選択原則

数学において、選択原理とは、与えられた集合の列から要素を選択することによって数学的に重要な対象が得られる可能性を主張する規則である。選択原理の理論では、 これらの原理と他の数学的性質との関係を研究する。選択原理は主に、 位相空間、特に関数空間における被覆特性、測度理論的特性および圏論的特性、局所的特性 について説明する。多くの場合、選択原理を用いた数学的性質の特徴付けは、特徴付けられた性質に関する新たな洞察につながる重要な作業である。

1924年、カール・メンガー ^[1]は計量空間 に対して次の基底性質を導入しました：位相の あらゆる基底には、空間を覆う、直径が消える集合の列が含まれます。その後すぐに、ヴィトルド・ヒューレヴィッツ^[2]は、 メンガーの基底性質が次の選択性質と同等であることを観察しました：空間の開被覆のあらゆる列に対して、その列の各被覆から有限個の開集合を選択し、選択されたすべての集合の族が空間を覆うようにすることができます。この被覆性質を持つ位相空間はメンガー空間と呼ばれます。

HurewiczによるMengerの性質の再定式化は、選択原理によって記述された最初の重要な位相的性質でした。 およびを数学的オブジェクトのクラスとします。1996年に、Marion Scheepers ^[3]は 、多数の古典的な数学的性質を捉えた次の選択仮説を発表しました。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$

• ${\displaystyle {\text{S}}_{1}(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}$:クラス の要素のすべてのシーケンスに対して、となる要素が存在します。${\displaystyle {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle U_{1}\in {\mathcal {U}}_{1},U_{2}\in {\mathcal {U}}_{2},\dots }$${\displaystyle \{U_{n}:n\in \mathbb {N} \}\in \mathbf {B} }$
• ${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}$:クラス の要素のすべてのシーケンスに対して、となる有限部分集合が存在します。${\displaystyle {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\subseteq {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {F}}_{2}\subseteq {\mathcal {U}}_{ 2},\ドット }$${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {F}}_{n}\in \mathbf {B} }$

クラスとが何らかの周囲空間の被覆から構成される場合、Scheepers は次の選択原理も導入しました。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$

• ${\displaystyle {\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}$:クラス の要素のすべてのシーケンスには有限部分被覆が含まれず、となる有限部分集合が存在します。${\displaystyle {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\subseteq {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {F}}_{2}\subseteq {\mathcal {U}}_{ 2},\ドット }$${\displaystyle \{\bigcup {\mathcal {F}}_{1},\bigcup {\mathcal {F}}_{2},\dotsc \}\in \mathbf {B} }$

その後、ボアズ・ツァバンは、次のような関連原則が広く普及していることを確認しました。

• ${\displaystyle {\binom {\mathbf {A} }{\mathbf {B} }}}$: クラスのすべてのメンバーには、クラスのメンバーが含まれます。${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$

このように定義された概念は選択原理です。特定のクラスとを考慮して選択原理をインスタンス化すると、選択（または選択的）プロパティが得られます。ただし、これらの用語は文献では互換的に使用されます。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$

集合との部分集合の族に対して、におけるのスターは集合 です。 ${\displaystyle A\subset X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\text{St}}(A,{\mathcal {F}})=\bigcup \{F\in {\mathcal {F}}:A\cap F\neq \emptyset \}}$

1999年にリュビサ・DR・コシナツは次のような星選択原則を導入した。^[4]

• ${\displaystyle {\text{S}}_{1}^{*}(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}$:クラス の要素のすべてのシーケンスに対して、となる要素が存在します。${\displaystyle {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle U_{1}\in {\mathcal {U}}_{1},U_{2}\in {\mathcal {U}}_{2},\dots }$${\displaystyle \{{\text{St}}(U_{n},{\mathcal {U}}_{n}):n\in \mathbb {N} \}\in \mathbf {B} }$
• ${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}^{*}(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}$:クラス の要素のすべてのシーケンスに対して、となる有限部分集合が存在します。${\displaystyle {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\subseteq {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {F}}_{2}\subseteq {\mathcal {U}}_{ 2},\ドット }$${\displaystyle \{{\text{St}}(\bigcup {\mathcal {F}}_{n},{\mathcal {U}}_{n}):n\in \mathbb {N} \} \in \mathbf {B} }$

スター選択原理は、一般的な選択原理の特殊なケースです。これについては、ファミリーの定義を適宜変更することで確認できます。 ${\displaystyle \mathbf {B} }$

被覆特性は選択原理の理論の中核を形成します。被覆特性ではない選択特性は、関連する空間の選択被覆特性との間の含意を使用して研究されることがよくあります。

を位相空間とします。の開被覆とは、その和が空間全体 となる開集合の族のことです。 技術的な理由から、空間全体が被覆の要素ではないことも要求します。空間 の開被覆の類は で表されます 。(正式にはですが、通常、空間は背景に固定されています。) したがって、上記のメンガーの性質は です。1942 年、フリッツ・ロスバーガーはボレルの強測度零集合を考慮し、後にロスバーガー空間( C空間としても知られる)と呼ばれる位相的な変種を導入しました。選択の表記法では、ロスバーガーの性質は の性質です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {O} }$${\displaystyle \mathbf {O} (X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$${\displaystyle ''}$${\displaystyle {\text{S}}_{1}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$

の開被覆は、それが無限個の元を持ち、すべての点が 有限個以外のすべての集合 に属する場合、点-余剰である。(このタイプの被覆は、ゲルリッツとナジによって、彼らの論文のあるリストの3番目の項目で検討されました。リストはギリシャ文字で列挙されていたため、これらの被覆はしばしば-被覆と呼ばれます。) の点-余剰の開被覆のクラスはによって表されます。位相空間が を満たす場合、それ はHurewicz 空間です。 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {\Gamma } }$${\displaystyle {\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )}$

の開被覆は、のすべての有限部分集合が のいずれかの要素に含まれる場合、 -被覆です。の -被覆のクラスは で表されます。 位相空間が を満たす場合、 その位相空間はγ-空間です。 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {\オメガ } }$${\displaystyle {\binom {\mathbf {\オメガ } }{\mathbf {\ガンマ } }}}$

スター選択仮説を使用することで、スターメンガー（）、スターロスバーガー（）、スターヒューレヴィッツ（ ）などの特性が得られます。 ${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}^{*}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$${\displaystyle {\text{S}}_{1}^{*}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}^{*}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )}$

およびに対して、形式 の選択特性は 36 個あります。そのうちのいくつかは自明です (すべての空間で成り立つ、またはすべての空間で成り立たない)。リンデレーフ空間に着目すると、シェーパー図として知られる下の図は^{[3] [5]}、上記の形式の非自明な選択特性を示しており、すべての非自明な選択特性は図の 1 つと同等です。矢印は含意を示します。 ${\displaystyle \Pi (\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}$${\displaystyle \Pi \in \{{\text{S}}_{1},{\text{S}}_{\text{fin}},{\text{U}}_{\text{fin}},{\bigl (}~~{\bigr )}\}}$${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \in \{\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } ,\mathbf {\Omega } \}}$

選択原則は重要なローカル プロパティも捕捉します。

を位相空間とし、 とする。閉包に点を持つ空間内の集合のクラスはで表される。 クラスはクラス の可算な元から構成される。に収束する内の数列のクラスはで表される。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \mathbf {\Omega _{y}} }$${\displaystyle \mathbf {\Omega _{y}^{\text{ctbl}}} }$${\displaystyle \mathbf {\Omega _{y}} }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \mathbf {\Gamma _{y}} }$

• 空間がフレシェ・ウリゾーンであるのは、すべての点 に対して が満たされる場合のみです。${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\binom {\mathbf {\Omega _{y}} }{\mathbf {\Gamma _{y}} }}}$${\displaystyle y\in Y}$
• 空間が強フレシェ・ウリゾーンであるのは、すべての点に対して が満たされる場合のみです。${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\text{S}}_{1}(\mathbf {\Omega _{y}} ,\mathbf {\Gamma _{y}} )}$${\displaystyle y\in Y}$
• 空間が可算な緊密性を持つのは、すべての点に対して が満たされる場合のみです。${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\binom {\mathbf {\Omega _{y}} }{\mathbf {\Omega _{y}^{\text{ctbl}}} }}}$${\displaystyle y\in Y}$
• 空間が可算なファンタイトネスを持つのは、すべての点に対して が満たされる場合のみです。${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {\Omega _{y}} ,\mathbf {\Omega _{y}} )}$${\displaystyle y\in Y}$
• 空間が可算な強ファンタイトネスを持つのは、すべての点に対して が満たされる場合のみです。${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\text{S}}_{1}(\mathbf {\Omega _{y}} ,\mathbf {\Omega _{y}} )}$${\displaystyle y\in Y}$

選択原理と位相ゲームの間には密接な関係があります。

を位相空間とします。で行われるメンガーゲームは、アリスとボブの2人のプレイヤーが行うゲームです。このゲームには、自然数 ごとに1イニングがあります。イニングでは、アリスはの開被覆を選択し、ボブはの有限部分集合を選択します。族が空間 の被覆である場合、ボブがゲームに勝ちます。そうでない場合は、アリスが勝ちます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{G}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n^{th}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {F}}_{n}}$${\displaystyle X}$

プレイヤーの戦略とは、両プレイヤーの以前の動きに基づいて、プレイヤーの動きを決定する関数です。プレイヤーの戦略は、このプレイヤーがこの戦略を貫く各プレイで勝利した場合、勝利戦略となります。

• 位相空間とは、アリスがこの空間でプレイするゲームで勝つ戦略を持たない場合のみである。^{[2] [3]}${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$${\displaystyle {\text{G}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$
• を距離空間とする。ボブがこの空間でプレイするゲームで勝つための戦略は、空間が -コンパクトである場合に限ります。^{[6] [7]}${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{G}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma }$

リンデレフ空間のうち、距離化可能空間は正則空間および第2可算空間と同等であることに注意する。したがって、前述の結果は、限定情報戦略を考慮することによっても得られる可能性がある。^[8]マルコフ戦略は、対戦相手の最新の動きと現在のラウンド番号のみを使用する戦略である。

• を正規空間とします。空間が -コンパクトである場合に限り、ボブは空間上でプレイされるゲームで勝利するマルコフ戦略を持ちます。${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{G}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma }$
• を第 2 可算空間とします。ボブが完全情報戦略で勝利できる場合のみ、ボブは空間でプレイするゲームでマルコフ戦略で勝利できます。${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{G}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$${\displaystyle X}$

同様に、与えられたシェーパー図から他の選択原理のゲームを定義します。これらすべての場合において、位相空間がシェーパー図からの特性を持つのは、アリスが対応するゲームで勝利戦略を持たない場合のみです。^[9]しかし、これは一般には当てはまりません。空間のk被覆の族をとします。つまり、空間内のすべてのコンパクトセットが被覆の何らかのメンバーによって覆われているような空間です。フランシス・ジョーダンは、選択原理が成り立つが、アリスがゲームで勝利戦略を持つ空間を示しました^[10]${\displaystyle \mathbf {K} }$${\displaystyle {\text{S}}_{1}(\mathbf {K} ,\mathbf {O} )}$${\displaystyle {\text{G}}_{1}(\mathbf {K} ,\mathbf {O} )}$

• すべての空間はリンデレーフ空間です。${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$
• 任意のσ-コンパクト空間(コンパクト空間の可算な和集合) は です。${\displaystyle {\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )}$
• ${\displaystyle {\binom {\mathbf {\Omega } }{\mathbf {\Gamma } }}\Rightarrow {\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )\Rightarrow {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$。
• ${\displaystyle {\binom {\mathbf {\Omega } }{\mathbf {\Gamma } }}\Rightarrow {\text{S}}_{1}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )\Rightarrow {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$。
• 連続体仮説を仮定すると、上記の意味が覆せないことを証明する実数の集合が存在します。^[5]
• あらゆるルージン集合は、しかし、そうではない。^{[11] [12]}${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$${\displaystyle {\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )}$
• シェルピンスキーのセットはすべてフレヴィチです。^[13]

選択原理の性質を持つ実数直線の部分集合（誘導部分空間位相）は、メンガー空間とヒューレヴィツ空間が最も顕著で、ベール空間における連続像によって特徴付けられます。関数 について、有限個以外の自然数 に対して である場合に と書きます。を の部分集合とします。集合が有界であるとは、すべての関数 に対してとなる関数が存在する場合です。集合が支配的であるとは、各関数 に対してとなる関数が存在する場合です。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle f,g\in \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle f\leq ^{*}g}$${\displaystyle f(n)\leq g(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle g\in \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle f\leq ^{*}g}$${\displaystyle f\in A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f\in \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle g\in A}$${\displaystyle f\leq ^{*}g}$

• 実数直線の部分集合とは、その空間のベール空間への連続像がすべて支配的でない場合に限ります。^[14]${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$
• 実数直線の部分集合とは、その空間のベール空間への連続像がすべて有界である場合に限ります。^[14]${\displaystyle {\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )}$

• あらゆる空間はD空間である。^[15]${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$

P を空間の性質とします。性質Pを持つ各空間に対して、積空間が性質P を持つ場合、その空間は生成的に Pです。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X\times Y}$

• あらゆる可分な生産的パラコンパクト空間は です。${\displaystyle {\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )}$
• 連続体仮説を仮定すると、生産的にリンデレーフ空間は生産的に^[16]${\displaystyle {\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )}$
• を実数直線の部分集合とし、を実数直線の貧弱な部分集合とする。すると集合は貧弱である。^[17]${\displaystyle A}$${\displaystyle {\binom {\mathbf {\Omega } }{\mathbf {\Gamma } }}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A+M=\{a+x:a\in A,x\in M\}}$

• 実数直線上の任意の部分集合は強測度零集合である。[ 11 ^]${\displaystyle {\text{S}}_{1}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$

をチコノフ空間とし、を点収束位相を持つ連続関数の空間とします。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle C(X)}$${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle X}$がフレシェ・ウリゾーンである場合、かつその時に限り、強フレシェ・ウリゾーンである場合を満たす。^[18]${\displaystyle {\binom {\mathbf {\Omega } }{\mathbf {\Gamma } }}}$${\displaystyle C(X)}$${\displaystyle C(X)}$
• ${\displaystyle X}$が満たすのは、可算な強いファンタイトネスを持つ場合のみである。^[19]${\displaystyle {\text{S}}_{1}(\mathbf {\Omega } ,\mathbf {\Omega } )}$${\displaystyle C(X)}$
• ${\displaystyle X}$が満たされるとき、そしてそれが可算なファンタイトネスを持つときのみ。^{[20] [5]}${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {\Omega } ,\mathbf {\Omega } )}$${\displaystyle C(X)}$

• コンパクトなスペース
• シグマコンパクト
• メンガー空間
• ヒューレヴィッツ空間
• ロスバーガー空間