ウレメント

数学の一分野である集合論において、原始要素またはウル要素（ドイツ語の接頭辞ur- 、「原始的」に由来）は、集合ではない（要素を持たない）が、集合の要素になる可能性のあるオブジェクトです。これは、アトムまたは個体とも呼ばれます。ウル要素は、空集合と同一ではありません。

一次理論で基本要素を扱う方法はいくつかありますが、本質的には同等です。

1 つの方法は、2 つの種類、集合、および原始元を持つ第 1 階の理論で作業することです。この場合、 a ∈ b はbが集合の場合にのみ定義されます。この場合、 Uが原始元であれば、 と言うのは意味がありませんが、は完全に正当です。 ${\displaystyle X\in U}$${\displaystyle U\in X}$

別の方法は、集合と ureelement を区別するために単項関係を使用する1 ソート理論で作業することです。空でない集合にはメンバーが含まれますが、ureelement にはメンバーが含まれないため、単項関係は空集合と ureelement を区別するためにのみ必要です。この場合、外延性の公理はureelement ではないオブジェクトにのみ適用されるように定式化する必要があることに注意してください。

この状況は、集合とクラスの理論の扱いに類似しています。実際、ureelement は、ある意味では、適切なクラスと双対です。ureelement はメンバーを持つことができませんが、適切なクラスはメンバーになることはできません。言い換えると、ureelement は最小オブジェクトですが、適切なクラスは、メンバーシップ関係によって最大オブジェクトです (もちろん、これは順序関係ではないため、この類似性を文字通りに受け取るべきではありません)。

1908 年のツェルメロ集合論には、固有要素が含まれていたため、現在では ZFA または ZFCA (選択公理を持つ ZFA ) と呼ばれているバージョンがあります。^[1]この集合論や密接に関連する公理集合論の文脈では、固有要素は不要であることがすぐに認識されました。なぜなら、固有要素のない集合論で簡単にモデル化できるからです。^{[2]したがって、標準的な}公理集合論 ZFおよびZFC の標準的な説明では、固有要素については触れられていません (例外については、Suppes ^[3]を参照)。固有要素を呼び出す集合論の公理化には、固有要素を含むクリプキ-プラテック集合論や、メンデルソンによって記述されたフォン ノイマン-バーネイス-ゲーデル集合論の変種があります。^[4]型理論では、型 0 のオブジェクトは固有要素と呼ばれることがあります。これが「アトム」という名前につながっています。

系New Foundations (NF) に ureelement を追加して NFU を生成すると、驚くべき結果がもたらされる。特に、Jensen は^[5]ペアノ算術に対する NFU の一貫性を証明した。一方、NF の何かに対する一貫性は未解決の問題のままであり、ZF に対する一貫性の Holmes の証明の検証が保留されている。さらに、NFU は、無限公理と選択公理を追加しても、比較的一貫性を保つ。一方、選択公理の否定は、奇妙なことに、NF 定理である。Holmes (1998) は、これらの事実を、NFU が NF よりも数学の基礎としてより成功している証拠としている。Holmes はさらに、集合論は ureelement があるほうがないよりも自然であると主張している。なぜなら、あらゆる理論や物理的宇宙の対象を ureelement としてとることができるからである。^[6]有限集合論では、要素は、物理的物体の原子構成要素や組織のメンバーなど、対象現象の最も低レベルの構成要素にマッピングされます。

元素に対する別のアプローチは、元素を集合以外のオブジェクトの種類としてではなく、特定の種類の集合として考えることである。クワイン原子（ウィラード・ヴァン・オーマン・クワインにちなんで名付けられた）は、それ自身のみを含む集合、つまり式x  = { x }を満たす集合である。^[7]

クワイン原子は、正則性公理を含む集合論のシステムには存在できないが、非整基礎集合論には存在できる。正則性公理を除いたZF集合論は、非整基礎集合が存在することを証明できない（矛盾している場合を除き、矛盾している場合は任意のステートメントを証明できる）が、クワイン原子の存在とは両立する。アクツェルの反基礎公理は、唯一のクワイン原子が存在することを意味する。その他の非整基礎理論は、多くの異なるクワイン原子を認める可能性がある。スペクトルの対極には、ボッファの超普遍性公理があり、これは、異なるクワイン原子が適切なクラスを形成することを意味する。^[8]

クワインの原子はクワインの新基礎にも登場し、複数のそのような集合が存在することを許容している。^[9]

クワイン原子はピーター・アツェルによって反射集合と呼ばれる唯一の集合である^[8]が、ジョン・バーワイズやローレンス・モスなどの他の著者は後者の用語を、 x∈x の 性質を持つより大きな集合のクラスを表すために使用している^[10]。

• ワイスタイン、エリック・W.「ユーエレメント」。マスワールド。