正則性の公理

数学において、正則性公理（基礎公理とも呼ばれる）は、ツェルメロ・フランケル集合論の公理であり、空でないすべての 集合 AにはAと互いに素な要素が含まれることを述べています。第一階述語論理では、この公理は次のようになります。

${\displaystyle \forall x\,(x\neq \varnothing \rightarrow \exists y(y\in x\ \land y\cap x=\varnothing )).}$

正則性公理は、対合公理と合わせて、どの集合もそれ自身の要素ではないこと、また、すべてのiに対してa _i+1がa _iの要素であるような無限列( a _n )は存在しないことを意味します。従属選択公理(選択公理の弱められた形式) を使用すると、この結果は逆転します。つまり、そのような無限列が存在しない場合は、正則性公理が真になります。したがって、この文脈では、正則性公理は、下向きの無限メンバーシップ チェーンは存在しないという文と同等です。

この公理はフォン・ノイマン（1925）の貢献であり、ツェルメロ（1930）によって当時の教科書に見られるものに近い定式化で採用された。集合論に基づく数学の分野における事実上すべての結果は、規則性がなくても成り立つ。クネン（1980）の第3章を参照。しかし、規則性は順序数のいくつかの特性の証明を容易にし、整列集合だけでなく、辞書式順序のような整列関係構造である適切なクラスに対しても帰納法を行うことができる。${\displaystyle \{(n,\alpha )\mid n\in \omega \land \alpha {\text{ is an ordinal }}\}\,.}$

ツェルメロ-フランケル集合論の他の公理を考えると、正則性公理は帰納法公理と同等である。帰納法公理は、直観主義理論（排中律を受け入れない理論）において、正則性公理の代わりに使用される傾向があり、その場合、2つの公理は同等ではない。

非標準集合論では、正則性の公理を省略するだけでなく、それ自体の要素である集合の存在も仮定しています。

A を集合とし、対合公理によって集合となる{ A } に正則性公理を適用します。{ A } には、{ A } と素である要素が必ずあることがわかります。{ A }の唯一の要素はAであるため、 Aは { A }と素でなければなりません。したがって、 であるため、 A を Aの 唯一の要素にすることはできません(素の定義により)。 ${\displaystyle A\cap \{A\}=\varnothing }$

逆に、自然数上の関数fがあり、各nに対してf ( n +1)がf ( n )の元であるとします。fの値域S = { f ( n ): n自然数} を定義します。これは、置換公理スキームから集合であることがわかります。Sに正則性公理を適用して、B をS の元で Sと交わらないものとします。 Sの定義により、B は何らかの自然数kに対してf ( k )でなければなりません。しかし、f ( k )にはf ( k +1) が含まれており、これもSの元です。したがって、 f ( k +1) はf ( k ) とSの共通部分にあります。これは、これらが交わらない集合であるという事実と矛盾します。この仮定が矛盾を招いたため、そのような関数f は存在しないはずです。

自分自身を含む集合が存在しないことは、シーケンスが無限かつ一定である特別なケースとして考えることができます。

この議論は、定義不可能なクラスではなく、集合として表すことができる関数fにのみ適用されることに注意してください。遺伝的に有限な集合V _{ω は}、正則性公理（および無限公理 を除くZFCの他のすべての公理）を満たします。したがって、 V _ωの非自明な超冪を形成すると、正則性公理も満たします。結果として得られるモデル には、非標準自然数と呼ばれる、そのモデルの自然数の定義を満たすが実際には自然数ではない要素が含まれます^{[疑わしい-議論する]}。これらは、実際の自然数よりも「大きい」「偽の」自然数です。このモデルには、要素の無限降順シーケンスが含まれます^{[説明が必要]}たとえば、n が非標準の自然数であるとすると、および などとなります。実際の自然数kに対して、 となります。これは、要素の終わりのない降順シーケンスです。しかし、このシーケンスはモデルで定義できないため、集合ではありません。したがって、規則性に対する矛盾は証明できません。 ${\displaystyle (n-1)\in n}$${\displaystyle (n-2)\in (n-1)}$${\displaystyle (n-k-1)\in (n-k)}$

正則性の公理により、順序付きペア ( a , b ) を { a ,{ a , b }} として定義できます。詳細については、順序付きペアを参照してください。この定義により、標準的なKuratowski定義 ( a , b ) = {{ a },{ a , b }}から 1 組の中括弧が削除されます。

これは実際にフォン・ノイマンの公理化における公理の元の形でした。

x が任意の集合であるとします。t を{ x }の推移閉包とします。uをtの、順位付けされていない集合からなる部分集合とします。uが空の場合、x は順位付けされており、これで完了です。それ以外の場合は、 uに正則性公理を適用して、 uと素であるuの要素wを取得します。wはuに含まれるため、wは順位付けされていません。推移閉包の定義により、 w はtの部分集合です。wはuと素であるため、 wのすべての要素は順位付けされています。置換公理と和集合公理を適用してwの要素の順位を組み合わせると、 wの順序順位、すなわち が得られます。これは、 wが順位付けされていないという結論と矛盾します。したがって、 uが空でないという仮定は誤りであり、x は順位を持つ必要があります。 ${\displaystyle \textstyle \operatorname {rank} (w)=\cup \{\operatorname {rank} (z)+1\mid z\in w\}}$

XとY を集合とします。次に、正則性の公理を集合 { X , Y } (ペアリングの公理によって存在する) に適用します。{ X , Y }には、それとは互いに素な要素が必ず存在することがわかります。それはXかY のいずれかです。したがって、素の定義により、 Y はXの要素ではないか、またはその逆で ある必要があります。

空でない集合S を正則性公理の反例とします。つまり、Sのすべての要素はSと空でない共通部分を持ちます。によってS上の二項関係R を定義しますが、これは仮定により完全です。したがって、従属選択公理により、Nのすべてのnに対してa _n Ra _{n+1 を}満たすS内の何らかのシーケンス ( a _n )が存在します。これは無限下降チェーンであるため、矛盾が発生し、そのようなS は存在しません。 ${\displaystyle aRb:\Leftrightarrow b\in S\cap a}$

正則性は、ZF の残りの部分と比較的一貫していることが Skolem (1923) と von Neumann (1929) によって示されました。つまり、正則性のない ZF が一貫している場合、(正則性のある) ZF も一貫しています。彼の現代的な表記法による証明については、たとえば Vaught (2001、§10.1) を参照してください。

正則性の公理は、ZF(C) の他の公理が矛盾しないと仮定すれば、それらから独立していることも示された。この結果は 1941 年にポール・バーネイズによって発表されたが、バーネイズは 1954 年まで証明を発表しなかった。この証明には、リーガー・バーネイズの順列モデル(または方法) が含まれ (また、その研究につながった)、これは非整基礎システムの独立性のその他の証明に使用された (Rathjen 2004、p. 193 および Forster 2003、pp. 210–212)。

素朴な集合論（無制限内包の公理スキームと外延性公理）は、ラッセルのパラドックスのために矛盾している。集合の初期の形式化では、数学者と論理学者は、内包の公理スキームをはるかに弱い分離の公理スキームに置き換えることで、その矛盾を回避した。しかし、このステップだけでは、弱すぎると考えられる集合の理論に至ることになる。^{[要説明] [要出典]}そのため、内包の力の一部は、内包の特殊なケースと見なすことができる ZF 集合論の他の存在公理（対合、和集合、べき集合、置換、無限大）を介して追加されました。^{[要出典] [要説明]}これまでのところ、これらの公理は矛盾をもたらさないようです。その後、選択公理と正則性公理が追加され、望ましくない特性を持つモデルが除外されました。これら 2 つの公理は比較的一貫していることが知られています。

分離の公理スキームの存在下では、ラッセルのパラドックスは、すべての集合の集合は存在しないことの証明になります。正則性の公理は、ペアリングの公理と相まって、このような普遍集合も禁止します。しかし、ラッセルのパラドックスは、追加の公理を使用せずに、分離の公理スキームのみを使用して、「すべての集合の集合」が存在しないことを証明します。特に、正則性の公理のない ZF は、すでにこのような普遍集合を禁止しています。

理論が公理を追加することによって拡張された場合、元の理論の（望ましくない可能性のある）結果は、拡張された理論の結果のままになります。特に、規則性のない ZF が、ZF を得るために規則性を追加することによって拡張された場合、元の理論から生じる矛盾（ラッセルのパラドックスなど）は、拡張された理論でも依然として生じます。

クワイン原子（ x  = { x }という式を満たす集合、つまり自分自身のみを要素とする集合）の存在は、ZFC から正則性の公理を取り除いた理論と整合している。さまざまな非基礎集合論では、ラッセルのパラドックスによって矛盾することなく、クワイン原子などの「安全な」循環集合が許容される。^[1]

ZF では、フォン ノイマン宇宙と呼ばれるクラス がすべての集合のクラスに等しいことが証明できます。このステートメントは、正則性の公理と同等です (この公理を省略して ZF で作業する場合)。正則性の公理を満たさないモデルから、 内の集合のみを取ることで、正則性の公理を満たすモデルを構築できます。 ${\displaystyle \bigcup _{\alpha }V_{\alpha }}$${\displaystyle \bigcup _{\alpha }V_{\alpha }}$

ハーバート・エンダートン (1977, p. 206) は、「ランクの考え方はラッセルの型の概念の子孫である」と書いている。ZF と型理論を比較して、アラスデア・アーカートは、「ツェルメロのシステムは、明示的に型付けされた変数を含まないという表記上の利点があるが、実際には、少なくとも正則性の公理が含まれている場合は、暗黙の型構造が組み込まれていると見ることができる。この暗黙の型付けの詳細は、[ツェルメロ 1930] で詳しく説明されており、ジョージ・ブーロスの有名な論文[ブーロス 1971] でも再び説明されている」と書いている。^[2]

ダナ・スコット （1974）はさらに次のように主張した。

実のところ、パラドックスを回避する満足のいく方法は 1 つしかありません。つまり、何らかの形の型理論を使用することです。これは、ラッセルとツェルメロの直観の基盤でした。実際、ツェルメロの理論をラッセルの理論の単純化と拡張と見なすのが最善です (もちろん、ラッセルの単純な型理論のことです)。単純化とは、型を累積的にすることです。こうすることで、型の混合が容易になり、煩わしい繰り返しが回避されます。後の型が前の型を累積できるようにすれば、型を超限に拡張することは容易に想像できます。どこまで拡張したいかは、必然的に未定のままです。さて、ラッセルは表記法で型を明示的にしましたが、ツェルメロは暗黙のままにしました。[強調は原文のまま]

同じ論文で、スコットは累積階層の固有の性質に基づく公理系が、規則性を含めてZFと同等であることを示しています。^[3]

集合の整基礎性と階数の概念は、ドミトリー・ミリマノフ(1917) によって導入された。レヴィ (2002, p. 68) およびハレット (1996, §4.4, 特に p. 186, 188) を参照。ミリマノフは、すべての降順チェーンx ∋ x ₁ ∋ x _{2 ∋ ... が有限である場合、集合}x を「正則」(フランス語: 「ordinaire」)と呼んだ 。しかし、ミリマノフは、正則性 (および整基礎性) の概念をすべての集合で遵守されるべき公理とは考えていなかった。^[4]後の論文で、ミリマノフは現在では非整基礎集合(ミリマノフの用語では「extraordinaire」) と呼ばれるものについても研究した。^[5]

スコーレム（1923）とフォン・ノイマン（1925）は、非整集合は不要であると指摘し（ファン・ヘイエノールトの翻訳では404ページ）、同じ出版物でフォン・ノイマンは、非整集合の一部（すべてではない）を除外する公理を与えている（翻訳では412ページ）。^[6]その後の出版物で、フォン・ノイマン（1929、231ページ）は、クラス基礎公理と同等だがより複雑なバージョンを与えた。Suppes（1972、53ページ）とLévy（2002、72ページ）を参照。

${\displaystyle A\neq \emptyset \rightarrow \exists x\in A\,(x\cap A=\emptyset )}$。

この公理の現代的かつ最終的な形は、ツェルメロ (1930) によるものです。

固有元は、集合ではないが、集合の要素になることができるオブジェクトです。ZF 集合論には固有元はありませんが、ZFAなどの他の集合論には存在します。これらの理論では、正則性の公理を変更する必要があります。ステートメント「 」は、空ではなく固有元でもないステートメントに置き換える必要があります。適切な置き換えの 1 つは、 xに が存在することを示す です。 ${\displaystyle x\neq \emptyset }$${\displaystyle x}$${\displaystyle (\exists y)[y\in x]}$

• 根拠のない集合論
• スコットのトリック
• イプシロン誘導

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• PlanetMathにおける基礎公理。
• nLab における居住集合と基礎公理