モーショングラフと導関数

力学では、物体の位置と時間のグラフの導関数は、物体の速度に等しくなります。国際単位系では、移動する物体の位置は原点を基準としたメートル単位で測定され、時間は秒単位で測定されます。位置をy 軸に、時間をx 軸に置くと、曲線の 傾きは次の式で表されます。

${\displaystyle v={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}.}$

ここでは物体の位置、 は時間です。したがって、曲線の傾きは位置の変化を時間の変化で割った値となり、これがグラフ上のその時間間隔における平均速度の定義となります。この間隔を無限小にして が になりがになるようにすると、結果は時間 における瞬間速度、つまり時間に関する位置の 導関数になります。${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle {\Delta s}}$${\displaystyle {ds}}$${\displaystyle {\Delta t}}$${\displaystyle {dt}}$${\displaystyle t}$

同様の事実は、速度対時間のグラフにも当てはまります。速度対時間のグラフの傾きは加速度で、今回は速度を y 軸、時間を x 軸にとります。また、直線の傾きはの変化を の変化で割ったものです。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle a={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\Delta v}{\Delta t}}}$

ここで、 は速度、 は時間です。したがって、この傾きは区間 での平均加速度を定義し、区間 を無限小に減少させると、時間 における瞬間加速度、または時間に関する速度の微分（または時間に関する位置の2 次微分）が得られます。SIでは、この傾きまたは微分はメートル毎秒 / 秒（、通常は「メートル毎秒の 2 乗」と呼ばれる） の単位で表されます。${\displaystyle v}$${\displaystyle t}$${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {dv}{dt}}\end{matrix}}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathrm {m/s^{2}} }$

物体の速度は位置グラフの導関数であるため、速度対時間グラフの線の下の面積は物体の変位です。(速度は y 軸、時間は x 軸にあります。速度に時間を掛けると、時間は打ち消され、変位だけが残ります。)

加速度と時間のグラフにも同じ乗算ルールが当てはまります。加速度を乗算すると

上記の式は、変化率が一定であるか、平均変化率のみが必要な場合のみ適用されます。図の例のように、速度または位置が時間とともに非線形に変化する場合は、微分によって正しい解が得られます。微分により、上記の時間範囲が極小 (無限小) に短縮され、開始点と終了点の間ではなく、グラフ上の各点での速度または加速度が得られます。上記の式の 微分形式は次のとおりです。

${\displaystyle v={\frac {ds}{dt}},}$

${\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}.}$

加速度は位置に関する式を微分するので、時間に関する 2次導関数として書き直すことができます。

${\displaystyle a={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}.}$

このような力学の目的においては、積分は微分とは反対なので、位置を速度の関数として、また速度を加速度の関数として表すことも可能である。上述のように、曲線の下の面積を求めるプロセスでは、定積分を使用して、特定の時間間隔における変位と速度の変化を求めることができる。

${\displaystyle s(t_{2})-s(t_{1})=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{v}\,dt,}$

${\displaystyle v(t_{2})-v(t_{1})=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{a}\,dt.}$

• 変位（ベクトル）
• 速度
• 加速度
• 運動学

• ウルフソン、リチャード、ジェイ・M・パサコフ（1999年）。科学者とエンジニアのための物理学（第3版）。マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスレー。pp. 23–38。ISBN 0-321-03571-2。