9ポイント円錐

幾何学において、完全四角形の9点円錐曲線とは、完全四角形の3つの対角点と6つの辺の中点を通る円錐曲線のことである。

9点円錐曲線は、1892年にマキシム・ボシェによって記述されました。 ^{[ 1 ]}よりよく知られている9点円は、ボシェの円錐曲線の一例です。9点双曲線も別の例です。

ボシェは、完全な四角形の4つの点を、1つの独立した点を持つ三角形の3つの頂点として使用した。

三角形

△ ABC

とその平面上の点

P

が与えられたとき、次の9つの点を通る円錐曲線を描くことができる。

△

ABC

の辺の中点、

P

と頂点を結ぶ線分の中点、そして

これらの最後の線が三角形の辺と交わる点。

$点P が$ $△$ $ABC$ の内部にある場合、または三角形の 2 辺によって内部から隔てられた平面領域のいずれかにある場合、円錐曲線は楕円になります。そうでない場合は、円錐曲線は双曲線になります。ボシェは、 $点 Pが$ 垂心である場合は 9 点円が得られ、点 $P が$ $△$ $ABC$ の外接円上にある場合は、円錐曲線は正双曲線になると指摘しています。

1912年にモード・ミントホーンは、9点円錐曲線は4つの与えられた点を通る円錐曲線の中心の軌跡であることを示した。^{[ 2 ]}

$直線l$ に関する 9 点円錐曲線は、完全な四角形の辺と $l$ との交点の 6 つの調和共役を通る円錐曲線です。

参考文献

↑ Maxime Bôcher (1892) Nine-point Conic、 Annals of Mathematics、 JSTORからのリンク。
↑ Maud A. Minthorn (1912) The Nine Point Conic 、カリフォルニア大学バークレー校修士論文、 HathiTrustからのリンク。

Fanny Gates (1894) Some Considerations on the Nine-point Conic and its Reciprocal , Annals of Mathematics 8(6):185–8, JSTOR からのリンク。
エリック・W・ワイススタインによるMathWorldの9点円錐曲線。
Michael DeVilliers (2006) 9点円錐曲線：コンピュータによる再発見と証明、 International Journal of Mathematical Education in Science and Technology、Taylor & Francis出版。
Christopher Bradley 「9点円錐曲線と一対の平行線」バース大学よりWayback Machineに2016年3月4日にアーカイブされました。