ガウス求積法

重みは次のように表すことができます。

どこ${\displaystyle a_{k}}$は係数です${\displaystyle x^{k}}$で${\displaystyle p_{k}(x)}$これを証明するには、ラグランジュ補間を用いると、 r ( x ) を次のように表せることに注意する。${\displaystyle r(x_{i})}$として $${\displaystyle r(x)=\sum _{i=1}^{n}r(x_{i})\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}}$$r ( x )の次数はnより小さい ため、 n 個の異なる点で得られる値によって固定されます。両辺にω ( x )を掛けてaからbまで積分 すると、$${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)r(x)dx=\sum _{i=1}^{n}r(x_{i})\int _{a}^{b}\omega (x)\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}dx}$$

重みw _iは次のように与えられる。 $${\displaystyle w_{i}=\int _{a}^{b}\omega (x)\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}dx}$$

この積分表現は${\displaystyle w_{i}}$直交多項式を用いて表現できる${\displaystyle p_{n}(x)}$そして${\displaystyle p_{n-1}(x)}$次のように。

私たちは書くことができます $${\displaystyle \prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}\left(x-x_{j}\right)={\frac {\prod _{1\leq j\leq n}\left(x-x_{j}\right)}{x-x_{i}}}={\frac {p_{n}(x)}{a_{n}\left(x-x_{i}\right)}}}$$

どこ${\displaystyle a_{n}}$は係数です${\displaystyle x^{n}}$で${\displaystyle p_{n}(x)}$xの極限をとると${\displaystyle x_{i}}$ロピタルの定理を用いて計算すると$${\displaystyle \prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}\left(x_{i}-x_{j}\right)={\frac {p'_{n}(x_{i})}{a_{n}}}}$$

したがって、重みの積分表現は次のように書ける。

被積分関数では、 $${\displaystyle {\frac {1}{x-x_{i}}}={\frac {1-\left({\frac {x}{x_{i}}}\right)^{k}}{x-x_{i}}}+\left({\frac {x}{x_{i}}}\right)^{k}{\frac {1}{x-x_{i}}}}$$

収量 $${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x){\frac {x^{k}p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx=x_{i}^{k}\int _{a}^{b}\omega (x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx}$$

提供された${\displaystyle k\leq n}$、 なぜなら $${\displaystyle {\frac {1-\left({\frac {x}{x_{i}}}\right)^{k}}{x-x_{i}}}}$$は次数k − 1 の多項式であり、これは に直交する。${\displaystyle p_{n}(x)}$したがって、q ( x )がn次以下の多項式である 場合、$${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx={\frac {1}{q(x_{i})}}\int _{a}^{b}\omega (x){\frac {q(x)p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx}$$

右辺の積分を評価すると、${\displaystyle q(x)=p_{n-1}(x)}$以下のように。${\displaystyle {\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}}$は次数n − 1の多項式であり、 $${\displaystyle {\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}=a_{n}x^{n-1}+s(x)}$$ ここで、s ( x )は次数nの多項式である。${\displaystyle n-2}$s ( x )は直交しているので${\displaystyle p_{n-1}(x)}$我々は持っています $${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx={\frac {a_{n}}{p_{n-1}(x_{i})}}\int _{a}^{b}\omega (x)p_{n-1}(x)x^{n-1}dx}$$

すると、次のように書ける $${\displaystyle x^{n-1}=\left(x^{n-1}-{\frac {p_{n-1}(x)}{a_{n-1}}}\right)+{\frac {p_{n-1}(x)}{a_{n-1}}}}$$

括弧内の項は次数 の多項式です${\displaystyle n-2}$したがって、これは${\displaystyle p_{n-1}(x)}$積分は次のように書ける。 $${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx={\frac {a_{n}}{a_{n-1}p_{n-1}(x_{i})}}\int _{a}^{b}\omega (x)p_{n-1}(x)^{2}dx}$$

式（ 2 ）によれば、重みはこれをで割ることによって得られる。${\displaystyle p'_{n}(x_{i})}$そして、式（ １）の表現が得られる。

${\displaystyle w_{i}}$直交多項式を用いて表現することもできる${\displaystyle p_{n}(x)}$そして今${\displaystyle p_{n+1}(x)}$3項漸化式において${\displaystyle p_{n+1}(x_{i})=(a)p_{n}(x_{i})+(b)p_{n-1}(x_{i})}$用語と${\displaystyle p_{n}(x_{i})}$消えてしまうので${\displaystyle p_{n-1}(x_{i})}$式（１）は、${\textstyle {\frac {1}{b}}p_{n+1}\left(x_{i}\right)}$。

次の次数多項式を考えてみましょう${\displaystyle 2n-2}$$${\displaystyle f(x)=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}{\frac {\left(x-x_{j}\right)^{2}}{\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}}}}$$ ここで、上記と同様に、x _jは多項式の根である。${\displaystyle p_{n}(x)}$。 明らかに${\displaystyle f(x_{j})=\delta _{ij}}$度合いが${\displaystyle f(x)}$より小さい${\displaystyle 2n-1}$重みとノードを含むガウス求積公式は、${\displaystyle p_{n}(x)}$適用します。${\displaystyle f(x_{j})=0}$jがiと等しくない場合、次のようになります。 $${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)f(x)dx=\sum _{j=1}^{n}w_{j}f(x_{j})=\sum _{j=1}^{n}\delta _{ij}w_{j}=w_{i}>0.}$$

両方とも${\displaystyle \omega (x)}$そして${\displaystyle f(x)}$は非負関数であるため、${\displaystyle w_{i}>0}$。

直交多項式${\displaystyle p_{r}}$と${\displaystyle (p_{r},p_{s})=0}$のために${\displaystyle r\neq s}$スカラー積の場合${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$、 程度${\displaystyle (p_{r})=r}$そして、最高次係数1（すなわち、単項直交多項式）は漸化式を満たす。 $${\displaystyle p_{r+1}(x)=(x-a_{r,r})p_{r}(x)-a_{r,r-1}p_{r-1}(x)\cdots -a_{r,0}p_{0}(x)}$$

スカラー積は次のように定義されます $${\displaystyle (f(x),g(x))=\int _{a}^{b}\omega (x)f(x)g(x)dx}$$

のために${\displaystyle r=0,1,\ldots ,n-1}$ここでnは無限大とみなせる最大次数であり、${\textstyle a_{r,s}={\frac {\left(xp_{r},p_{s}\right)}{\left(p_{s},p_{s}\right)}}}$まず、漸化式で定義される多項式は、${\displaystyle p_{0}(x)=1}$先頭係数が1で次数が正しい。${\displaystyle p_{0}}$直交性${\displaystyle p_{r}}$帰納法で示すことができる。${\displaystyle r=s=0}$1つは $${\displaystyle (p_{1},p_{0})=(x-a_{0,0})(p_{0},p_{0})=(xp_{0},p_{0})-a_{0,0}(p_{0},p_{0})=(xp_{0},p_{0})-(xp_{0},p_{0})=0.}$$

今もし${\displaystyle p_{0},p_{1},\ldots ,p_{r}}$直交しているならば、${\displaystyle p_{r+1}}$なぜなら $${\displaystyle (p_{r+1},p_{s})=(xp_{r},p_{s})-a_{r,r}(p_{r},p_{s})-a_{r,r-1}(p_{r-1},p_{s})\cdots -a_{r,0}(p_{0},p_{s})}$$ 最初のスカラー積と次のスカラー積を除いて、すべてのスカラー積は消滅します。${\displaystyle p_{s}}$同じ直交多項式に出会う。したがって、 $${\displaystyle (p_{r+1},p_{s})=(xp_{r},p_{s})-a_{r,s}(p_{s},p_{s})=(xp_{r},p_{s})-(xp_{r},p_{s})=0.}$$

ただし、スカラー積が以下を満たす場合${\displaystyle (xf,g)=(f,xg)}$（ガウス求積法の場合）漸化式は3項漸化式に簡略化される。${\displaystyle s<r-1,xp_{s}}$は次数がr − 1以下の多項式である。一方、${\displaystyle p_{r}}$は、次数がr − 1以下のすべての多項式と直交する。したがって、次のようになる。${\displaystyle (xp_{r},p_{s})=(p_{r},xp_{s})=0}$そして${\displaystyle a_{r,s}=0}$s < r − 1の場合、漸化式は次のように簡略化されます。 $${\displaystyle p_{r+1}(x)=(x-a_{r,r})p_{r}(x)-a_{r,r-1}p_{r-1}(x)}$$

または $${\displaystyle p_{r+1}(x)=(x-a_{r})p_{r}(x)-b_{r}p_{r-1}(x)}$$

（条約と共に）${\displaystyle p_{-1}(x)\equiv 0}$） どこ $${\displaystyle a_{r}:={\frac {(xp_{r},p_{r})}{(p_{r},p_{r})}},\qquad b_{r}:={\frac {(xp_{r},p_{r-1})}{(p_{r-1},p_{r-1})}}={\frac {(p_{r},p_{r})}{(p_{r-1},p_{r-1})}}}$$

（最後は${\displaystyle (xp_{r},p_{r-1})=(p_{r},xp_{r-1})=(p_{r},p_{r})}$、 以来${\displaystyle xp_{r-1}}$と異なる${\displaystyle p_{r}}$rより1度小さい角度で）。

3項漸化式は行列形式で表すことができる。${\displaystyle J{\tilde {P}}=x{\tilde {P}}-p_{n}(x)\mathbf {e} _{n}}$どこ${\displaystyle {\tilde {P}}={\begin{bmatrix}p_{0}(x)&p_{1}(x)&\cdots &p_{n-1}(x)\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$、${\displaystyle \mathbf {e} _{n}}$は${\displaystyle n}$番目の標準基底ベクトル、すなわち、${\displaystyle \mathbf {e} _{n}={\begin{bmatrix}0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$、そしてJはヤコビ行列と呼ばれる 次の三重対角行列である。$${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}a_{0}&1&0&\cdots &0\\b_{1}&a_{1}&1&\ddots &\vdots \\0&b_{2}&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &a_{n-2}&1\\0&\cdots &0&b_{n-1}&a_{n-1}\end{bmatrix}}.}$$

ゼロ${\displaystyle x_{j}}$ガウス求積法のノードとして使用される次数nまでの多項式は、この行列の固有値を計算することによって見つけることができます。この手順は、ゴルブ・ウェルシュアルゴリズムとして知られています。

重みとノードを計算するには、対称三重対角行列を考慮するのが望ましい。${\displaystyle {\mathcal {J}}}$要素を含む $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {J}}_{k,i}=J_{k,i}&=a_{k-1}&k&=1,2,\ldots ,n\\[2.1ex]{\mathcal {J}}_{k-1,i}={\mathcal {J}}_{k,k-1}={\sqrt {J_{k,k-1}J_{k-1,k}}}&={\sqrt {b_{k-1}}}&k&={\hphantom {1,\,}}2,\ldots ,n.\end{aligned}}}$$

つまり、

$${\displaystyle {\mathcal {J}}={\begin{bmatrix}a_{0}&{\sqrt {b_{1}}}&0&\cdots &0\\{\sqrt {b_{1}}}&a_{1}&{\sqrt {b_{2}}}&\ddots &\vdots \\0&{\sqrt {b_{2}}}&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &a_{n-2}&{\sqrt {b_{n-1}}}\\0&\cdots &0&{\sqrt {b_{n-1}}}&a_{n-1}\end{bmatrix}}.}$$

Jと${\displaystyle {\mathcal {J}}}$これらは類似行列であり、したがって同じ固有値（ノード）を持ちます。重みは対応する固有ベクトルから計算できます。$\displaystyle \phi ^{(j)}}$は、固有値x _jに関連付けられた正規化固有ベクトル（つまり、ユークリッドノルムが 1 に等しい固有ベクトル）であり、対応する重みは、この固有ベクトルの最初の成分から計算できます。すなわち、次のようになります。 $${\displaystyle w_{j}=\mu _{0}\left(\phi _{1}^{(j)}\right)^{2}}$$

どこ$\displaystyle \mu _{0}}$は重み関数の積分である $${\displaystyle \mu _{0}=\int _{a}^{b}\omega (x)dx.}$$

詳細については、例えば（Gil、Segura 、 Temme 2007 ）を参照してください。