量子ランダム回路

量子ランダム回路 (QRC ) は、量子回路のローカルユニタリ演算と測定にランダム性の要素を組み込むという概念です。この考え方は、結果の集合を平均化することで、積分不可能で解決が難しい問題のほぼ正確な結果を得るために QRC を使用するランダム行列理論の考え方に似ています。回路にランダム性を組み込むことには多くの利点が考えられますが、そのいくつかは、(i) 2019 年にGoogle が量子優位性を主張したときに使用した方法である量子コンピューターの検証、 ^[1]、(ii) 量子多体力学における非平衡および熱化プロセスの普遍的な構造の理解です。^[2]

一般的な量子回路の構成要素は、量子ビット、ユニタリゲート、および測定値です。量子回路の時間発展は時間 で離散的であり、状態は、純粋状態が に従って発展するユニタリ演算子の適用によって時間とともに段階的に発展します(ユニタリ演算子は状態をエンタングルできることに注意)。したがって、開始時間 (たとえば ) からある時間までの時間発展は で与えられます。ここで、各ステップでは、ユニタリ演算子はローカルユニタリゲートのテンソル積で表されます。ここで、インデックスは量子ビットのペアを接続する格子整数を指定し、は時間ステップです。 ${\displaystyle t\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle U_{t}\equiv U(t;t-1)}$$${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U_{t}|\psi (t-1)\rangle }$$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle U(t;0)=U_{t}U_{t-1}\cdots U_{3}U_{2}U_{1}}$$${\displaystyle u_{\tau ,x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \tau}$

図 1 は、各時間ステップでのローカル相互作用を示す量子回路の時空間図を示しています。量子情報理論の言語では、量子ビットの数は回路の幅であり、深さはユニタリゲートの層の数として定義されます。したがって、図 1 の構成では、およびです。回路を解釈する別の方法は、テンソルネットワークとして見ることです。テンソルネットワークでは、各紫色のボックスは 2つの量子ビットで動作するローカルゲートであり、格子整数上の時間の開始時と終了時の量子ビットインデックスの合計収縮は、完全なユニタリ時間発展を与えます。したがって、インデックスによって指定されたある初期状態からインデックスを持つ最終状態への伝搬振幅は、一方、測定は量子ビットのもつれを解きます。^[3]使用される測定は射影測定と呼ばれ、測定される演算子の固有状態の自由度を変更しない観測として定義されます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle d}$${\displaystyle n=8}$${\displaystyle d=4}$${\displaystyle u_{\tau ,x}}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle t}$${\displaystyle U(t;0)}$${\displaystyle \left\{a_{1}a_{2}\cdots a_{L}\right\}}$${\displaystyle \left\{b_{1}b_{2}\cdots b_{L}\right\}}$$${\displaystyle \langle a_{1}a_{2}\cdots a_{L}|U(t;0)|b_{1}b_{2}\cdots b_{L}\rangle .}$$

量子力学における測定は本質的に確率的であり、つまり、まったく同じ構造 (量子ビットとゲート) を持つ回路は、異なる実行で異なる結果をもたらすことを意味します (図 2 を参照)。ただし、この確率的性質はランダム性とは区別する必要があります。をランダム測定の結果セットとすると、固定された一連のユニタリゲートでの異なる測定は、異なるレコードを生成します。図 2 の概略図を参照してください。これは、回路に表示された測定の可能な結果を​​表す各ブランチを持つツリー図を描いています。各測定が異なる をもたらし、ランダムウォークのようなものになることに注意してください。システムが単一の量子ビットだけである場合、各測定はブロッホ球上でジャンプを引き起こします。ただし、多体の場合、異なる量子ビット間の相関関係のために状況は複雑になります。^{[3] [4]}${\displaystyle {\textbf {m}}=\left\{m_{1},m_{2},\cdots ,m_{M}\right\}}$${\displaystyle {\textbf {m}}}$${\displaystyle {\textbf {m}}}$

現在はノイズの多い中規模量子 (NISQ) の時代であり、現在の量子コンピュータはフォールト トレランスがなく、超越性を達成できるほど大きくないため、次の 2 つの特徴を持つタスクを探しています。

• 古典的に難しい
• 近い将来のデバイスで実験的に実現可能

必要なタスクは、量子コンピュータで実行可能でありながら、時間などの点で古典的にリソースを消費するものでなければなりません。たとえば、このタスクは、古典的コンピュータを使用して短時間で解決可能なシステムである可能性があります。ただし、システムの複雑さが増すと（サイズや次元が大きくなるほど）、計算時間は直線的に増加しません。その場合、最先端の古典的コンピュータでは不当な時間（数年）がかかりますが、量子コンピュータでは必要な計算時間が指数関数的に短縮されると考えられています。^[5]このようなタスクを見つけるためのこの主題に関する研究は、サンプリング問題に焦点を当てています。そのようなタスクを提供する理論的に説得力のある方法の1つは、複雑性理論的に強力な証拠を示しているボソンサンプリングです。 ^[6]ただし、研究者はこのサンプリング方法を使用して目的の結果を達成する上で実験上の困難に直面しました。^[5]別の方法はランダム回路サンプリングで、主なタスクはランダム量子回路の出力をサンプリングすることです。結果は、このアプローチが最近の超伝導量子ビットの開発により実験的に実現可能になり、強力な複雑性理論的証拠があることを示しました。^{[5] Googleの量子超越性の主張では、量子回路の1つのインスタンスを100万回サンプリングするのに約200秒かかる}Sycamoreプロセッサを使用しました。一方、最先端の古典的なスーパーコンピューターでは1万年かかります。IBMはGoogleの主張に異議を唱え、より優れた古典的なアルゴリズムであれば同じ計算を2.5日で実行できることを示しました。^[7]

多体力学における差し迫った疑問の1つは、量子もつれがどのように時間とともに広がるか、つまり、例えば量子クエンチは、初期ハミルトニアンのパラメータの突然の変化によって時間とともに一元的に進化する。^[8]このような疑問に対する答えは、熱化の基本的な部分に関するものであり、量子力学をシミュレートするための数値ツールを提供する。量子ランダム回路は、このようなプロセスを実験し理解するための遊び場となるだろう。^[2] QRC法を使用した結果は、ノイズの多いもつれの成長の背後に普遍的な構造があることを示している^{[2] [9]}