解析関数の成長率を制限する定理
数学 において、 複素解析 の分野 における ナフビンの定理 （ レオポルド・ナフビンにちなんで名付けられた）は 、解析関数 の成長率の上限を確立するために使用される結果です。特に、ナフビンの定理は、 ナフビン和 とも呼ばれる 一般化ボレル変換 の収束領域を与えるために使用できます 。
この記事では、指数関数型の関数 の考え方を含め、成長率について簡単に説明します 。成長率を型に基づいて分類すると、有界関数とその 積分変換 の解析構造に関する多くの定理を 述べることができる
ため、 ビッグ O 表記法や Landau 表記法よりも優れたツールを提供できます。
指数型 複素平面 上で定義された 関数は、定数 と が存在し 、
ふ （ ず ）
{\displaystyle f(z)}
ま
{\displaystyle M}
α
{\displaystyle \alpha}
|
ふ （ r
e
私 θ
）
|
≤ ま
e
α r
{\displaystyle |f(re^{i\theta })|\leq Me^{\alpha r}}
の極限で 。ここで、 複素変数は、 極限がすべての方向で成立する必要があることを強調するために、 と書きました 。 をすべてのそのような の 下限 を表すとすると 、関数は 指数型 であると言えます 。
r → ∞
{\displaystyle r\to \infty}
ず
{\displaystyle z}
ず = r
e
私 θ
{\displaystyle z=re^{i\theta }}
θ
{\displaystyle \theta}
α
{\displaystyle \alpha}
α
{\displaystyle \alpha}
ふ
{\displaystyle f}
α
{\displaystyle \alpha}
たとえば、 とします 。 は 、 が 虚軸に沿って 増加する範囲を制限する最小の数であるため、 は 指数型 であると言えます。 したがって、この例では、 未満の指数型の関数を必要とするため、 カールソンの定理は 適用できません。
ふ （ ず ） = 罪 （ π ず ）
{\displaystyle f(z)=\sin(\pi z)}
罪 （ π ず ）
{\displaystyle \sin(\pi z)}
π
{\displaystyle \pi}
π
{\displaystyle \pi}
罪 （ π ず ）
{\displaystyle \sin(\pi z)}
π
{\displaystyle \pi}
Ψ型 指数関数以外の境界関数に対しても、追加の関数型を定義することができます。一般的に、関数が 比較関数 で あるのは、級数を持つ場合です。
Ψ （ t ）
{\displaystyle \Psi (t)}
Ψ （ t ） =
∑
ん = 0
∞
Ψ
ん
t
ん
{\displaystyle \Psi (t)=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}t^{n}}
すべて に対して 、 そして
Ψ
ん
> 0
{\displaystyle \Psi_{n}>0}
ん
{\displaystyle n}
リム
ん → ∞
Ψ
ん + 1
Ψ
ん
= 0.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Psi _{n+1}}{\Psi _{n}}}=0.}
比較関数は必然的に 完全であり、これは 比テスト から導かれる 。 が その
ような比較関数である場合、定数 および が 存在し、
Ψ （ t ）
{\displaystyle \Psi (t)}
ふ
{\displaystyle f}
Ψ
{\displaystyle \Psi}
ま
{\displaystyle M}
τ
{\displaystyle \tau}
|
ふ
（
r
e
私 θ
）
|
≤ ま Ψ （ τ r ）
{\displaystyle \left|f\left(re^{i\theta }\right)\right|\leq M\Psi (\tau r)}
として 。 が そのようなすべての の最小値である場合、 は -型 であると 言えます 。
r → ∞
{\displaystyle r\to \infty}
τ
{\displaystyle \tau}
τ
{\displaystyle \tau}
ふ
{\displaystyle f}
Ψ
{\displaystyle \Psi}
τ
{\displaystyle \tau}
ナクビンの定理は、 級数
ふ （ ず ）
{\displaystyle f(z)}
ふ （ ず ） =
∑
ん = 0
∞
ふ
ん
ず
ん
{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}z^{n}}
が-型 である とき、そしてその場合に限り、
Ψ
{\displaystyle \Psi}
τ
{\displaystyle \tau}
リムサップ
ん → ∞
|
ふ
ん
Ψ
ん
|
1
/
ん
= τ 。
{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {f_{n}}{\Psi _{n}}}\right|^{1/n}=\tau .}
これは当然 ルートテストに関連し、 コーシー・アダマールの定理 の関連物と考えることができます 。
ナクビンの定理は、コーシーの定理 のような状況や 積分変換 に直接応用できる 。例えば、 一般化されたボレル変換は 次のように与えられる。
ふ （ わ ） =
∑
ん = 0
∞
ふ
ん
Ψ
ん
わ
ん + 1
。
{\displaystyle F(w)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f_{n}}{\Psi _{n}w^{n+1}}}.}
が型 である 場合 、 の収束領域の外部 とそのすべての特異点は、円板内に含まれる。
ふ
{\displaystyle f}
Ψ
{\displaystyle \Psi}
τ
{\displaystyle \tau}
ふ （ わ ）
{\displaystyle F(w)}
|
わ
|
≤ τ 。
{\displaystyle |w|\leq \tau .}
さらに、
ふ （ ず ） =
1
2 π 私
∮
γ
Ψ （ ず わ ） ふ （ わ ） d わ
{\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }\Psi (zw)F(w)\,dw}
ここで、 積分曲線 γは円板 を囲みます 。これは、 である指数関数型関数に対する通常の ボレル変換 を一般化したものです。一般化されたボレル変換の積分形式も同様に続きます。を 、1次導関数が区間 で制限され 、定義方程式を満たす
関数とします。
|
わ
|
≤ τ
{\displaystyle |w|\leq \tau}
Ψ （ t ） =
e
t
{\displaystyle \Psi (t)=e^{t}}
α （ t ）
{\displaystyle \alpha (t)}
[ 0 、 ∞ ）
{\displaystyle [0,\infty )}
1
Ψ
ん
=
∫
0
∞
t
ん
d α （ t ）
{\displaystyle {\frac {1}{\Psi _{n}}}=\int _{0}^{\infty }t^{n}\,d\alpha (t)}
ここで 、一般化ボレル変換の積分形は
d α （ t ） =
α
′
（ t ） d t
{\displaystyle d\alpha (t)=\alpha ^{\prime }(t)\,dt}
ふ （ わ ） =
1 わ
∫
0
∞
ふ
（
t わ
）
d α （ t ） 。
{\displaystyle F(w)={\frac {1}{w}}\int _{0}^{\infty }f\left({\frac {t}{w}}\right)\,d\alpha (t).}
通常のボレル変換は、 を設定することで回復されます 。ボレル変換の積分形式は ラプラス変換 であることに注意してください。
α （ t ） = −
e
− t
{\displaystyle \alpha (t)=-e^{-t}}
ナフビン総和 ナクビン和は、ボレル和で は足せない発散級数を足すのに使用できます 。たとえば、 次の形式の積分方程式
を漸近的に解くことができます。
グ （ s ） = s
∫
0
∞
け （ s t ） ふ （ t ） d t
{\displaystyle g(s)=s\int _{0}^{\infty }K(st)f(t)\,dt}
ここで 、は 指数型であってもそうでなくてもよく、核は メリン変換 を 持ちます 。解は、 から のようにナクビン和を使って 、 のメリン変換を使って得ることができます 。この例としては、グラム級数があります。
グ （ s ） =
∑
ん = 0
∞
1つの
ん
s
− ん
{\textstyle g(s)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}s^{-n}}
ふ （ t ）
{\displaystyle f(t)}
け （ あなた ）
{\displaystyle K(u)}
ふ （ x ） =
∑
ん = 0
∞
1つの
ん
ま （ ん + 1 ）
x
ん
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {a_{n}}{M(n+1)}}x^{n}}
1つの
ん
{\displaystyle a_{n}}
グ （ s ）
{\displaystyle g(s)}
ま （ ん ）
{\displaystyle M(n)}
け （ あなた ）
{\displaystyle K(u)}
π （ x ） ≈ 1 +
∑
ん = 1
∞
ログ
ん
（ x ）
ん ⋅ ん ！ ζ （ ん + 1 ）
。
{\displaystyle \pi (x)\approx 1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\log ^{n}(x)}{n\cdot n!\zeta (n+1)}}.}
場合によっては、追加の条件として、 有限かつ非ゼロであることを要求する。
∫
0
∞
け （ t ）
t
ん
d t
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }K(t)t^{n}\,dt}
ん = 0 、 1 、 2 、 3 、 。 。 。 。
{\displaystyle n=0,1,2,3,....}
フレシェスペース 指数関数型の関数の集合は、 ノルム の可算族によって誘導される 位相 によって、 完全な 一様空間 、すなわち フレシェ空間 を形成することができる。
τ
{\displaystyle \tau}
‖ ふ
‖
ん
=
すする
ず ∈
Ｃ
経験
[
−
（
τ +
1 ん
）
|
ず
|
]
|
ふ （ ず ）
|
。
{\displaystyle \|f\|_{n}=\sup _{z\in \mathbb {C} }\exp \left[-\left(\tau +{\frac {1}{n}}\right)|z|\right]|f(z)|.}
参照
参考文献 L. Nachbin、「有限指数型の積分関数の概念の拡張」、 Anais Acad. Brasil. Ciencias. 16 (1944) 143–147。 Ralph P. Boas, Jr. および R. Creighton Buck、 「解析関数の多項式展開 (第 2 刷訂正版) 」、(1964) Academic Press Inc.、Publishers New York、Springer-Verlag、ベルリン。米国議会図書館カード番号 63-23263。 (ナクビンの定理の説明と証明、およびこのトピックの一般的なレビューを提供します。) AF Leont'ev (2001) [1994]、「指数型関数」、 数学百科事典 、 EMS Press AF Leont'ev (2001) [1994]、「ボレル変換」、 数学百科事典 、 EMS Press 
![{\displaystyle \|f\|_{n}=\sup _{z\in \mathbb {C} }\exp \left[-\left(\tau +{\frac {1}{n}}\right)|z|\right]|f(z)|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0afab228894be9dfa1e50ff655815efb5392c58a)