CAグループ

数学において、群論の領域では、任意の非恒等元の中心化がアーベル部分群である場合、群はCA 群または中心化アーベル群と呼ばれます。有限 CA 群は、フェイト-トムソンの定理や有限単純群の分類で使用される分類の種類の初期の例として歴史的に重要です。自由群、タルスキモンスター、一部のバーンサイド群など、いくつかの重要な無限群は CA 群であり、局所有限CA 群は明示的に分類されています。CA 群は可換推移群(または略してCT 群)とも呼ばれます。これは、群が CA 群である場合に限り、可換性が群の非恒等元間の推移関係である ためです。

局所有限 CA 群は、1925 年から 1998 年にかけて数人の数学者によって分類されました。まず、有限 CA 群は(Weisner 1925) で単純または可解であることが示されました。次に、 Brauer–Suzuki–Wall の定理(Brauer, Suzuki & Wall 1958) で、偶数次の有限 CA 群は、 f ≥ 2 に対して、偶数次の有限体PSL(2, 2 ^f )上のフロベニウス群、アーベル群、または 2 次元射影特殊線型群であることが示されました。最後に、奇数次の有限 CA 群は (Suzuki 1957) でフロベニウス群またはアーベル群であることが示され、特に、決して非アーベル単純ではありません。

CA 群は有限単純群の分類の文脈で重要でした。鈴木道雄は、すべての有限単純非可換CA 群は偶数位数であることを示しました。この結果は、まず有限単純非可換CN 群が偶数位数であることを示す Feit–Hall–Thompson 定理に拡張され、次にすべての有限単純非可換群が偶数位数であることを示すFeit–Thompson 定理に拡張されました。有限 CA 群の分類の教科書的な説明は、(Suzuki 1986、pp. 291–305) の例 1 と 2 に示されています。登場するフロベニウス群のより詳細な説明は (Wu 1998) に含まれており、有限で解ける CA 群はアーベル群と不動点のない自己同型写像​​の半直積であり、逆にそのような半直積はすべて有限で解ける CA 群であることが示されています。Wu は、Suzuki らの分類を局所有限群にまで拡張しました。

すべてのアーベル群はCA 群であり、非自明な中心を持つ群は、それがアーベルである場合に限り CA 群である。有限 CA 群は次のように分類される。可解な群は、すべての非自明な要素が固定点自由に作用する巡回群によるアーベル群の半直積であり、位数 4 k +2 の二面体群や位数 12 の 4 点上の交代群などの群が含まれる。一方、不可解な群はすべて単純であり、 n ≥ 2の2 次元射影特殊線型群 PSL(2, 2 ⁿ )である。無限CA 群には、自由群、PSL(2, R )、および大きな素指数のバーンサイド群が含まれる (Lyndon & Schupp 2001、p. 10) 。 Wu はまた、タルスキー モンスターが無限単純 CA 群の明らかな例であると指摘しています。