ヴァリニョンの定理

ユークリッド幾何学において、ヴァリニョンの定理は、任意の四辺形の辺の中点が平行四辺形を形成するというものである。この定理はヴァリニョン平行四辺形と呼ばれる。この定理はピエール・ヴァリニョンにちなんで名付けられ、彼の死後1731年に証明が出版された。^[1]

任意の四辺形の各辺の中点は平行四辺形を形成します。四辺形が凸型または凹型（複素数ではない）の場合、平行四辺形の 面積は四辺形の面積の半分になります。

n角形に有向面積の概念を導入すると、この面積の等式は複素四辺形にも当てはまります。^[2]

ヴァリニョン平行四辺形は、斜めの四辺形に対しても存在し、四辺形が平面であるかどうかに関わらず平面です。この定理は、任意の多角形の中点多角形に一般化できます。

上の図を参照すると、三角形 ADCとHDG は辺-角-辺の基準により相似であるため、角 DACとDHG は等しく、HG はACと平行になります。同様に、EF はACと平行であるため、HGとEF は互いに平行です。同じことがHEとGFにも当てはまります。

ヴァリニョンの定理は、係数の合計が 1 に制限された線形結合を持つ線型代数として構成されたアフィン幾何学の定理としても証明できます。これはアフィン座標または重心座標とも呼ばれます。証明は、任意の次元の空間の斜め四辺形にも適用されます。

任意の 3 点E、F、G は、その 4 番目の頂点をE  −  F  +  Gとすることで、平行四辺形 ( E、F、  Gを含む平面上にあります) に完成します。ヴァリニョン平行四辺形の作成では、これは点 ( A  +  B )/2 − ( B  +  C )/2 + ( C  +  D )/2 = ( A  +  D )/2 です。しかし、これは図の点Hであり、ここからEFGH は平行四辺形を形成します。

つまり、4 つの点A、B、C、Dの重心は、 EFGHの2 つの対角線EGとFHのそれぞれの中点であり、中点が一致することを示しています。

最初の証明から、対角線の合計が形成された平行四辺形の周囲に等しいことがわかります。また、各辺の長さの 1/2 のベクトルを使用して、最初に四辺形の面積を決定し、次に内側の平行四辺形の各辺で割った 4 つの三角形の面積を求めることができます。

平面ヴァリニョン平行四辺形には、次のような特性もあります。

• ヴァリニョン平行四辺形の向かい合う辺の各ペアは、元の四辺形の対角線と平行です。
• ヴァリニョン平行四辺形の辺の長さは、それが平行する元の四辺形の対角線の長さの半分です。
• ヴァリニョン平行四辺形の面積は、元の四辺形の面積の半分に等しい。これは、凸四辺形、凹四辺形、交差四辺形の場合にも当てはまる。ただし、交差四辺形の面積は、その四辺形を構成する2つの三角形の面積の差として定義される。^[2]
• ヴァリニョン平行四辺形の周囲は、元の四辺形の対角線の合計に等しくなります。
• ヴァリニョン平行四辺形の対角線は、元の四辺形の二中線です。
• 四辺形の２つの二中線とその四辺形の対角線の中点を結ぶ線分は交わり、交点で二等分される。^{[3] : p.125}

辺がa、b、c、dの凸四辺形において、辺aとcの中点を結ぶ二中線の長さは

${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-a^{2}+b^{2}-c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}}}}$

ここでpとqは対角線の長さである。^[4]辺bとdの中点を結ぶ二中線の長さは

${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}+p^{2}+q^{2}}}.}$

したがって^{[3] ：p.126}

${\displaystyle \displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}$

これは、ヴァリニヨン平行四辺形に適用される 平行四辺形の法則の帰結でもあります。

双中線の長さは、2つの対辺と対角線の中点間の距離xで表すこともできる。これは、上記の式でオイラーの四辺形定理を使用すると可能になる。 ^[5]

${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+d^{2})-4x^{2}}}}$

そして

${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4x^{2}}}.}$

これらの式の 2 つの対辺は、双中線が結ぶ 2 辺ではありません。

凸四辺形においては、二中線と対角線の間に次のような二重の関係がある。 ^[6]

• 2 つの対角線が垂直である場合にのみ、 2 つの双中線の長さは等しくなります。
• 2 つの双中線が直交するのは、2 つの対角線の長さが等しい場合のみです。

ヴァリニョン平行四辺形が菱形となるのは、四辺形の2つの対角線の長さが等しい場合、つまり四辺形が正対角四辺形である場合に限ります。^[7]

ヴァリニョン平行四辺形が長方形となるのは、四辺形の対角線が直交している場合、つまり四辺形が直交対角四辺形である場合に限ります。^{[6] : p. 14  [7] : p. 169}

自己交差四辺形の場合、ヴァリニョン平行四辺形は4つの共線点に退化し、2回横断される線分を形成する。これは、台形の2つの平行辺を台形の2つの対角線に置き換えて多角形を形成するときに常に発生し、例えば反平行四辺形の場合に発生する。[ 8 ^]

• 四辺形の垂直二等分線作図、与えられた四辺形から別の四辺形を形成する別の方法
• モーリーの三等分線定理、三角形に関する関連定理

• HSM コクセター、SL グレイツァー：幾何学再考。MAA、ワシントン 1967 年、pp. 52-54
• ピーター・N・オリバー：ヴァリニョン平行四辺形定理の帰結。数学教師、バンド94、第5号、2001年5月、pp. 406-408

ウィキメディア・コモンズには、ヴァリニョンの定理に関連するメディアがあります。

• Weisstein, Eric W.「Varignon の定理」。MathWorld。
• コンペンディウムジオメトリにおけるヴァリニョン平行四辺形
• インタラクティブな動的ジオメトリ スケッチである Dynamic Geometry Sketches で、Varignon の定理を 2n 角形と 3D に一般化します。
• cut-the-knot-org の Varignon 平行四辺形