある男は白人である」が真であれば、少なくとも 1 つの存在が人間、つまり白人でなければならない人間であることを暗示しているように見える。しかし、「ある男は白人ではない」という命題が真であれば、人間として何かが存在する、つまり白人ではない人間が存在することも暗示している。しかし、アリストテレス論理学では、必然的にこれらの命題（より一般的には「ある特定の $Aは$ $B$ である」と「ある特定の $Aは$ $B$ ではない」）のいずれかが真である必要があり、つまり、両方とも偽であることはあり得ません。したがって、両方の命題は少なくとも1つの人間が存在することを示唆しているので、人間または複数の人間が存在することになります。しかし、アベラールが『弁証法』で指摘しているように、人間は存在しない可能性もあるのではないでしょうか？^[⁸^]

なぜなら、人間が全く存在しない場合、「すべての人間は人間である」という命題も、「ある人間は人間ではない」という命題も真ではないからである。^{[ 9 ]}

アベラールはまた、「石である男」のように、何も意味しない主語を含む副次対立命題はどちらも偽であると指摘している。

「すべての石人間は石である」が真であるならば、その偶発的転換（「いくつかの石は石人間である」）も真である。しかし、石は石人間ではない。なぜなら、この人間もあの人間も石ではないからである。しかし、「ある石人間は石ではない」という命題も必然的に偽である。なぜなら、それが真であると仮定することは不可能だからである。^{[ 10 ]}

テレンス・パーソンズ（1939年 - 2022年）は、古代の哲学者たちは存在論的含意の問題を経験していなかったと主張している。なぜなら、存在論的含意を持つのはA（普遍肯定）形式とI（個別肯定）形式のみであったからである。（ある命題に、その命題が、その命題に関連する事物が存在しない場合、すなわち、その命題に関連する事物が存在しない場合、その命題が偽となるような項が含まれている場合、その命題はその命題に関して存在論的含意を持つと言われる。）

肯定文には存在論的な意味があり、否定文にはない。したがって、古代人はアリストテレスが定式化した正方形の矛盾を見なかった。なぜなら、そもそも矛盾など存在しなかったからである。^{[ 11 ]}

彼は続けて中世の哲学者ウィリアム・オブ・オッカム（ 1287年頃 - 1347年4月9日/10日）を引用している。

肯定命題では、項は常に何かを想定していると主張される。したがって、何も想定しない場合は命題は偽である。しかし、否定命題では、項が何かを想定していないか、述語が真に否定されている何かを想定しているかのどちらかである。したがって、否定命題には2つの真理の原因がある。^{[ 12 ]}

そして、ボエティウスによるアリストテレスの著作への注釈が、 $O$ 形が実存的な意味を持つという誤った考えを生み出したと指摘している。

しかし、ボエティウス（480年頃- 524年）がこのテキストについてコメントする際、彼は現在有名な図を用いてアリストテレスの教義を説明し、「ある人は正義ではない」という表現を用いている。したがって、これは彼にとってラテン語の自然な同義語に思えたに違いない。英語では奇妙に見えるが、彼はそれを気にしなかった。^[¹³^]

現代の反対広場

フレーゲの対立の四角形。以下のconträrは訂正です。正しくは*subconträr*です。

19世紀、ジョージ・ブール（1815年11月 - 1864年12月8日）は、個別命題（ $I$ と $O ）の両方の項に$ 存在意味を要求する一方で、普遍命題（ $A$ と $E$ ）のすべての項には存在意味を欠くことを許容すると主張した。この決定により、ベン図は項論理に特に使いやすくなった。このブールの仮定に基づく対立の四角形は、しばしば現代の対立の四角形と呼ばれる。現代の対立の四角形では、 $A$ と $O$ の命題は矛盾しており、 $E$ と $I$ も同様であるが、他のすべての形式の対立は成り立たなくなる。反対、副反対、副交替、上交替は存在しない。したがって、現代の観点からすると、古い論理学者が主張したように、ある命題には複数の異なる反対があり、それらがその命題と異なる種類の対立関係にあると主張するよりも、ある命題の「唯一の」対立について語る方が理にかなっていることが多い。

ゴットロープ・フレーゲ（1848年11月8日 - 1925年7月26日）の『概念記号』もまた、古典的な四角形とほぼ同じ方法で構成された対立の四角形を示しており、普遍量化、否定、含意から構成される4つの公式間の矛盾、従属、および対立を示している。

アルギルダス・ジュリアン・グレイマス（1917年3月9日 - 1992年2月27日）の記号論的四角形は、アリストテレスの著作から派生したものである。

伝統的な対立の四角形は、現在では内否定と外否定に基づく四角形と比較されることが多い。^{[ 14 ]}

論理六角形およびその他の双単体

対立の正方形は、6 つの命題の関係を含む論理六角形に拡張されました。これは、オーギュスタン・セスマ(1885 年 4 月 7 日 - 1957 年 12 月 12 日) とロベール・ブランシェ(1898 - 1975 年) の両名によって独立に発見されました。^{[ 15 ]}正方形と六角形、それに続く「論理立方体」は、n 次元の「 $n$ 次元の論理双単体」と呼ばれる n 次元オブジェクトの規則的な系列に属することが証明されています。このパターンは、さらにその先まで広がっています。^{[ 16 ]}