ランバート和

数学的解析学および解析的数論において、ランベルト和は、解析的数論に特に関連する ランベルト級数に関連する無限級数を和ぐための和算法である。

ランバート核をで定義します。のとき、 はの関数として減少することに注意してください。と表記される場合、和はにランバート和可能です。 ${\displaystyle L(x)=\log(1/x){\frac {x}{1-x}}}$${\displaystyle L(1)=1}$${\displaystyle L(x^{n})>0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 0<x<1}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}L(x^{n})=A}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=A\,\,(\mathrm {L} )}$

アーベル定理: 級数が に収束する場合、それは にランベルト和可能です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

タウバー定理: がにランバート和算可能であるとします。すると、 は にアーベル和算可能です。特に、 がにランバート和算可能である場合、はに収束します。 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle na_{n}\geq -C}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$${\displaystyle A}$

タウバー定理は、 GH ハーディとジョン・エデンザー・リトルウッドによって初めて証明されましたが、数論から独立していたわけではなく、実際、彼らは素数定理自体よりもいくらか強力な数論的推定を使用しました。ランバート・タウバー定理をめぐる不満足な状況は、ノーバート・ウィーナーによって解決されました。

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=0\,(\mathrm {L} )}$ここで、μ はメビウス関数です。したがって、この級数が収束するとしても、ゼロに収束します。この数列はタウバー条件を満たすため、タウバー定理は通常の意味で を意味します。これは素数定理と同等です。${\displaystyle {\frac {\mu (n)}{n}}}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=0}$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)-1}{n}}=-2\gamma \,\,(\mathrm {L} )}$ここで、はマンゴルト関数、はオイラー定数です。タウバーの定理により、通常の和は収束し、特に に収束します。これは と同等であり、は第 2チェビシェフ関数です。${\displaystyle \Lambda}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle -2\gamma }$${\displaystyle \psi (x)\sim x}$${\displaystyle \psi}$

• ランバートシリーズ
• アベル・プラナの公式
• アーベル定理とタウバー定理

• ジェイコブ・コレヴァール (2004)。タウバー理論。発展の一世紀。 Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften。 Vol. 329.シュプリンガー・フェルラーグp. 18.ISBN​ 3-540-21058-X。
• ヒュー・L・モンゴメリー、ロバート・C・ヴォーン（2007年）。乗法数論I.古典理論。ケンブリッジ高等数学論文集。第97巻。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。pp.159-160。ISBN 978-0-521-84903-6。
• ノーバート・ウィーナー(1932)。「タウバーの定理」。Ann . of Math . 33 ( 1) 。The Annals of Mathematics、Vol. 33、No. 1: 1–100。doi :10.2307/1968102。JSTOR  1968102。