トーマ関数

トーマエ関数は実数値関数であり、次のように定義される。^{[1] : 531} $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{q}}&{\text{if }}x={\tfrac {p}{q}}\quad (x{\text{ は有理数)、ただし }}p\in \mathbb {Z} {\text{ かつ }}q\in \mathbb {N} {\text{ 互いに素}}\\0&{\text{if }}x{\text{ は無理数。}}\end{cases}}}$$

これはカール・ヨハネス・トーマエにちなんで名付けられましたが、ポップコーン関数、雨滴関数、可算クラウド関数、修正ディリクレ関数、ルーラ関数（整数ルーラ関数と混同しないように）^[2] 、リーマン関数、バビロンの星（ジョン・ホートン・コンウェイの名前）^[3]など、さまざまな名前があります。トーマエは、リーマンの積分の概念に関する初期の教科書で、無限に多くの不連続点を持つ積分可能関数の例としてこれを言及しました。^[4]

すべての有理数はと で互いに素（互いに素とも呼ばれる）となる一意の表現を持つため、関数 は明確に定義されます。 はで と互いに素となる唯一の数であることに留意してください。${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle q\in \mathbb {N} }$${\displaystyle q=+1}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle p=0.}$

これは、有理数では 1、それ以外では 0 となる ディリクレ関数の修正版です。

トーマエ関数に関連する経験的確率分布は、DNA配列決定に現れます。^[7]ヒトゲノムは二倍体で、染色体ごとに2本の鎖があります。配列決定すると、小さな断片（「リード」）が生成されます。ゲノム上の各スポットには、整数個のリードが重なります。それらの比率は有理数であり、通常はトーマエ関数と同様に分布します。

分布から正の整数のペアをサンプリングし、比を生成するために使用すると、有理数上の分布が生成されます。整数が独立である場合、分布は有理数の畳み込みとして見ることができます。カットオフのあるべき乗分布には、閉じた形式の解が存在します。 (ここでは多重対数関数)の場合、 です。集合 上の一様分布の場合、これはトーマエ関数と非常によく似ています。^[7]${\displaystyle m,n}$${\displaystyle f(n,m)}$${\displaystyle q=n/(n+m)}$${\displaystyle g(q)}$${\textstyle g(a/(a+b))=\sum _{t=1}^{\infty }f(ta)f(tb)}$${\displaystyle f(k)=k^{-\alpha }e^{-\beta k}/\mathrm {Li} _{\alpha }(e^{-\beta })}$${\displaystyle \mathrm {Li} _{\alpha }}$${\displaystyle g(a/(a+b))=(ab)^{-\alpha }\mathrm {Li} _{2\alpha }(e^{-(a+b)\beta })/\mathrm {Li} _{\alpha }^{2}(e^{-\beta })}$${\displaystyle \{1,2,\ldots ,L\}}$ ${\displaystyle g(a/(a+b))=(1/L^{2})\lfloor L/\max(a,b)\rfloor }$

整数の場合、2 の最大の累乗の指数で割ると、0、1、0、2、0、1、0、3、0、1、0、2、0、1、0、... (OEIS のシーケンス A007814) になります。1 を追加するか、0 を削除すると、1、2、1、3、1、2、1、4、1、2、1、3、1、2、1、... (OEISのシーケンスA001511) になります。値は 1/16 目盛り付き定規の目盛りに似ているため、この名前が付けられています。これらの値は、トーマ関数の 2 項有理数 (分母が 2 の累乗である有理数)への制限に対応します。 ${\displaystyle n}$

当然、次に尋ねられる疑問は、有理数上で連続で無理数上で不連続な関数が存在するかどうかである。これは不可能であることがわかる。任意の関数の不連続集合は、F _σ集合でなければならない。そのような関数が存在する場合、無理数は F _σ集合となる。すると無理数は閉集合の可算和 集合となるが、無理数は区間を含まないため、無理数はいずれも区間を含まない。したがって、それぞれの無理数はどこにも稠密ではなく、無理数は希薄集合となる。したがって、無理数と有理数（可算集合として明らかに希薄である）の和集合である実数もまた希薄集合となる。これは、ベールのカテゴリ定理と矛盾する。実数は完全な計量空間を形成するため、ベール空間を形成し、それ自体は希薄ではあり得ない。 ${\textstyle \bigcup _{i=0}^{\infty }C_{i}}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle C_{i}}$

トーマエ関数の変形は、実数の任意のFσ部分集合が関数の不連続集合になり得ることを示すために使用できる。 が閉集合の可算_和集合である場合、定義する。 ${\textstyle A=\bigcup _{n=1}^{\infty }F_{n}}$${\displaystyle F_{n}}$$${\displaystyle f_{A}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}}&{\text{if }}x{\text{ is rational and }}n{\text{ is minimal so that }}x\in F_{n}\\-{\frac {1}{n}}&{\text{if }}x{\text{ is irrational and }}n{\text{ is minimal so that }}x\in F_{n}\\0&{\text{if }}x\notin A\end{cases}}}$$

次に、トーマエ関数の場合と同様の議論により、不連続点の集合として Aがあることが示されます。${\displaystyle f_{A}}$

• ブルームバーグの定理
• カントール関数
• ディリクレ関数
• ユークリッドの果樹園– トーマエの関数はユークリッドの果樹園の透視図として解釈できる。
• ヴォルテラ関数

• 「ディリクレ関数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Weisstein、Eric W.「ディリクレ関数」。MathWorld。