形状と材料の座屈

幾何学的座屈は中性子漏洩の尺度であり、材料座屈は中性子生成と中性子吸収の差の尺度である。^[1]原子炉内で核分裂が起こると、中性子が生成される。^[1]これらの中性子は、簡単に言えば、原子炉内の燃料と反応するか、原子炉から逃げ出す。^{[1]これら2つのプロセスは}中性子吸収と中性子漏洩と呼ばれ、その合計が中性子損失である。^{[1]中性子生成率が中性子損失率と等しい場合、原子炉は核分裂の連鎖反応を維持でき、}臨界原子炉とみなされる。^[1]

裸の均質な定常原子炉（つまり、燃料と冷却材の均質混合物が1つの領域のみで、ブランケットも反射体もなく、時間とともに変化しない原子炉）の場合、^[1]幾何学的座屈と材料座屈は互いに等しくなります。

両方の座屈項は中性子に有効な特定の拡散方程式から導かれる： ^[2]

${\displaystyle -D\nabla ^{2}\Phi +\Sigma _{a}\Phi ={\frac {1}{k}}\nu \Sigma _{f}\Phi }$。

ここで、k は臨界固有値、は核分裂あたりの中性子数、は核分裂の巨視的断面積であり、拡散理論から、拡散係数は次のように定義されます。 ${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \Sigma _{f}}$

${\displaystyle D={\frac {1}{3\Sigma _{\mathrm {tr} }}}}$。

さらに、拡散長は次のように定義されます。

${\displaystyle L={\sqrt {\frac {D}{\Sigma _{a}}}}}$。

項を並べ替えると、拡散方程式は次のようになります。

${\displaystyle -{\frac {\nabla ^{2}\Phi }{\Phi }}={\frac {{\frac {k_{\infty }}{k}}-1}{L^{2} }}={B_{g}}^{2}}$。

方程式の左側は材料の座屈であり、右側は幾何学的座屈です。

幾何学的座屈は、さまざまな幾何学に対して簡単に解ける単純なヘルムホルツ固有値問題です。以下の表は、いくつかの一般的な幾何学に対する幾何学的座屈を示しています。

拡散理論の計算では臨界寸法が過大に予測されるため、実際の値の推定値を得るには外挿距離 δ を減算する必要があります。次の表を使用して、実際の寸法と外挿距離を使用して座屈を計算することもできます。

実寸法と外挿距離による幾何学的座屈の表現^[3]

材料の座屈は、材料特性のみを考慮した均質構成の座屈です。純粋に材料特性の観点から再定義すると（基本モードを想定すると）、次のようになります。 ${\displaystyle k_{\infty }}$

${\displaystyle k_{\infty }={\frac {\nu \Sigma _{f}}{\Sigma _{a}}}}$。

前述のように、幾何学的座屈は次のように定義されます。

${\displaystyle {B_{g}}^{2}={\frac {{\frac {k_{\infty }}{k}}-1}{L^{2}}}={\frac {{\frac {1}{k}}\nu \Sigma _{f}-\Sigma _{a}}{D}}}$。

kを解く（基本モードで）、

${\displaystyle k=k_{\mathrm {eff} }={\frac {\nu \Sigma _{f}}{\Sigma _{a}+D{B_{g}}^{2}}}}$;

したがって、

${\displaystyle k={\frac {\frac {\nu \Sigma _{f}}{\Sigma _{a}}}{1+L^{2}{B_{g}}^{2}}}}$。

原子炉が臨界状態（k = 1）にあると仮定すると、

${\displaystyle {B_{g}}^{2}={\frac {\nu \Sigma _{f}-\Sigma _{a}}{D}}}$。

この式は純粋に材料特性に関するものであるため、これを材料の座屈と呼びます。

${\displaystyle {B_{m}}^{2}={\frac {\nu \Sigma _{f}-\Sigma _{a}}{D}}}$。

幾何学的座屈と材料座屈を等しくすることで、単一領域の原子炉の臨界寸法を決定することができます。