アペリー定数は、 正の整数 の立方数 の逆数 の無限和 として定義される数学定数 です。記号で表すと、
ζ （ 3 ） = ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (3)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\end{aligned}}} ここでζは リーマンゼータ関数 である。その近似値は
ζ (3) ≈ 1.20205 69031 59594 28539 97381 61511 44999 07649 86292 … ( OEIS の シーケンス A002117 ) 。これは、それが無理数であることを証明した ロジャー・アペリー にちなんで名付けられました。
不動産 数学における未解決問題
アペリーの定数は超越論的か？
ζ (3) は無理数 であることを証明したフランスの数学者ロジャー・アペリーにちなんで アペリー定数 と名付けられました。この結果はアペリーの定理 [ 6 ]
Beukers の簡略化された無理性証明は、ζ (3)
ζ （ 3 ） = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 1 − x y z d x d y d z 、 {\displaystyle \zeta (3)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-xyz}}\,dx\,dy\,dz,} ルジャンドル多項式 によって。特に、ファン・デル・ポーテンの論文では、このアプローチについて次のように述べている。
私 3 := − 1 2 ∫ 0 1 ∫ 0 1 P n （ x ） P n （ y ） ログ （ x y ） 1 − x y d x d y = b n ζ （ 3 ） − 1 n 、 {\displaystyle I_{3}:=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {P_{n}(x)P_{n}(y)\log(xy)}{1-xy}}\,dx\,dy=b_{n}\zeta (3)-a_{n},} どこ| 私 | ≤ ζ （ 3 ） （ 1 − 2 ） 4 n {\displaystyle |I|\leq \zeta (3)(1-{\sqrt {2}})^{4n}} P n （ z ） {\displaystyle P_{n}(z)} はルジャンドル多項式 であり、部分列は b n 、 2 最小公倍数 （ 1 、 2 、 … 、 n ） ⋅ 1 n ∈ Z {\displaystyle b_{n},2\operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,n)\cdot a_{n}\in \mathbb {Z} } ほぼ整数 です。
多くの人々が、 ζ (3)リーマンゼータ関数の他の値 に拡張しようと試みてきた。これまでのところ、特定の数値については何の成果も得られていないが、奇数ゼータ定数ζ (2 n + 1) ζ (5)ζ (7)ζ ( 9)ζ (11)
アペリー定数は超越数で あることがまだ証明されていないが、代数周期 であることは知られている。これは、その三重積分の形から直ちに導かれる。
系列表現
クラシック 基本系列に加えて：
ζ （ 3 ） = ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 、 {\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}},} レオンハルト・オイラーは 級数表現を与えた。
ζ （ 3 ） = π 2 7 （ 1 − 4 ∑ k = 1 ∞ ζ （ 2 k ） 2 2 k （ 2 k + 1 ） （ 2 k + 2 ） ） {\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left(1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{2^{2k}(2k+1)(2k+2)}}\right)} 1772年に発見され、その後何度か再発見された。
高速収束 19世紀以来、多くの数学者がζ (3)既知の桁数 」の項を参照）。
以下の数列表現は、 1890 年にAA Markov によって発見され、 1953 年に Hjortnaes によって再発見され、 1979 年に Apéry によって再び再発見され、広く宣伝されました。
ζ （ 3 ） = 5 2 ∑ k = 1 ∞ （ − 1 ） k − 1 k ! 2 （ 2 k ） ! k 3 。 {\displaystyle \zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {k!^{2}}{(2k)!k^{3}}}.} 次の級数表現では、（漸近的に）項あたり 1.43 桁の新しい正しい小数点以下の桁数が得られます。
ζ （ 3 ） = 1 4 ∑ k = 1 ∞ （ − 1 ） k − 1 （ k − 1 ） ! 3 （ 56 k 2 − 32 k + 5 ） （ 2 k − 1 ） 2 （ 3 k ） ! 。 {\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{4}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(k-1)!^{3}(56k^{2}-32k+5)}{(2k-1)^{2}(3k)!}}.} 以下の級数表現では、（漸近的に）項あたり 3.01 桁の新しい正しい小数点以下の桁数が得られます。
ζ （ 3 ） = 1 64 ∑ k = 0 ∞ （ − 1 ） k k ! 10 （ 205 k 2 + 250 k + 77 ） （ 2 k + 1 ） ! 5 。 {\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{64}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {k!^{10}(205k^{2}+250k+77)}{(2k+1)!^{5}}}.} 次の級数表現では、（漸近的に）項あたり 3.92 桁の新しい正しい小数点以下の桁数が得られます。
ζ （ 3 ） = 1 2 ∑ k = 0 ∞ （ − 1 ） k （ 2 k ） ! 3 （ k + 1 ） ! 6 （ 40885 k 5 + 124346 k 4 + 150160 k 3 + 89888 k 2 + 26629 k + 3116 ） （ k + 1 ） 2 （ 3 k + 3 ） ! 4 。 {\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(2k)!^{3}(k+1)!^{6}(40885k^{5}+124346k^{4}+150160k^{3}+89888k^{2}+26629k+3116)}{(k+1)^{2}(3k+3)!^{4}}}.} 次の級数表現では、（漸近的に）項あたり 5.04 桁の新しい正しい小数点以下の桁数が得られます。[ 16 ]
ζ （ 3 ） = 1 24 ∑ k = 0 ∞ （ − 1 ） k （ 2 k + 1 ） ! 3 （ 2 k ） ! 3 k ! 3 （ 126392 k 5 + 412708 k 4 + 531578 k 3 + 336367 k 2 + 104000 k + 12463 ） （ 3 k + 2 ） ! （ 4 k + 3 ） ! 3 。 {\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{24}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(2k+1)!^{3}(2k)!^{3}k!^{3}(126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463)}{(3k+2)!(4k+3)!^{3}}}.} これは、数百万桁の正確な小数点以下の桁数でアペリー定数を計算するために使用されてきました。[ 17 ]
その他 ラマヌジャン によって以下の級数表現が発見されました: [ 19 ]
ζ （ 3 ） = 7 180 π 3 − 2 ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 （ e 2 π k − 1 ） 。 {\displaystyle \zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}.} 以下の数列表現は、 1998年にサイモン・プルーフ によって発見されました。
ζ （ 3 ） = 14 ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 シン （ π k ） − 11 2 ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 （ e 2 π k − 1 ） − 7 2 ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 （ e 2 π k + 1 ） 。 {\displaystyle \zeta (3)=14\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\sinh(\pi k)}}-{\frac {11}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}+1)}}.} Srivastava (2000) は、アペリー定数に収束する多くの級数を収集した。
積分表現 アペリー定数には数多くの積分表現が存在する。その中には単純なものもあれば、より複雑なものもある。
以下の式は、ゼータ関数の積分定義から直接導かれる。
ζ （ 3 ） = 1 2 ∫ 0 ∞ x 2 e x − 1 d x {\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,dx}
その他の式には
ζ （ 3 ） = π ∫ 0 ∞ コス （ 2 アークタン x ） （ x 2 + 1 ） （ コッシュ 1 2 π x ） 2 d x {\displaystyle \zeta (3)=\pi \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(2\arctan x)}{(x^{2}+1)\left(\cosh {\frac {1}{2}}\pi x\right)^{2}}}\,dx} および
ζ （ 3 ） = − 1 2 ∫ 0 1 ∫ 0 1 ログ （ x y ） 1 − x y d x d y = − ∫ 0 1 ∫ 0 1 ログ （ 1 − x y ） x y d x d y 。 {\displaystyle \zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {\log(xy)}{1-xy}}\,dx\,dy=-\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {\log(1-xy)}{xy}}\,dx\,dy.} また、
ζ （ 3 ） = 8 π 2 7 ∫ 0 1 x （ x 4 − 4 x 2 + 1 ） ログ ログ 1 x （ 1 + x 2 ） 4 d x = 8 π 2 7 ∫ 1 ∞ x （ x 4 − 4 x 2 + 1 ） ログ ログ x （ 1 + x 2 ） 4 d x 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (3)&={\frac {8\pi ^{2}}{7}}\int _{0}^{1}{\frac {x(x^{4}-4x^{2}+1)\log \log {\frac {1}{x}}}{(1+x^{2})^{4}}}\,dx\\&={\frac {8\pi ^{2}}{7}}\int _{1}^{\infty }{\frac {x(x^{4}-4x^{2}+1)\log \log {x}}{(1+x^{2})^{4}}}\,dx.\end{aligned}}} ガンマ関数 の導関数との関連性[ 24 ]
ζ （ 3 ） = − 1 2 （ Γ ‴ （ 1 ） + γ 3 + 1 2 π 2 γ ） = − 1 2 ψ （ 2 ） （ 1 ） {\displaystyle \zeta (3)=-{\tfrac {1}{2}}(\Gamma '''(1)+\gamma ^{3}+{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\gamma )=-{\tfrac {1}{2}}\psi ^{(2)}(1)} また、ガンマ関数とポリガンマ関数 の既知の積分公式を介してさまざまな積分表現を導出するのにも非常に役立ちます。
連分数 アペリー定数は、次の連分数 と関係があります。[ 26 ]
6 ζ （ 3 ） = 5 − 1 117 − 64 535 − 729 1436 − 4096 3105 − 15625 … {\displaystyle {\frac {6}{\zeta (3)}}=5-{\cfrac {1}{117-{\cfrac {64}{535-{\cfrac {729}{1436-{\cfrac {4096}{3105-{\cfrac {15625}{\dots }}}}}}}}}}} と1 n = 34 n 3 + 51 n 2 + 27 n + 5 {\displaystyle a_{n}=34n^{3}+51n^{2}+27n+5} b n = − n 6 {\displaystyle b_{n}=-n^{6}}
その単純連分数 は次のように表されます。[ 27 ]
ζ （ 3 ） = 1 + 1 4 + 1 1 + 1 18 + 1 1 + 1 1 + 1 … {\displaystyle \zeta (3)=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\dots }}}}}}}}}}}}} その他の式は次のように示されています。[ 28 ]
ζ （ 3 ） = G 0 、 G k = 1 + 1 4 + 1 1 + （ k + 1 ） 3 （ k + 1 ） （ 2 k + 3 ） （ 2 k + 4 ） + （ k + 2 ） 3 G k + 1 {\displaystyle \zeta (3)=G_{0}},G_{k}=1+{\frac {1}{4+{\frac {1}{1+{\frac {(k+1)^{3}}{(k+1)(2k+3)(2k+4)+{\frac {(k+2)^{3}}{G_{k+1}}}}}}}}} ζ （ 3 ） = 6 W 0 、 W k = 4 （ 2 k + 1 ） 3 + （ k + 1 ） 3 1 + （ k + 1 ） 3 W k + 1 {\displaystyle \zeta (3)={\frac {6}{W_{0}}},W_{k}=4(2k+1)^{3}+{\frac {(k+1)^{3}}{1+{\frac {(k+1)^{3}}{W_{k+1}}}{}}}} [ 29 ]
2 ζ （ 3 ） = 2 + 1 N 0 、 N k = 2 k + 2 + （ k + 1 ） （ k + 2 ） 2 k + 4 + （ k + 1 ） 2 2 k + 3 + （ k + 2 ） 2 2 k + 2 + （ k + 1 ） （ k + 2 ） N k + 1 {\displaystyle 2\zeta (3)=2+{\frac {1}{N_{0}}},N_{k}=2k+2+{\frac {(k+1)(k+2)}{2k+4+{\frac {(k+1)^{2}}{2k+3+{\frac {(k+2)^{2}}{2k+2+{\frac {(k+1)(k+2)}{N_{k+1}}}}}}}}}} [ 30 ]
2 ζ （ 3 ） = 2 + 42 H 0 、 H k = 1 （ k ） − b （ k ） H k + 1 {\displaystyle 2\zeta (3)=2+{\frac {42}{H_{0}}},H_{k}=a(k)-{\frac {b(k)}{H_{k+1}}}} と
1 （ k ） = 2 （ 102 k 6 + 612 k 5 + 1462 k 4 + 1768 k 3 + 1143 k 2 + 382 k + 52 ） {\displaystyle a(k)=2(102k^{6}+612k^{5}+1462k^{4}+1768k^{3}+1143k^{2}+382k+52)} b （ k ） = （ k + 1 ） 3 （ k + 2 ） 3 （ 2 k + 1 ） （ 2 k + 5 ） （ 3 k 2 + 3 k + 1 ） （ 3 k 2 + 15 k + 19 ） {\displaystyle b(k)=(k+1)^{3}(k+2)^{3}(2k+1)(2k+5)(3k^{2}+3k+1)(3k^{2}+15k+19)} [ 31 ]
2 ζ （ 3 ） = 7 6 + 73 12 * S 0 、 S k = 1 （ k ） − b （ k ） S k + 1 {\displaystyle 2\zeta (3)={\frac {7}{6}}+{\frac {73}{12*S_{0}}},S_{k}=a(k)-{\frac {b(k)}{S_{k+1}}}} と
1 （ k ） = 2 （ 204 k 6 + 1173 k 5 + 2668 k 4 + 3065 k 3 + 1905 k 2 + 634 k + 86 ） {\displaystyle a(k)=2(204k^{6}+1173k^{5}+2668k^{4}+3065k^{3}+1905k^{2}+634k+86)} b （ k ） = （ k + 1 ） 3 （ k + 2 ） 3 4 （ 24 k 3 + 30 k 2 + 16 k + 3 ） （ 24 k 3 + 174 k 2 + 424 k + 347 ） {\displaystyle b(k)={\frac {(k+1)^{3}(k+2)^{3}}{4}}(24k^{3}+30k^{2}+16k+3)(24k^{3}+174k^{2}+424k+347)}
既知の数字 アペリー定数ζ （3）× 10 12。
注記 ↑ ビューカース (1979) ;ズディリン (2002) 。↑ Wedeniwski (1998) ; Wedeniwski (2001) 。Sebastian Wedeniwski は Simon Plouffe へのメッセージの中で、この公式はAmdeberhan & Zeilberger (1997) から導き出したと述べている。発見年 (1998 年) はSimon Plouffe の記録表(2001 年 4 月 8 日) に記載されている。↑ Wedeniwski (1998) ; Wedeniwski (2001) 。↑ Berndt (1989 、第14章、式25.1および25.3) 。↑ ハバー、ハワード・E.（2010年冬）「ガンマ関数の対数微分」（PDF） 、物理学116A講義ノート 、カリフォルニア大学サンタクルーズ校 ↑ Weisstein, Eric W.、 「アペリ定数」 、 mathworld.wolfram.com 、 2024年 9月21日 取得 ↑ Weisstein, Eric W.、 「Apéryの定数連分数」 、 mathworld.wolfram.com 、 2024年 9月21日 取得 ↑ SN Gladkovskii 2*ζ(3) の連分数展開における Yu.V. Nesterenko の公式の初等的導出https://arxiv.org/pdf/2411.07513 ↑ Ю。 В。 Нестеренко、“Некоторые замечания о ζ(3)”、Матем。 заметки、59:6 (1996)、865–880;数学。注、59:6 (1996)、625–636 ↑ グートニック、LA、 「数ζ(3)について」 （PDF） 、 2026年 3月1日 取得 ↑ Anier Soria Lorente、「ネステレンコ型有理関数、アペリーの定理の証明に役立つ」、『数論と離散数学に関するノート』ISSN 1310-5132、第20巻、2014年、第2号、79-91頁 1 2 3 Yee, Alexander、 「y-cruncherによって設定された記録」 、 2024年 4月1日 取得 ↑ アペリーの不動の世界記録、キム・スンミン著 、2020年7月28日、 2020年 7月28日 取得
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