境界要素法

境界要素法（BEM）は、積分方程式（境界積分形式）として定式化された線形偏微分方程式を解く数値計算法であり、流体力学、音響学、電磁気学（この手法はモーメント法または略してMoMと呼ばれる）、^[1]破壊力学、^[2]接触力学などが含まれる。^{[3] [4]}

積分方程式は、支配的な偏微分方程式の正確な解とみなすことができます。境界要素法では、偏微分方程式によって定義された空間全体の値ではなく、与えられた境界条件を使用して境界値を積分方程式に適合させようとします。これが完了すると、後処理段階で積分方程式を再度使用して、解領域の内部の任意のポイントで直接数値的に解を計算できます。

BEM は、グリーン関数を計算できる問題に適用できます。これらの問題には通常、線形 均質媒体内の場が含まれます。このため、境界要素を有効に適用できる問題の範囲と一般性にかなりの制限が課せられます。定式化に非線形性を含めることができますが、通常は体積積分が導入され、解を求める前に体積を離散化する必要が生じ、BEM の最もよく引用される利点の 1 つが失われます^[要出典]。体積を離散化せずに体積積分を処理する便利な手法は、双対相互法です。この手法では、ラジアル基底関数(局所補間関数) を使用して被積分関数の一部を近似し、体積領域 (境界を含む) 全体に分散された選択されたポイントで配置した後、体積積分を境界積分に変換します。双対相互 BEM では、体積をメッシュに離散化する必要はありませんが、解領域内の選択されたポイントでの未知数は、検討中の問題を近似する線形代数方程式に含まれます。

メッシュによって定義されたソース パッチとフィールド パッチのペアを接続するグリーン関数要素は、数値的に解かれる行列を形成します。グリーン関数が、少なくとも互いに近いパッチのペアに対して適切に動作しない限り、グリーン関数は、ソース パッチとフィールド パッチのいずれかまたは両方で積分する必要があります。ソース パッチとフィールド パッチの積分が同じである方法の形式は、「ガラーキン法」と呼ばれます。ガラーキン法は、ソース ポイントとフィールド ポイントの交換に関して対称的な問題に対する明らかなアプローチです。周波数領域電磁気学では、これは電磁気的相互性によって保証されます。単純なガラーキン実装に伴う計算コストは​​、通常、かなり深刻です。各要素のペアをループする必要があり (したがって、n ^{2 の相互作用が得られます)、各要素のペアごとに、要素内の}ガウス ポイントをループして、ガウス ポイントの数の 2 乗に比例する乗数を生成します。また、必要な関数評価は、三角関数や双曲線関数の呼び出しを伴うため、通常は非常にコストがかかります。それでも、計算コストの主な原因は、要素に対するこの二重ループによって完全に埋め込まれた行列が生成されることです。

グリーン関数、または基本解は、特異点負荷（点電荷から生じる電界など）を受けるシステム方程式の解に基づいているため、積分するのが難しいことがよくあります。このような特異場を積分するのは簡単ではありません。単純な要素形状（平面三角形など）の場合は、解析的積分を使用できます。より一般的な要素の場合は、特異点に適応する純粋に数値的なスキームを設計できますが、計算コストが高くなります。もちろん、ソース ポイントとターゲット要素（積分が行われる場所）が離れている場合は、ポイントの周囲の局所勾配を正確に定量化する必要がなく、基本解が滑らかに減衰するため、簡単に積分できるようになります。この機能は、境界要素問題の計算を高速化するように設計されたスキームで一般的に採用されています。

閉形式グリーン関数の導出は、境界要素法、特に電磁気学において特に興味深い。特に層状媒体の解析では、空間領域グリーン関数の導出には、ゾンマーフェルト経路積分による解析的に導出可能なスペクトル領域グリーン関数の逆変換が必要である。この積分は解析的に評価できず、振動しゆっくりと収束する動作のため、数値積分にはコストがかかる。堅牢な解析のために、空間グリーン関数はプロニー法や一般化関数束などの方法で複素指数として近似され、積分はゾンマーフェルト恒等式で評価される。^{[5] [6] [7] [8]}この方法は離散複素画像法として知られている。^{[7] [8]}

境界要素法は、表面積/体積比が小さい問題では、計算リソースの点で有限要素法を含む他の方法よりも効率的であることが多い。^[9]概念的には、モデル化された表面上に「メッシュ」を構築することによって機能します。ただし、多くの問題では、境界要素法は体積離散化法（有限要素法、有限差分法、有限体積法）よりも大幅に効率が悪くなります。境界要素法の応用の良い例は、タンク内の液体のスロッシングの固有振動数の効率的な計算です。 ^{[10] [11] [12]}境界要素法は、接触問題の数値シミュレーション、特に接着接触のシミュレーションに最も効果的な方法の1つです。 ^{[13 ]}

境界要素定式化では、通常、完全にデータが詰め込まれた行列が生成されます。つまり、ストレージ要件と計算時間は、問題のサイズの 2 乗に応じて増加する傾向があります。対照的に、有限要素行列は通常、バンド化されており (要素はローカルにのみ接続されています)、システム行列のストレージ要件は通常、問題のサイズに比例して増加します。圧縮技術 (例: 多重極展開、適応型クロス近似/階層行列) を使用してこれらの問題を改善できますが、複雑さが増し、解決する問題の性質と関連するジオメトリに成功率が大きく依存します。

• 解析要素法
• 計算電磁気学
• メッシュフリー法
• 浸漬境界法
• ストレッチグリッド法
• 修正ラジアル積分法^{[15] [16]}

• Ang, Whye-Teong (2007)、「境界要素法の初心者向けコース」、フロリダ州ボカラトン：ユニバーサル・パブリッシャーズ、ISBN 978-1-58112-974-8。
• アン、ワイ・テオン（2013）、破壊解析における超特異積分方程式、オックスフォード：ウッドヘッド出版、ISBN 978-0-85709-479-7。
• Banerjee, Prasanta Kumar (1994)、The Boundary Element Methods in Engineering (第 2 版)、ロンドン、その他: McGraw-Hill、ISBN 978-0-07-707769-3。
• Beer, Gernot; Smith, Ian; Duenser, Christian (2008 年 4 月 8 日)、「The Boundary Element Method with Programming: For Engineers and Scientists」、ベルリン – ハイデルベルク – ニューヨーク: Springer-Verlag、pp. XIV+494、ISBN 978-3-211-71574-1
• Cheng, Alexander H.-D.; Cheng, Daisy T. (2005)、「境界要素法の伝統と初期の歴史」、境界要素によるエンジニアリング解析、29 (3): 268–302、doi :10.1016/j.enganabound.2004.12.001、Zbl  1182.65005、こちらでも入手可能です。
• ギブソン、ウォルトン C (2008)、「電磁気学におけるモーメント法」、フロリダ州ボカラトン：チャップマン＆ホール/ CRC プレス、pp. xv+272、ISBN 978-1-4200-6145-1、MR  2503144、Zbl  1175.78002。
• カツィカデリス、ジョン T. (2002)、境界要素理論と応用、アムステルダム:エルゼビア、pp. XIV+336、ISBN 978-0-080-44107-8。
• Wrobel, LC; Aliabadi, MH (2002)、境界要素法、ニューヨーク：John Wiley & Sons、p. 1066、ISBN 978-0-470-84139-6（全2巻）。

• コンスタンダ、クリスチャン、ドティ、デール、ハミル、ウィリアム (2016)。境界積分方程式法と数値解法: 弾性基礎上の薄板。ニューヨーク: シュプリンガー。ISBN 978-3-319-26307-6。

• 境界要素のオンラインリソース
• 表面の下に何があるのか​​？学生と専門家のための境界要素法とグリーン関数のガイド
• 入門 BEM コース (グリーン関数の章を含む)
• 平面亀裂問題における境界要素
• クレムソン大学の電磁気モデリング Web サイト (現在利用可能なソフトウェアのリストを含む)
• Concept Analyst 境界要素解析ソフトウェア
• Klimpke, Bruce 複合有限要素/境界要素フィールドソルバーを使用したハイブリッド磁場ソルバー、英国磁気学会会議、2003年。FEMとBEM法、およびハイブリッドアプローチを比較しています。

• Bembel 高速多重極法を使用して圧縮し、計算コストを削減する、ラプラス、ヘルムホルツ、マクスウェル問題用の 3D、等幾何学的、高次、オープンソースの BEM ソフトウェアです。
• boundary-element-method.com 音響/ヘルムホルツ問題とラプラス問題を解くオープンソースの BEM ソフトウェア
• Puma-EM オープンソースで高性能なモーメント法/マルチレベル高速多重極法並列プログラム
• AcouSTO 音響シミュレーション ツール、キルヒホッフ-ヘルムホルツ積分方程式 (KHIE) 用の無料のオープンソース並列 BEM ソルバー
• FastBEM 2D/3D ポテンシャル、弾性、ストークス流、音響問題を解くための無料の高速多重極境界要素プログラム
• ParaFEM には、Gernot Beer、Ian Smith、Christian Duenser 著『 The Boundary Element Method with Programming: For Engineers and Scientists 』 (Springer、ISBN 978-3-211-71574-1、2008年)に記載されている弾性問題用の無料かつオープンソースの並列 BEMソルバーが含まれています。 
• 境界要素テンプレートライブラリ (BETL) 境界積分演算子の離散化のための汎用 C++ ソフトウェアライブラリ
• Nemoh 海洋構造物への一次波荷重（付加質量、放射減衰、回折力）の計算に特化したオープンソースの流体力学 BEM ソフトウェア
• Bempp、3D ラプラス、ヘルムホルツ、マクスウェル問題用のオープンソース BEM ソフトウェア
• MNPBEM、任意の形状のナノ構造の Maxwell 方程式を解くオープンソースの Matlab ツールボックス
• 接触力学およびトライボロジーシミュレータ、無料、BEMベースのソフトウェア
• MultiFEBE は、計算力学用の BEM-FEM ソルバーであり、2D および 3D 粘弾性または多孔質弾性媒体と梁およびシェル構造要素との結合を可能にします (たとえば、動的土壌構造相互作用問題用)。
• BE-STATIK 2D ポテンシャル、弾性、プレート曲げ問題 (Kirchhoff) 用の無料 BE プログラム。