特殊アフィン曲率は、 等アフィン曲率 または アフィン曲率 とも呼ばれ 、 特殊なアフィン変換 ( 面積を 保存する アフィン変換) によって 変化 しない 平面 曲線上で定義される特別な種類の 曲率です。等アフィン曲率 k が一定の曲線は、 すべて非特異 平面円錐曲線です。k > 0 のものは 楕円 、 k = 0 のものは 放物線 、 k < 0 の もの は 双曲線 です 。
ある点における曲線の通常のユークリッド曲率は、その 接触円 の曲率であり、その点で曲線と 2 次接触 (3 点接触) する唯一の円です。同様に、点 Pにおける曲線の特殊アフィン曲率は、その 超接触円錐 の特殊アフィン曲率であり 、その超接触円錐は、 Pで曲線と 4 次 接触 (5 点接触)する唯一の円錐 です。言い換えると、曲線上の 4 点 P 1 、 P 2 、 P 3 、 P 4 を通る (唯一の)円錐の、各点が P に近づくとき の 極限 位置です。
ポ
1
、
ポ
2
、
ポ
3
、
ポ
4
→ ポ 。
{\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}\to P.}
いくつかの文脈では、 アフィン曲率は 一般アフィン群 の微分不変量 κ を指し 、これは特殊アフィン曲率 kから κ = k − によって容易に得られる。 3 / 2 いいえ / ds 、ここで sは 特殊アフィン弧の長さです。一般アフィン群が使用されない場合は、特殊アフィン曲率 kは アフィン曲率と呼ばれることもあります。
特殊アフィン弧長 特殊アフィン曲率を定義するには、まず 特殊アフィン弧長 （等 アフィン弧長 とも呼ばれる）を定義する必要があります。アフィン平面曲線 β ( t )を考えます。2つのベクトル a = ( a 1 , a 2 ) と b = ( b 1 , b 2 ) によって張られる平行四辺形の面積が行列式 で与えられるように、アフィン平面の 座標を選択します。
詳細
[
1つの
b
]
=
1つの
1
b
2
−
1つの
2
b
1
。
{\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}.}
特に、決定要因
詳細
[
d β
d t
d
2
β
d
t
2
]
{\displaystyle \det {\begin{bmatrix}{\dfrac {d\beta}{dt}}&{\dfrac {d^{2}\beta}{dt^{2}}}\end{bmatrix}}}
は、特殊アフィン群の明確に定義された不変量であり、曲線β の速度と加速度によって張られる平行四辺形の符号付き面積を与えます。曲線 β の再パラメータ化、つまり、 t に関連付けられた 新しいパラメータ s を、通常の再パラメータ化 s = s ( t )によって使用することを考えてみましょう。この行列式は、 連鎖律 によって、次のような変換を受けます 。
詳細
[
d β
d t
d
2
β
d
t
2
]
= 詳細
[
d β
d s
d s
d t
（
d
2
β
d
s
2
（
d s
d t
）
2
+
d β
d s
d
2
s
d
t
2
）
]
=
（
d s
d t
）
3
詳細
[
d β
d s
d
2
β
d
s
2
]
。
{\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\dfrac {d\beta }{dt}}&{\dfrac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}\end{bmatrix}}&=\det {\begin{bmatrix}{\dfrac {d\beta }{ds}}{\dfrac {ds}{dt}}&\left({\dfrac {d^{2}\beta }{ds^{2}}}\left({\dfrac {ds}{dt}}\right)^{2}+{\dfrac {d\beta }{ds}}{\dfrac {d^{2}s}{dt^{2}}}\right)\end{bmatrix}}\\&=\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{3}\det {\begin{bmatrix}{\dfrac {d\beta }{ds}}&{\dfrac {d^{2}\beta }{ds^{2}}}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}
再パラメータ化は次のように選択できる。
det
[
d
β
d
s
d
2
β
d
s
2
]
=
1
{\displaystyle \det {\begin{bmatrix}{\dfrac {d\beta }{ds}}&{\dfrac {d^{2}\beta }{ds^{2}}}\end{bmatrix}}=1}
速度と加速度が与えられれば、 dβ / dt と d 2 β / 2 日目 は 線形独立 です 。このようなパラメータ化の存在と一意性は、積分によって証明されます。
s
(
t
)
=
∫
a
t
det
[
d
β
d
t
d
2
β
d
t
2
]
3
d
t
.
{\displaystyle s(t)=\int _{a}^{t}{\sqrt[{3}]{\det {\begin{bmatrix}{\dfrac {d\beta }{dt}}&{\dfrac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}\end{bmatrix}}}}\,\,dt.}
この積分は特殊アフィン弧長 と呼ばれ 、このパラメータ化を持つ曲線は特殊アフィン弧長に関してパラメータ化されていると言われます。
特殊なアフィン曲率 β ( s ) が 特殊アフィン弧長でパラメータ化された曲線である と仮定する。 特殊アフィン曲率 （または等 アフィン曲率 ）は次のように与えられる。
k
(
s
)
=
det
[
β
″
(
s
)
β
‴
(
s
)
]
.
{\displaystyle k(s)=\det {\begin{bmatrix}\beta ''(s)&\beta '''(s)\end{bmatrix}}.}
ここで β ′は βの s に関する 微分を表す 。
より一般的には、 任意のパラメータ化を持つ平面曲線に対して
t
↦
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)
,
{\displaystyle t\mapsto {\bigl (}x(t),y(t){\bigr )},}
特殊アフィン曲率は次の通りです。
k
(
t
)
=
x
″
y
‴
−
x
‴
y
″
(
x
′
y
″
−
x
″
y
′
)
5
3
−
1
2
(
1
(
x
′
y
″
−
x
″
y
′
)
2
3
)
″
=
4
(
x
″
y
‴
−
x
‴
y
″
)
+
(
x
′
y
⁗
−
x
⁗
y
′
)
3
(
x
′
y
″
−
x
″
y
′
)
5
3
−
5
(
x
′
y
‴
−
x
‴
y
′
)
2
9
(
x
′
y
″
−
x
″
y
′
)
8
3
{\displaystyle {\begin{aligned}k(t)&={\frac {x''y'''-x'''y''}{\left(x'y''-x''y'\right)^{\frac {5}{3}}}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\left(x'y''-x''y'\right)^{\frac {2}{3}}}}\right)''\\[6px]&={\frac {4\left(x''y'''-x'''y''\right)+\left(x'y''''-x''''y'\right)}{3\left(x'y''-x''y'\right)^{\frac {5}{3}}}}-{\frac {5\left(x'y'''-x'''y'\right)^{2}}{9\left(x'y''-x''y'\right)^{\frac {8}{3}}}}\end{aligned}}}
ただし、曲線の1次導関数と2次導関数は線形独立である。グラフ y = y ( x ) の特別なケースでは、これらの式は次のように簡約される。
k
=
−
1
2
(
1
(
y
″
)
2
3
)
″
=
y
⁗
3
(
y
″
)
5
3
−
5
(
y
‴
)
2
9
(
y
″
)
8
3
{\displaystyle k=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\left(y''\right)^{\frac {2}{3}}}}\right)''={\frac {y''''}{3\left(y''\right)^{\frac {5}{3}}}}-{\frac {5\left(y'''\right)^{2}}{9\left(y''\right)^{\frac {8}{3}}}}}
ここでプライムはx に関する微分を表す 。
アフィン曲率 上と同様に、 β ( s ) が 特殊なアフィン弧長でパラメータ化された曲線であると仮定する。この曲線には、面積保存型だけでなく平面上のすべてのアフィン運動の群である一般アフィン群 の下で不変な不変量 のペアが存在する。最初のものは
σ
=
∫
k
(
s
)
d
s
,
{\displaystyle \sigma =\int {\sqrt {k(s)}}\,ds,}
アフィン弧長 と呼ばれることもあります（ただし、これは上記の特別なアフィン弧長と混同される危険性があります）。2 つ目は アフィン曲率 と呼ばれます 。
κ
=
k
−
3
2
d
k
d
s
.
{\displaystyle \kappa =k^{-{\frac {3}{2}}}{\frac {dk}{ds}}.}
円錐曲線 β ( s )が、定数アフィン曲率 k を持つ特別なアフィン弧長によってパラメータ化された曲線である と仮定する 。
C
β
(
s
)
=
[
β
′
(
s
)
β
″
(
s
)
]
.
{\displaystyle C_{\beta }(s)={\begin{bmatrix}\beta '(s)&\beta ''(s)\end{bmatrix}}.}
βは 特別なアフィン弧長パラメータ化を持つと仮定されるため 、
det( C β ) = 1で あることに注意する。
k
=
det
(
C
β
′
)
.
{\displaystyle k=\det \left(C_{\beta }'\right).\,}
Cβ の形から次のことが分かり ます
。
C
β
′
=
C
β
[
0
−
k
1
0
]
.
{\displaystyle C_{\beta }'=C_{\beta }{\begin{bmatrix}0&-k\\1&0\end{bmatrix}}.}
適切な特殊アフィン変換を適用することで、 C β (0) = I が単位行列となるように配置することができます。kは定数なので 、 C β は 行列指数 で与えられます。
C
β
(
s
)
=
exp
{
s
⋅
[
0
−
k
1
0
]
}
=
[
cos
k
s
k
sin
k
s
−
1
k
sin
k
s
cos
k
s
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}C_{\beta }(s)&=\exp \left\{s\cdot {\begin{bmatrix}0&-k\\1&0\end{bmatrix}}\right\}\\&={\begin{bmatrix}\cos {\sqrt {k}}\,s&{\sqrt {k}}\sin {\sqrt {k}}\,s\\-{\frac {1}{\sqrt {k}}}\sin {\sqrt {k}}\,s&\cos {\sqrt {k}}\,s\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}
３つのケースは今のところ以下の通りです。
0 = 0 です 曲率が等しく消える場合、極限に達すると、
C
β
(
s
)
=
[
1
0
s
1
]
{\displaystyle C_{\beta }(s)={\begin{bmatrix}1&0\\s&1\end{bmatrix}}}
よって β ′( s )=(1, s ) となり、積分すると
β
(
s
)
=
(
s
,
s
2
2
)
{\displaystyle \beta (s)=\left(s,{\frac {s^{2}}{2}}\right)\,}
全体的に定数の平行移動まで、これは放物線 y = の特別なアフィンパラメータ化です。 × 2 / 2 . 0 より大きい 特殊アフィン曲率が正であれば、
β
′
(
s
)
=
(
cos
k
s
,
1
k
sin
k
s
)
{\displaystyle \beta '(s)=\left(\cos {\sqrt {k}}\,s,{\frac {1}{\sqrt {k}}}\sin {\sqrt {k}}\,s\right)}
となることによって
β
(
s
)
=
(
1
k
sin
k
s
,
−
1
k
cos
k
s
)
{\displaystyle \beta (s)=\left({\frac {1}{\sqrt {k}}}\sin {\sqrt {k}}\,s,-{\frac {1}{k}}\cos {\sqrt {k}}\,s\right)}
平行移動まで、これは楕円 kx 2 + k 2 y 2 = 1 の特殊なアフィンパラメータ化です。 0 未満 k が負の場合、 Cβ の 三角関数は 双曲関数 に変わります 。
C
β
(
s
)
=
[
cosh
|
k
|
s
|
k
|
sinh
|
k
|
s
1
|
k
|
sinh
|
k
|
s
cosh
|
k
|
s
]
.
{\displaystyle C_{\beta }(s)={\begin{bmatrix}\cosh {\sqrt {|k|}}\,s&{\sqrt {|k|}}\sinh {\sqrt {|k|}}\,s\\{\frac {1}{\sqrt {|k|}}}\sinh {\sqrt {|k|}}\,s&\cosh {\sqrt {|k|}}\,s\end{bmatrix}}.}
したがって
β
(
s
)
=
(
1
|
k
|
sinh
|
k
|
s
,
1
|
k
|
cosh
|
k
|
s
)
{\displaystyle \beta (s)=\left({\frac {1}{\sqrt {|k|}}}\sinh {\sqrt {|k|}}\,s,{\frac {1}{|k|}}\cosh {\sqrt {|k|}}\,s\right)}
平行移動まで、これは双曲線の特別なアフィンパラメータ化である
−
|
k
|
x
2
+
|
k
|
2
y
2
=
1.
{\displaystyle -|k|x^{2}+|k|^{2}y^{2}=1.}
アフィン合同までの特徴づけ 浸漬曲線の特殊アフィン曲率は、次の意味で曲線の唯一の（局所的な）不変量です。
2 つの曲線がすべての点で同じ特殊アフィン曲率を持つ場合、特殊なアフィン変換によって 1 つの曲線が他の曲線から得られます。 実際、もう少し強い主張も成り立ちます。
任意の連続関数 k : [ a , b ] → R に対して、1次導関数と2次導関数が線形独立である曲線 β が存在し、特殊アフィンパラメータ化に対する β の特殊アフィン曲率は、与えられた関数 k に等しくなります。曲線 β は 、特殊アフィン変換を除いて一意に決定されます。 これは、ユークリッド運動までの平面曲線の完全な分類が、 曲線の曲率である単一の関数 κ に依存するという、古典的な 曲線の微分幾何学における曲線の基本定理に類似している。これは、基本的に、 ピカール・リンデレーフの定理を 次の系に
適用することによって得られる。
C
β
′
=
C
β
[
0
−
k
1
0
]
{\displaystyle C_{\beta }'=C_{\beta }{\begin{bmatrix}0&-k\\1&0\end{bmatrix}}}
ここで、 C β = [ β ′ β ″]です。 移動フレーム の理論に基づく別のアプローチは、 ダルブー導関数 の原始関数の存在を適用することです 。
アフィン不変性による曲率の導出 特殊アフィン曲率は不変理論 の手法によって明示的に導出できる。簡単にするために、アフィン平面曲線がグラフ y = y ( x ) の形で与えられていると仮定する 。特殊アフィン群は、次の形式の変換を介してデカルト平面に作用する。
x
↦
a
x
+
b
y
+
α
y
↦
c
x
+
d
y
+
β
,
{\displaystyle {\begin{aligned}x&\mapsto ax+by+\alpha \\y&\mapsto cx+dy+\beta ,\end{aligned}}}
ここで、 ad − bc = 1 である 。次の ベクトル場は 特殊アフィン群の無限小生成元の
リー代数 を張る。
T
1
=
∂
x
,
T
2
=
∂
y
X
1
=
x
∂
y
,
X
2
=
y
∂
x
,
H
=
x
∂
x
−
y
∂
y
.
{\displaystyle {\begin{aligned}T_{1}&=\partial _{x},&\quad T_{2}&=\partial _{y}\\X_{1}&=x\partial _{y},&\quad X_{2}&=y\partial _{x},&H&=x\partial _{x}-y\partial _{y}.\end{aligned}}}
アフィン変換は点だけでなく、 y = y ( x ) の形のグラフの接線にも作用します。つまり、座標 ( x , y , y ′) の3つ組には特殊アフィン群の作用があります 。群の作用はベクトル場によって生成されます。
T
1
(
1
)
,
T
2
(
1
)
,
X
1
(
1
)
,
X
2
(
1
)
,
H
(
1
)
{\displaystyle T_{1}^{(1)},T_{2}^{(1)},X_{1}^{(1)},X_{2}^{(1)},H^{(1)}}
3つの変数（ x 、 y 、 y ′） の空間上で定義されます 。これらのベクトル場は次の2つの要件によって決定されます。
xy 平面への投影では 、それらはそれぞれアクション T 1 、 T 2 、 X 1 、 X 2 、 H の対応する元の生成元に投影される必要があります。 ベクトルはジェット空間 の 接触構造を スケールまで保存する必要がある
θ
1
=
d
y
−
y
′
d
x
.
{\displaystyle \theta _{1}=dy-y'\,dx.}
具体的には、生成元 X (1) は
L
X
(
1
)
θ
1
≡
0
(
mod
θ
1
)
{\displaystyle L_{X^{(1)}}\theta _{1}\equiv 0{\pmod {\theta _{1}}}}
ここで、 Lは リー微分 です 。 同様に、群の作用は任意の数の導関数( x 、 y 、 y ′、 y ″、…、 y ( k ) ) の空間に拡張することができる 。
特殊アフィン群の作用を生成する延長ベクトル場は、各生成元 X∈ {T1、T2、X1 、 X2 、 H } に対して 、 帰納的 に 次 式 を 満たさ なけれ ばならない。
X ( k ) を変数空間 ( x , y , y ′,…, y ( k −1) ) に射影すると X ( k −1) となる 。 X ( k ) は 接触イデアルを保存する:
L
X
(
k
)
θ
k
≡
0
(
mod
θ
1
,
…
,
θ
k
)
{\displaystyle L_{X^{(k)}}\theta _{k}\equiv 0{\pmod {\theta _{1},\dots ,\theta _{k}}}}
どこ
θ
i
=
d
y
(
i
−
1
)
−
y
(
i
)
d
x
.
{\displaystyle \theta _{i}=dy^{(i-1)}-y^{(i)}dx.}
4次までの帰納的構成を実行すると、
T
1
(
4
)
=
∂
x
,
T
2
(
4
)
=
∂
y
X
1
(
4
)
=
x
∂
y
+
∂
y
′
X
2
(
4
)
=
y
∂
x
−
y
′
2
∂
y
′
−
3
y
′
y
″
∂
y
″
−
(
3
y
″
2
+
4
y
′
y
‴
)
∂
y
‴
−
(
10
y
″
y
‴
+
5
y
′
y
⁗
)
∂
y
⁗
H
(
4
)
=
x
∂
x
−
y
∂
y
−
2
y
′
∂
y
′
−
3
y
″
∂
y
″
−
4
y
‴
∂
y
‴
−
5
y
⁗
∂
y
⁗
.
{\displaystyle {\begin{aligned}T_{1}^{(4)}&=\partial _{x},\qquad T_{2}^{(4)}=\partial _{y}\\X_{1}^{(4)}&=x\partial _{y}+\partial _{y'}\\X_{2}^{(4)}&=y\partial _{x}-y'^{2}\partial _{y'}-3y'y''\partial _{y''}-\left(3y''^{2}+4y'y'''\right)\partial _{y'''}-{\bigl (}10y''y'''+5y'y''''{\bigr )}\partial _{y''''}\\H^{(4)}&=x\partial _{x}-y\partial _{y}-2y'\partial _{y'}-3y''\partial _{y''}-4y'''\partial _{y'''}-5y''''\partial _{y''''}.\end{aligned}}}
特殊なアフィン曲率
k
=
y
⁗
3
(
y
″
)
5
3
−
5
(
y
‴
)
2
9
(
y
″
)
8
3
{\displaystyle k={\frac {y''''}{3\left(y''\right)^{\frac {5}{3}}}}-{\frac {5\left(y'''\right)^{2}}{9\left(y''\right)^{\frac {8}{3}}}}}
はx 、 y 、 y ′ に明示的に依存しない ので、
T
1
(
4
)
k
=
T
2
(
4
)
k
=
X
1
(
4
)
k
=
0.
{\displaystyle T_{1}^{(4)}k=T_{2}^{(4)}k=X_{1}^{(4)}k=0.}
ベクトル場 Hは 対角的に修正同次演算子として作用し、 H (4) k = 0 であることが容易に検証できる。最後に、
X
2
(
4
)
k
=
1
2
[
H
,
X
1
]
(
4
)
k
=
1
2
[
H
(
4
)
,
X
1
(
4
)
]
k
=
0.
{\displaystyle X_{2}^{(4)}k={\tfrac {1}{2}}\left[H,X_{1}\right]^{(4)}k={\tfrac {1}{2}}\left[H^{(4)},X_{1}^{(4)}\right]k=0.}
5つのベクトル場
T
1
(
4
)
,
T
2
(
4
)
,
X
1
(
4
)
,
X
2
(
4
)
,
H
(
4
)
{\displaystyle T_{1}^{(4)},T_{2}^{(4)},X_{1}^{(4)},X_{2}^{(4)},H^{(4)}}
R 6 (の開集合) 上の反転分布を形成し 、 フロベニウスの積分定理により、局所積分して 5 次元の葉による R 6 の葉脈構造を与えます 。具体的には、各葉は特殊アフィン群の局所軌道です。関数 k は これらの葉をパラメータ化します。
人間の運動システム 人間の曲線的な2次元描画動作は、等アフィンパラメータ化に従う傾向がある。 [5]これは、手の速度がユークリッド曲率のマイナス3乗に比例するという、2/3 乗則 としてよく知ら れている。 [6] つまり、
v
=
γ
κ
−
1
3
,
{\displaystyle v=\gamma \kappa ^{-{\frac {1}{3}}},}
ここで、 v は手の速度、 κ はユークリッド曲率、 γ は 速度ゲイン係数と呼ばれる定数です。
参照
参考文献
^ Flash, Tamar ; Handzel, Amir A (2007). 「人間の腕の動きのアフィン微分幾何学的解析」. 生物サイバネティクス . 96 (6): 577–601. doi :10.1007/s00422-007-0145-5. PMC 2799626. PMID 17406889 . ^ Lacquaniti, Francesco ; Terzuolo, Carlo; Viviani, Paolo (1983). 「描画動作の運動学的および図形的側面に関する法則」 Acta Psychologica . 54 (1–3): 115–130. doi :10.1016/0001-6918(83)90027-6. PMID 6666647.
出典 Blaschke、Wilhelm (1923)、 Affine Differentialgeometrie 、Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie (ドイツ語)、vol. II、ベルリン: Springer-Verlag OHG グッゲンハイマー、ハインリッヒ（1977）、 微分幾何学 、ニューヨーク： ドーバー出版 、 ISBN 978-0-486-63433-3 シロコフ、AP (2001a) [1994]、「アフィン曲率」、 数学百科事典 、 EMS プレス シロコフ、AP (2001b) [1994]、「アフィン微分幾何学」、 数学百科事典 、 EMSプレス スピヴァック、マイケル （1999）、 微分幾何学の包括的入門（第2巻） 、ヒューストン、テキサス州：Publish or Perish、 ISBN 978-0-914098-71-3 
![{\displaystyle s(t)=\int _{a}^{t}{\sqrt[{3}]{\det {\begin{bmatrix}{\dfrac {d\beta }{dt}}&{\dfrac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}\end{bmatrix}}}}\,\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dcbf04cb3e4e5ab229aa747dbf4d7b026ae9853)
![{\displaystyle {\begin{aligned}k(t)&={\frac {x''y'''-x'''y''}{\left(x'y''-x''y'\right)^{\frac {5}{3}}}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\left(x'y''-x''y'\right)^{\frac {2}{3}}}}\right)''\\[6px]&={\frac {4\left(x''y'''-x'''y''\right)+\left(x'y''''-x''''y'\right)}{3\left(x'y''-x''y'\right)^{\frac {5}{3}}}}-{\frac {5\left(x'y'''-x'''y'\right)^{2}}{9\left(x'y''-x''y'\right)^{\frac {8}{3}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52ad479585af15097cc39579d4821bcd08341341)
![{\displaystyle X_{2}^{(4)}k={\tfrac {1}{2}}\left[H,X_{1}\right]^{(4)}k={\tfrac {1}{2}}\left[H^{(4)},X_{1}^{(4)}\right]k=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f9ccd9fe3facd3e6a81b8c3293a782ef4d1a8df)
