零因子グラフ

数学、より具体的には組合せ可換代数において、零因子グラフは可換環の零因子を表す無向グラフである。零因子グラフは、環の要素を頂点とし、積が零となる要素のペアを辺とする。^[1]

一般的に使用される零因子グラフには2つのバリエーションがあります。Beck (1988) の元の定義では、頂点は環のすべての要素を表します。^[2] Anderson & Livingston (1999) が研究した後のバリエーションでは、頂点は与えられた環の零因子のみを表します。 ^[3]

が半素数（2つの素数の積）である場合、 を法とする整数環の零因子グラフ（零因子のみを頂点とする）は、完全グラフまたは完全二部グラフのいずれかである。ある素数 に対してである場合、それは完全グラフである。この場合、頂点はすべて の零でない倍数であり、これらの数のいずれか2つの積は を法として零である。^[3]${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle K_{p-1}}$${\displaystyle n=p^{2}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p^{2}}$

これは、 2 つの異なる素数とに対して となる場合、完全二部グラフです。二部グラフの両側は、それぞれ の非ゼロの倍数との非ゼロの倍数です。 を法としてゼロにならない 2 つの数が を法としてゼロに乗じるのは、一方が の倍数でもう一方が の倍数である場合に限ります。そのため、このグラフは二部グラフの反対側にある各頂点のペアの間に辺を持ち、他の辺を持ちません。より一般的には、ゼロ因子グラフは、2 つの整域の積である任意の環に対して完全二部グラフです。^[3]${\displaystyle K_{p-1,q-1}}$${\displaystyle n=pq}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p-1}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q-1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

ゼロ積グラフ（頂点がゼロ因子）として実現できる唯一のサイクルグラフは、長さ3または4のサイクルです。^[3]ゼロ因子グラフとして実現できる 唯一の木は、星（木である完全な二部グラフ）と、のゼロ因子グラフとして形成される5頂点の木です。^{[1] [3]}${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}}$

すべての元を含むグラフのバージョンでは、0 は普遍頂点であり、ゼロ因子は 0 以外の隣接頂点を持つ頂点として識別できます。普遍頂点を持つため、すべての環元のグラフは常に連結されており、直径は最大で 2 です。すべてのゼロ因子のグラフは、整域ではないすべての環に対して空ではありません。連結されたままで、直径は最大で 3、^{[3]であり、（}サイクル を含む場合）内周は最大で 4 です。^{[4] [5]}

整域でない環の零因子グラフは、環が有限である場合に限り有限である。^[3]より具体的には、グラフの最大次数 が の場合、環には最大で個の要素が含まれる。環とグラフが無限の場合、すべての辺には無限個の近傍を持つ端点が存在する。^[1]${\displaystyle d}$${\displaystyle (d^{2}-2d+2)^{2}}$

Beck (1988)は、 （完全グラフと同様に）零因子グラフは常に等しいクリーク数と彩色数を持つと予想した。しかし、これは真実ではなく、 Anderson & Naseer (1993)によって反例が発見された。^[6]