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シュルヴァ・スートラまたはシュルバスートラ（サンスクリット語：शुल्बसूत्र、śulba：「紐、縄、ロープ」）は、シュラウタ儀式に属する経典であり、火の祭壇の構築に関連する幾何学を含んでいます。
シュルバ・スートラは、ヴェーダの付録と考えられているシュラウタ・スートラと呼ばれるより大きな文献群の一部です。これらは、ヴェーダ時代のインド数学の知識の唯一の情報源です。独特のヴェーディ（火の祭壇）の形状は、神々からの特別な贈り物と関連付けられていました。例えば、「天国を望む者は、ハヤブサの形をした火の祭壇を建設すべきである」、「ブラフマンの世界を勝ち取りたい者は、亀の形をした火の祭壇を建設すべきである」、「現在および将来の敵を滅ぼしたい者は、菱形の火の祭壇を建設すべきである」などです。[ 1 ]
数学的に最も重要な4つの主要なシュルバ・スートラは、 バウダヤーナ、マナヴァ、アパスタンバ、カティヤーヤーナに帰属されるものである。[ 2 ]これらの言語は後期ヴェーダ・サンスクリット語であり、紀元前1千年紀頃に成立したことを示している。[ 2 ]最も古いのは、（バウダヤーナ、マナヴァ、アパスタンバ）に帰属されるスートラで、紀元前800年から紀元前500年頃に編纂された可能性がある。[ 2 ] ピングリーは、アパスタンバが次に古い可能性が高いと述べており、明らかな借用に基づいて、カティヤーヤーナとマナヴァを年代順に3番目と4番目に位置付けている。[ 3 ] 数学史家のキム・プロフカーによれば、カティヤーヤナは「おそらく紀元前4世紀半ばにパーニニによってサンスクリット語の偉大な文法体系が確立された後」に編纂されたものだが、彼女はマナヴァをバウダヤーナと同じ時期に位置づけている。[ 4 ]
ヴェーダ文献の構成に関して、プロフカーは次のように述べている。
ヴェーダではサンスクリット語を神聖な言葉として崇敬し、神によって啓示されたそのテキストは、書記で伝えるよりも朗誦し、聞き、記憶することを意図していたため、サンスクリット文学全般の形成に貢献した。…そのため、テキストは容易に記憶できる形式で構成された。簡潔な散文格言（スートラ、後に一般的に規則やアルゴリズムを意味するようになった言葉）か、特に古典期には詩である。当然のことながら、記憶の容易さが理解の容易さを妨げることもあった。その結果、ほとんどの論文には一つ以上の散文注釈が補足された…」[ 5 ]
シュルバ・スートラにはそれぞれ複数の注釈書があるが、これらは原典からずっと後に書かれたものである。例えば、アパスタンバに対するスンダララージャの注釈書は西暦15世紀後半のものであり[ 6 ]、バウダヤーナに対するドヴァーラカーナータの注釈書はスンダララージャの注釈書から借用していると思われる[ 7 ] 。哲学者フリッツ・スタール によれば、シュルバ・スートラに記述されている伝統の特定の側面は「口頭で伝えられた」ものであり、彼は南インドで火の祭壇の儀式が今も行われ、口頭伝承が保存されている場所を指摘している[ 8 ] 。 しかし、火の祭壇の伝統はインドではほぼ消滅しており、プロフカーは、その慣習が残っている地域は、途切れることのない伝統ではなく、後のヴェーダ復興を反映している可能性があると警告している[ 4 ] 。シュルバ・スートラに記述されている祭壇の構造に関する考古学的証拠は乏しい。紀元前2世紀に遡る大きなハヤブサ型の火の祭壇（śyenaciti ）が、1957年から1959年にかけてGR Sharmaによってカウサンビーで行われた発掘調査で発見されたが[ 9 ]、この祭壇はシュルバ・スートラで規定されている寸法に合致しない[ 3 ] [ 10 ] 。
シュルバ・スートラの内容は、おそらく作品自体よりも古い。サタパタ・ブラーフマナとタイッティリヤ・サンヒターは、その内容が紀元前2千年紀後半または紀元前1千年紀前半に遡り、バウダヤーナ・シュルバ・スートラに列挙されている三角形の1つである、15パダと36パダの直角三角形に基づいていると思われる寸法の祭壇について記述している。[ 11 ] [ 12 ]
シュルバ・スートラの数学の起源は不明である。数学史家のラダ・チャラン・グプタが提唱したように、幾何学は儀式のニーズを満たすために発展した可能性がある。[ 13 ] 一部の学者はさらに踏み込んで、スタールはインドとギリシャの幾何学に共通の儀式起源があると仮説を立て、倍増やその他の幾何学的変換問題に対する同様の関心とアプローチを挙げている。[ 14 ]アブラハム・ザイデンベルクは、バーテル・レーンデルト・ファン・デル・ヴェルデンに続いて、数学の儀式起源をより広く見て、ピタゴラスの定理の発見などの主要な進歩は1か所でのみ発生し、そこから世界の他の地域に拡散したと仮定している。[ 15 ] [ 16 ] ファン・デル・ヴェルデンは、シュルバ・スートラの著者は紀元前600年以前に存在しており、ギリシャの幾何学の影響を受けることはなかったと述べている。[ 17 ] [ 18 ]歴史家のカール・ベンジャミン・ボイヤーは、起源として古代バビロニアの数学（紀元前2000年頃～紀元前1600年頃）を挙げているが、紀元前1800年頃の三つ組の表を含むプリムプトン322粘土板には、シュルバ経典にはバビロニアの文献には見られない公式が含まれているとも記されている。[ 19 ] [ 1 ]セイデンバーグは、「古代バビロニアがピタゴラスの定理をインドから得たか、あるいは古代バビロニアとインドが第三の源泉から得たかのどちらかだ」と主張している。セイデンバーグはこの源泉がシュメールであり、紀元前1700年より前のものかもしれないと示唆している。[ 20 ] 対照的に、ピングリーは「祭壇建設者の作品に幾何学の唯一の起源を見出すのは間違いだろう。インドやその他の地域の人々は、実際的あるいは理論的な問題への対応として、その解決策を記憶に留めたり、最終的に写本に書き写したりすることなく、同じくらい進歩していた可能性は十分にある」と警告している。[ 21 ] プロフカーもまた、「既存の幾何学的知識が儀式の実践に意識的に組み込まれた」可能性を提起している。[ 22 ]
経典には、二等辺直角三角形の場合と一般の場合の両方におけるピタゴラスの定理の記述、およびピタゴラスの三つ組のリストが含まれています。[ 23 ] 例えば、バウダヤーナでは、規則は次のように示されています。
1.9. 正方形の対角線は、正方形の面積の2倍の面積を生み出す。[...] 1.12. 長方形の長さと幅によってそれぞれ生み出される正方形の面積の合計は、対角線によって生み出される正方形の面積に等しい。1.13. これは、辺の長さが3と4、12と5、15と8、7と24、12と35、15と36の長方形で観察される。[ 24 ]
同様に、アパスタンバの火の祭壇に直角を作るための規則では、次のピタゴラスの三つ組が使われています。[ 25 ] [ 26 ]
さらに、経典には、与えられた2つの正方形の和または差に等しい面積を持つ正方形を作図する手順が記述されている。どちらの作図も、最大の正方形を長方形の対角線上の正方形とし、2つの小さな正方形をその長方形の辺上の正方形とすることによって行われる。それぞれの手順で所望の面積の正方形が得られるという主張は、ピタゴラスの定理の記述と同等である。別の作図では、与えられた長方形の面積に等しい面積を持つ正方形が得られる。その手順は、長方形の端から長方形の断片を切り取り、それを辺に貼り付けて、元の長方形と同じ面積のグノモンを形成することである。グノモンは2つの正方形の差であるため、この問題は前述の作図のいずれかを使用して解決できる。[ 27 ]
バウダヤーナ・シュルバ経典には、正方形や長方形などの幾何学的形状の作図法が記されている。[ 28 ]また、ある幾何学的形状から別の幾何学的形状への、面積を保存する幾何学的変換も、時には近似的に示されている。これには、正方形を長方形、二等辺台形、二等辺三角形、ひし形、円に変換すること、そして円を正方形に変換することが含まれる。[ 28 ] これらの文献では、円を正方形に変換するなどの近似的な記述が、より正確な記述と並んで現れている。例えば、正方形を円で囲むという記述は、バウダヤーナでは次のように記されている。
2.9. 正方形を円に変えたい場合は、正方形の対角線の半分の長さの紐を中央から東に向かって伸ばし、その一部が正方形の東側の外側に出るようにします。外側に出た部分の3分の1を残りの半分の対角線に加えると、必要な円が描かれます。[ 29 ]
そして、円積問題の定理は次のように表されます。
2.10. 円を正方形に変えるには、直径を8等分し、そのうちの1つを29等分した後、28等分し、さらに残りの6等分した部分から8等分した部分を引く。2.11. あるいは、直径を15等分し、そのうちの2等分すると、正方形のおおよその辺の長さが得られる。[ 29 ]
2.9と2.10の構成ではπの値は3.088となり、2.11の構成ではπの値は3.004となる。[ 30 ]
祭壇の建設は、3つの経典に見られるように、 2の平方根の推定にもつながりました。バウダヤーナ経典では、次のように記されています。
2.12. その尺度は、その3分の1だけ増加し、さらにその3分の1だけ、その4分の1から34分の1を引いた値だけ増加します。これが、その尺度を辺とする正方形の対角線の値です。[ 29 ]
これにより、2の平方根の値は次のようになります。
実際、平方根を計算する初期の方法はいくつかの経典に見られ、その方法は漸化式を用いる。x の値が大きい場合、これは非再帰的な恒等式に基づいています。aに比べてrの値が極めて小さい場合。
また、例えばビュルク[ 33 ]は、この√2の近似は√2が無理数であるという知識を意味すると示唆している。ヒースは、ユークリッドの『原論』の翻訳の中で、無理数が発見されたとみなされるために必要ないくつかのマイルストーンを概説し、シュルバ・スートラの時代にインド数学がそれらのマイルストーンを達成したという証拠がないことを指摘している[ 34 ] 。
