コックス・インガソル・ロスモデル

数理ファイナンスにおいて、コックス・インガソル・ロス（CIR）モデルは金利の推移を記述する。これは、金利の変動が市場リスクの1つの発生源のみによって引き起こされるとして記述するため、「1ファクターモデル」（短期金利モデル）の一種である。このモデルは金利デリバティブの評価に使用できる。このモデルは、1985年にジョン・C・コックス、ジョナサン・E・インガソル、スティーブン・A・ロスによって、ヴァシチェックモデル（それ自体がオルンスタイン・ウーレンベック過程）の拡張として導入された^[1]。

CIRモデルは、フェラー平方根過程を用いて瞬間金利を記述する。その確率微分方程式は、 ${\displaystyle r_{t}}$

${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+\sigma {\sqrt {r_{t}}}\,dW_{t},}$

ここで、はウィーナー過程（ランダムな市場リスク要因をモデル化）であり、、 、 はパラメータです。パラメータ は平均 への調整速度、およびボラティリティに対応します。ドリフト係数 は、Vasicek モデルとまったく同じです。これは、金利が長期値 に向かって平均回帰することを保証します。調整速度は厳密に正のパラメータ によって決まります。 ${\displaystyle W_{t}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \sigma \,}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \sigma \,}$${\displaystyle a(b-r_{t})}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$

標準偏差係数は、およびのすべての正の値に対してマイナス金利の可能性を回避します。条件が満たされる場合、金利がゼロになることも排除されます。 ${\displaystyle \sigma {\sqrt {r_{t}}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle 2ab\geq \sigma ^{2}\,}$

が満たされます。より一般的には、レート ( ) がゼロに近い場合、標準偏差 ( ) も非常に小さくなり、ランダムショックによるレートへの影響が弱まります。その結果、レートがゼロに近づくと、その変化はドリフト係数によって支配されるようになり、レートは上向きに (平衡に向かって) 押し上げられます。 ${\displaystyle r_{t}}$${\displaystyle \sigma {\sqrt {r_{t}}}}$

の場合、^[2]フェラー平方根過程はオルンシュタイン・ウーレンベック過程の二乗から得ることができる。これはエルゴードであり、定常分布を持つ。これはヘストンモデルで確率的ボラティリティをモデル化するために使用される。 ${\displaystyle 4ab=\sigma ^{2}\,}$

• 今後の配布

CIR プロセスの将来値の分布は、閉じた形式で計算できます。

${\displaystyle r_{t+T}={\frac {Y}{2c}},}$

ここで、Y は自由度 と非心度パラメータを持つ非心カイ二乗分布です。正式には確率密度関数は次のようになります。${\displaystyle c={\frac {2a}{(1-e^{-aT})\sigma ^{2}}}}$${\displaystyle {\frac {4ab}{\sigma ^{2}}}}$${\displaystyle 2cr_{t}e^{-aT}}$

${\displaystyle f(r_{t+T};r_{t},a,b,\sigma )=c\,e^{-u-v}\left({\frac {v}{u}}\right)^{q/2}I_{q}(2{\sqrt {uv}}),}$

ここで、、、およびは、 の次数の第一種修正ベッセル関数です。${\displaystyle q={\frac {2ab}{\sigma ^{2}}}-1}$${\displaystyle u=cr_{t}e^{-aT}}$${\displaystyle v=cr_{t+T}}$${\displaystyle I_{q}(2{\sqrt {uv}})}$${\displaystyle q}$

• 漸近分布

平均回帰により、時間が長くなるにつれて、分布は次の確率密度を持つ ガンマ分布に近づきます。${\displaystyle r_{\infty }}$

${\displaystyle f(r_{\infty };a,b,\sigma )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}r_{\infty }^{\alpha -1}e^{-\beta r_{\infty }},}$

ここで、および。${\displaystyle \beta =2a/\sigma ^{2}}$${\displaystyle \alpha =2ab/\sigma ^{2}}$

• 平均回帰、
• レベル依存ボラティリティ（）、${\displaystyle \sigma {\sqrt {r_{t}}}}$
• 与えられた正の点に対して、過程がゼロに触れることは決してありません。そうでない場合は、時折ゼロ点に触れることがあります。${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle 2ab\geq \sigma ^{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {E} [r_{t}\mid r_{0}]=r_{0}e^{-at}+b(1-e^{-at})}$なので、長期平均は、${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle \operatorname {Var} [r_{t}\mid r_{0}]=r_{0}{\frac {\sigma ^{2}}{a}}(e^{-at}-e^{-2at})+{\frac {b\sigma ^{2}}{2a}}(1-e^{-at})^{2}.}$

• 通常の最小二乗法

連続SDEは次のように離散化できる。

${\displaystyle r_{t+\Delta t}-r_{t}=a(b-r_{t})\,\Delta t+\sigma \,{\sqrt {r_{t}\Delta t}}\varepsilon _{t},}$

これは次の式と同等である。

${\displaystyle {\frac {r_{t+\Delta t}-r_{t}}{{\sqrt {r}}_{t}}}={\frac {ab\Delta t}{{\sqrt {r}}_{t}}}-a{\sqrt {r}}_{t}\Delta t+\sigma \,{\sqrt {\Delta t}}\varepsilon _{t},}$

niid(0,1)が与えられます。この式は線形回帰に使用できます。${\displaystyle \varepsilon _{t}}$

• マーチンゲール推定
• 最大尤度

CIR プロセスの 確率的シミュレーションは、次の 2 つの方法を使用して実行できます。

• 離散化
• ちょうど

裁定取引がないという仮定の下では、債券の価格設定はこの金利プロセスを使用して行われます。債券価格は金利に対して指数アフィンです。

${\displaystyle P(t,T)=A(t,T)e^{-B(t,T)r_{t}}\!}$

どこ

${\displaystyle A(t,T)=\left({\frac {2he^{(a+h)(T-t)/2}}{2h+(a+h)(e^{h(T-t)}-1)}}\right)^{2ab/\sigma ^{2}}}$

${\displaystyle B(t,T)={\frac {2(e^{h(T-t)}-1)}{2h+(a+h)(e^{h(T-t)}-1)}}}$

${\displaystyle h={\sqrt {a^{2}+2\sigma ^{2}}}}$

CIRモデルは、基本的なアフィンジャンプ拡散の特殊なケースを使用しており、債券価格の閉形式の表現が依然として許可されています。係数を置き換える時間変動関数をモデルに導入して、事前に割り当てられた金利の期間構造と、場合によってはボラティリティと一貫性を持たせることができます。最も一般的なアプローチは、Maghsoodi（1996）にあります。^[3]より扱いやすいアプローチは、BrigoとMercurio（2001b）^[4]にあり、入力された金利の期間構造との一貫性を保つために、外部の時間依存シフトがモデルに追加されています。

CIRモデルの確率的平均と確率的ボラティリティの場合への重要な拡張は、Lin Chen (1996)によって示され、 Chenモデルとして知られています。クラスターボラティリティ、マイナス金利、さまざまな分布を処理するための最近の拡張は、Orlando、Mininni、Bufalo (2018、^[5] 2019、^{[6] [7]} 2020 、^[8] 2021、^[9] 2023 ^[10] )によるいわゆる「CIR #」であり、マイナス金利に焦点を当てたより単純な拡張はDi FrancescoとKamm (2021、^[11] 2022 ^[12] )によって提案され、CIR-およびCIR--モデルと呼ばれています。

• ハル・ホワイトモデル
• ヴァシチェクモデル
• チェンモデル

• ハル、ジョン C. (2003)。オプション、先物、その他のデリバティブ。アッパーサドルリバー、ニュージャージー州:プレンティスホール。ISBN 0-13-009056-5。
• Cox, JC ; Ingersoll, JE ; Ross, SA (1985). 「金利の期間構造の理論」. Econometrica . 53 (2): 385–407. doi :10.2307/1911242. JSTOR  1911242.
• Maghsoodi, Y. (1996). 「拡張 CIR 期間構造の解と債券オプション評価」.数学ファイナンス. 6 (6): 89–109. doi :10.1111/j.1467-9965.1996.tb00113.x.
• ダミアーノ・ブリゴ、ファビオ・メルクリオ（2001年）。『金利モデル - 理論と実践、スマイル、インフレーション、クレジット』（第2版、2006年）。シュプリンガー・ヴェルラグ。ISBN 978-3-540-22149-4。
• Brigo, Damiano; Fabio Mercurio (2001b)。「解析的に扱いやすく、時間的に均質な短期金利モデルの決定論的シフト拡張」。Finance & Stochastics。5 ( 3): 369–388。doi : 10.1007 /PL00013541。S2CID  35316609。
• Python で CIR プロセスを実装するオープンソース ライブラリ
• オルランド、ジュゼッペ; ミニンニ、ローザ・マリア; ブファロ、ミシェル (2020)。「Vasicek および CIR モデルによる金利予測: 分割アプローチ」。Journal of Forecasting。39 ( 4 ) : 569–579。arXiv : 1901.02246。doi : 10.1002 /for.2642。ISSN 1099-131X。S2CID  126507446  。