ホールプレーン

数学において、ホール平面はマーシャル・ホール・ジュニア（1943）によって構築された非デザルグ射影平面である。 ^[1] p ^{2 n} > 4 である限り、すべての素数pとすべての正の整数nに対して位数p ^{2 n}の例がある。^[2]

ホール平面の元々の構築は、ホール準場（ホール システムとも呼ばれる）に基づいており、pが素数の場合にp ^{2 n}の位数のHです。準場からの平面の作成は、標準的な構築に従います（詳細については、準場を参照してください）。

ホール準体を構築するには、ガロア体 F = GF( p n )（ p は素数）と F 上の二次既約多項式 f ( x ) = x 2 − rx − s から始めます。d ≠ 0のときは⁽ a , b ) ∘ ( c , d ) = ( ac ⁻ bd −1 f ( c ) , ad − bc + br )、それ以外のときは( ^a , b ) ∘ ( c , 0 ) = ( ac , bc )としてベクトルの乗算を定義し、F上の2次元ベクトル空間 H = F × Fを準体に拡張します。

Hの元を基底⟨1, λ ⟩で表すと、つまり、xとyがF上で変化するとき( x , y )をx + λyと同一視すると、 Fの元を順序付きペア( x , 0)、つまりx + λ 0として同一視できます。右ベクトル空間Hを準体に変える定義された乗算の特性は次のとおりです。

1. Fに含まれないHのあらゆる元αは二次方程式f ( α ) = 0 を満たす。
2. F はHの核に含まれる（つまり、すべてのα、βがHに含まれ、すべてのc がFに含まれる場合、( α + β ) c = αc + βcかつ( αβ ) c = α ( βc )である）。
3. Fの全ての要素はHの全ての要素と（乗法的に）交換する。^[3]

ホール平面を生成する別の構成は、デザルグ平面に微分を適用することによって得られます。

TG オストロムによる、射影平面上の特定の直線集合を別の直線集合で置き換えて、新しい構造が依然として射影平面であるようにする処理を 導出 といいます。この処理の詳細を示します。^[4]位数n ²の射影平面 πから始めて、1 つの直線 ℓ をその無限遠直線として指定します。A をアフィン平面π ∖ ℓとします。 ℓ のn + 1点の集合Dは、 D の点で ℓ と交わる直線を決定するAの異なる点XとYのすべてのペアに対して、 X、Y 、およびDを含むBaer 部分平面が存在する場合、導出集合と呼ばれます(このような Baer 部分平面はDに属するといいます)。新しいアフィン平面 D( A ) を次のように定義します。 D( A )の点はAの点です。 D( A )の直線は、Dの点( Aに限定)でℓと交わらないπの直線と、 Dに属するベール部分平面( Aに限定)である。集合D( A )はn ²の位数のアフィン平面であり、それまたはその射影完備化は導来平面と呼ばれる。^[5]

1. ホール平面は並進平面です。
2. 同じ順序の有限ホール平面はすべて同型です。
3. ホール平面は自己双対ではありません。
4. すべての有限ホール平面には、次数 2 のサブ平面 (ファノ サブ平面) が含まれます。
5. すべての有限ホール平面には、2 とは異なる次数のサブ平面が含まれます。
6. ホール平面はアンドレ平面です。

9次のホール平面は最小のホール平面であり、その双対と9次のヒューズ平面とともに、有限非デザルグ射影平面の3つの最小の例の1つである。^[6]

通常、他のホール平面と同じ方法で構築されますが、9 次ホール平面は、実際には1907 年にオズワルド ヴェブレンとジョセフ ウェダーバーンによって以前に発見されました。 ^[7] 9 次ホール平面の構築に使用できる 9 次擬似場は 4 つあります。これらのうち 3 つは、既約多項式f ( x ) = x ² + 1、g ( x ) = x ² − x − 1、またはh ( x ) = x ² + x − 1によって生成されるホール システムです。^[8]これらの最初のものは、結合擬似場^[9]つまり近接場を生成し、この文脈でヴェブレンとウェダーバーンは平面を発見しました。この平面は、9 次近接場平面と呼ばれることがよくあります。

9 位のホール平面は有限または無限の唯一の射影平面であり、レンツ・バルロッティ類IVa.3 を持つ。^[10]その自己同型群は、その（必然的に唯一の）平行移動直線に 原始的に作用し、群が集合ごとに保存する 5 組の点を持つ。自己同型群は、これらの 5 組の点に対して S ₅として作用する。^[11]

9 次ホール平面には、同値でない埋め込みユニットが4 つ存在します。^[12]これらのユニットのうち 2 つは、Buekenhout [ ^13]の構成から生じます。1 つは放物線型で、平行移動線と 1 点で交わり、もう 1 つは双曲型で、平行移動線と 4 点で交わります。これら 2 つのユニットのうち後者は、Grüning ^[14]によって、双対ホール平面にも埋め込み可能であることが示されました。もう 1 つのユニットは、Barlotti と Lunardon の構成から生じます。^{[15] 4 つ目は、}四元数に同型の 8 次自己同型群を持ち、既知の無限族には属しません。