特性インピーダンス

均一な伝送線の特性インピーダンスまたはサージインピーダンス（通常は $Z 0$ と表記）は、線路に沿って一方向に伝搬する波の電圧振幅と電流振幅の比であり、反対方向への反射がない状態を指します。言い換えれば、伝送線路の長さが無限大の場合の入力インピーダンスと定義できます。特性インピーダンスは伝送線路の形状と材料によって決まり、均一な線路の場合はその長さに依存しません。特性インピーダンスのSI単位はオームです。

無損失伝送線の特性インピーダンスは、リアクタンス成分を含まない純粋な実数です（下記参照）。このような伝送線路の一端にある電源から供給されるエネルギーは、線路自体で消費されることなく伝送されます。有限長の伝送線路（無損失または損失あり）で、一端が特性インピーダンスに等しいインピーダンスで終端されている場合、電源からは無限に長い伝送線路のように見え、反射は発生しません。

送電線モデル

与えられた角周波数 $ω$ における無限伝送線の特性インピーダンス $Z (ω)$ は、同じ周波数の純粋な正弦波が線路を伝搬する際の電圧と電流の比です。この関係は、波が線路の終端に到達するまでは有限伝送線路にも当てはまります。一般に、波は線路に沿って反対方向に反射されます。反射波が送信源に到達すると、再び反射され、伝送波に加算されて入力における電圧と電流の比が変化し、電圧と電流の比が特性インピーダンスと等しくなくなります。反射エネルギーを含むこの新しい比は、その特定の伝送線路と負荷の入力インピーダンスと呼ばれます。

無限長の線路の入力インピーダンスは、伝送波が終端で反射されないため、特性インピーダンスに等しくなります。言い換えれば、線路の特性インピーダンスとは、任意の長さの線路をその出力端で終端したときに、入力インピーダンスが等しい値になるインピーダンスのことです。これは、線路が自身の特性インピーダンスで終端されている場合、反射が起こらないためです。

以下に導出される電信方程式に基づく伝送線路モデルを適用すると、^{[ 1 ]}伝送線路の特性インピーダンスの一般式は次のようになる。 $Z_{0}={\sqrt {{\frac {R+j\オメガ L}{G+j\オメガ C}}\,}}$ どこ

$Rは単位長さあたりの$ 抵抗であり、2つの導体が直列に接続されていると仮定します。
$L$ は単位長さあたりのインダクタンスであり、
$G$ は単位長さあたりの誘電体のコンダクタンスであり、
$C$ は単位長さあたりの静電容量であり、
$j$ は虚数単位 $j 2 = - 1$ であり、
$ωは$ 角周波数です。

この式は、 $ωを$ 0に近づけることで直流にも拡張できる。

有限の伝送線路にエネルギーの急増が生じると、反射波が戻ってくる前にインピーダンスは $Z₀ と$ なります。そのため、サージインピーダンスは特性インピーダンスの別名として用いられます。無限線路を仮定していますが、すべての量は単位長さあたりであるため、すべての単位の「単位長さあたり」の部分は相殺され、特性インピーダンスは伝送線路の長さに依存しません。

線路上の電圧フェーザと電流フェーザは、特性インピーダンスによって次のように関連付けられます。 $Z_{\text{0}}={\frac {V_{(+)}}{I_{(+)}}}=-{\frac {V_{(-)}}{I_{(-)}}$ ここで、添え字（+）と（− ）は、それぞれ順方向（+）と逆方向（ − ）に伝わる波の定数を表します。右端の式が負の符号を持つのは、逆方向の波の電流が順方向の波の電流と逆方向であるためです。

特性アドミタンス

{\displaystyle Y_{0}} — 送電線は2本の黒い線で描かれています。線路の奥xの地点では、各線に電流フェーザ*I(x)が流れており、線間には*電圧差フェーザ*V(x)*（下側の電圧から上側の電圧を引いた値）があります。 $Y_{0}$ は線路の特性アドミタンスであり、 $I(x)/V(x)=Y_{0}$ 右方向に移動する波の場合、または $I(x)/V(x)=-Y_{0}$ 左方向に移動する波の場合。

特性アドミタンスは、特性インピーダンスの逆数です。伝送線路の特性アドミタンスの一般式は次のとおりです。

Y_{0}={\sqrt {\frac {G+j\omega C}{R+j\omega L}}}

線路上の電流フェーザと電圧フェーザは、特性アドミタンスによって次のように関連付けられます。

{\frac {I^{+}}{V^{+}}}=Y_{0}=-{\frac {I^{-}}{V^{-}}}

上付き文字は $+$ そして $-$ これらはそれぞれ、前方伝播波と後方伝播波を表す。

導出

電信方程式を用いて

電圧と電流の時間と空間への依存性を記述する微分方程式は線形であるため、解の線形結合もまた解となります。これは、時間依存性を持つ解を検討できることを意味します。 $e^{j\omega t}$ こうすることで時間依存性を分離でき、係数に関する常微分方程式が得られます。係数はフェーザとなり、位置（空間）のみに依存します。さらに、パラメータは周波数依存に一般化できます。^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

電圧と電流が次のように表されるような定常状態の問題を考えてみましょう。 ${\begin{aligned}v(x,t)&=V(x)e^{j\omega t}\\[.5ex]i(x,t)&=I(x)e^{j\omega t}\end{aligned}}$ ループ内の $V$ と $I$ の正の方向を時計回りとする。電信方程式に代入し、時間依存性を因数分解する。 $e^{j\omega t}$ 今度は以下が与えられます： ${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} x}}&=-\left(R+j\omega L\right)I=-ZI,\\[.5ex]{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} x}}&=-\left(G+j\omega C\right)V=-YV,\end{aligned}}$ インピーダンス $Z$ とアドミタンス $Y$ を持つ。これら2つの1階微分方程式を導出し代入すると、 2つの非連立2階微分方程式が得られる。 ${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} ^{2}V}{\mathrm {d} x^{2}}}&=k^{2}V,\\[.5ex]{\frac {\mathrm {d} ^{2}I}{\mathrm {d} x^{2}}}&=k^{2}I,\end{aligned}}$ $ここで、 k 2 = ZY =$ $(R + jωL)(G + jωC)$ であり、 $k = α + jβ$ は伝搬定数と呼ばれる。

これらのタイプの方程式の解は次のように表すことができます。 ${\begin{aligned}V(x)&=Ae^{-kx}+Be^{kx}\\[.5ex]I(x)&=A_{1}e^{-kx}+B_{1}e^{kx}\end{aligned}}$ ここで、 $A$ 、 $A₁$ 、 $B$ 、 $B₁ は$ 積分定数である。これらの定数を一次系に代入すると、次のようになる $。$ ${\begin{aligned}A_{1}&={\hphantom {-}}A{\frac {k}{R+j\omega L}}\\[.5ex]B_{1}&=-B{\frac {k}{R+j\omega L}}\end{aligned}}$ どこ ${\frac {A}{A_{1}}}=-{\frac {B}{B_{1}}}={\frac {R+j\omega L}{k}}={\sqrt {\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}}={\sqrt {\frac {Z}{Y}}}=Z_{0}.$ $上記の式で定義される定数Z 0$ は、インピーダンス（電圧と電流の比）の次元を持ち、線路の基本定数と動作周波数の関数であることがわかります。これは伝送線路の特性インピーダンスと呼ばれます。^{[ 1 ]}

電信方程式の一般解は、次のように表すことができます。 ${\begin{aligned}v(x,t)&=V(x)e^{j\omega t}=Ae^{-\alpha x}e^{j(\omega t-\beta x)}+Be^{\alpha x}e^{j(\omega t+\beta x)}\\[.5ex]i(x,t)&=I(x)e^{j\omega t}={\frac {A}{Z_{0}}}e^{-\alpha x}e^{j(\omega t-\beta x)}-{\frac {B}{Z_{0}}}e^{\alpha x}e^{j(\omega t+\beta x)}\end{aligned}}$ 電圧と電流の解はどちらも、 $x （+）$ 方向と $x （-）$ 方向の2つの進行波の重ね合わせとして考えることができる。

損失抵抗 $R$ が低く絶縁漏洩コンダクタンス $G$ が小さい電線で慎重に構築された一般的な送電線では、さらに高周波で使用されるため、誘導リアクタンス $ωL$ と容量アドミタンス $ωCは$ ともに大きくなります。このような場合、位相定数と特性インピーダンスは通常、実数に非常に近い値になります。 ${\begin{aligned}\beta &={\text{Im}}\{k\}\approx \omega {\sqrt {LC}}\\[.5ex]Z_{0}&\approx {\sqrt {\frac {L}{C}}}\end{aligned}}$ メーカーは、幅広い周波数範囲にわたってこの条件に非常に近い特性を持つ市販のケーブルを製造している。

無限梯子ネットワークの極限ケースとして

直感

L型回路セクションの無限ラダーの反復インピーダンス

等価有限L回路の反復インピーダンス

直列インピーダンス $Z$ と並列アドミタンス $Y$ からなる無限ラダーネットワークを考えます。その入力インピーダンスを $Z$ $IT$ とします。ネットワークの前に新しいインピーダンス $Z$ とアドミタンス $Y$ のペアを追加しても、ネットワークは無限であるため、入力インピーダンス $Z$ $IT は$ $変わりません。したがって、1 つの直列インピーダンスZ$ と 2 つの並列インピーダンス $1/$ $Y$ および $Z$ $IT を$ 持つ有限ネットワークに縮小できます。その入力インピーダンスは式^[⁴^]^[⁵^]で与えられます。 $Z_{\mathrm {IT} }=Z+\left({\frac {\ 1\ }{Y}}\parallel Z_{\mathrm {IT} }\right)\$ これは反復インピーダンスとも呼ばれます。その解は次のとおりです。 $Z_{\mathrm {IT} }={Z \over 2}\pm {\sqrt {{Z^{2} \over 4}+{Z \over Y}}}\$

伝送線路の場合、これはインピーダンスとアドミタンスが一定の比率で無限小となる無限ラダーネットワークの極限ケースと見なすことができる。 ^[⁶^]^[⁵^]正の根を取ると、この式は次のように簡略化される。 $\ Z_{\mathrm {IT} }={\sqrt {{\frac {\ Z\ }{Y}}\ }}\$

導出

この洞察を利用すると、いくつかの書籍^{[ 6 ]}^{[ 5 ]}に同様の導出が多数存在し、無損失回線と損失回線の両方に適用できます。^{[ 7 ]}

ここでは、Tim Healy が投稿したアプローチに従います。^{[ 8 ]} $ラインは、差動直列要素 ( R d x 、 L d x$ ) と並列要素 ( $C d x 、 G d x$ )を持つ一連の差動セグメントによってモデル化されます(記事の冒頭の図に示すように)。特性インピーダンスは、半無限長のラインの入力電圧と入力電流の比として定義されます。このインピーダンスを $Z 0$ と呼びます。つまり、左側から見たラインのインピーダンスは $Z 0$ $です。しかし、もちろん、ラインを 1 つの差動長d x$ だけ下ると、ラインのインピーダンスは依然として $Z 0です。したがって、一番左から見たラインのインピーダンスは、$ $Z 0と$ $C d x$ および $G d x$ が並列接続され、これらがすべて $R d x$ および $L d x$ と直列接続されているものと同じであると言えます。したがって、次のようになり $ます$ 。 ${\begin{aligned}&Z_{0}=(R+j\omega L)\operatorname {d} \!x+{\frac {1}{(G+j\omega C)\operatorname {d} \!x+{\frac {1}{Z_{0}}}}}\\&Z_{0}=(R+j\omega L)\operatorname {d} \!x+{\frac {Z_{0}}{Z_{0}(G+j\omega C)\operatorname {d} \!x+1}}\\&Z_{0}+Z_{0}^{2}(G+j\omega C)\operatorname {d} \!x=(R+j\omega L)\operatorname {d} \!x+Z_{0}(G+j\omega C)\operatorname {d} \!x\,(R+j\omega L)\operatorname {d} \!x+Z_{0}\end{aligned}}$

追加された $Z 0$ 項は相殺され、 $Z_{0}^{2}(G+j\omega C)\operatorname {d} \!x=(R+j\omega L)\operatorname {d} \!x+Z_{0}(G+j\omega C)(R+j\omega L)(\mathop {} \!\operatorname {d} \!x)^{2}$

1 乗 $d xの項は、残っている最高次の項です。d$ $x$ の共通因数を割り、因数 $($ $G$ $+$ $jωC$ $)$ で割ると、次のようになります $。$ $Z_{0}^{2}={\frac {(R+j\omega L)}{(G+j\omega C)}}+Z_{0}(R+j\omega L)\operatorname {d} \!x.$

$d x$ が割り切れる因子と比較すると、残りの因子 $d x$ を持つ最後の項は、他の有限の項に比べて無限小であるため、それを削除できます。これにより、 $Z_{0}=\pm {\sqrt {\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}}\;.$

平方根に適用される符号 $\pmを反転させると、電流の流れの方向が反転する効果があります。$

ロスレスライン

無損失線路の解析は、実際の伝送線路の正確な近似を提供し、伝送線路のモデリングで考慮される数学を簡略化します。無損失線路とは、線路抵抗も誘電損失もない伝送線路と定義されます。これは、導体が完全導体のように振る舞い、誘電体が完全誘電体のように振る舞うことを意味します。無損失線路の場合、 $R$ と $Gは$ 両方ともゼロであるため、上記で導出した特性インピーダンスの式は次のようになります。 $Z_{0}={\sqrt {{\frac {L}{C}}\,}}\,.$

特に、 $Z 0 は$ 周波数に依存しなくなります。上記の式は虚数項 $j$ が相殺されるため完全に実数となり、 $Z 0が純粋に抵抗性であることを意味します。Z$ $0で終端され$ $た$ 無損失線路では、線路全体で電流の損失がないため、線路に沿って電圧は一定のままです。無損失線路モデルは、低損失伝送線路や高周波伝送線路など、多くの実際的なケースで有用な近似です。これらのケースでは、 $R$ と $G はそれぞれ$ $ωL$ と $ωC$ よりもはるかに小さいため、無視できます。

長距離送電方程式の解には、電圧と電流の入射成分と反射成分が含まれる。 ${\begin{aligned}V&={\frac {V_{r}+I_{r}Z_{c}}{2}}e^{\gamma x}+{\frac {V_{r}-I_{r}Z_{c}}{2}}e^{-\gamma x}\\[1ex]I&={\frac {V_{r}/Z_{c}+I_{r}}{2}}e^{\gamma x}-{\frac {V_{r}/Z_{c}-I_{r}}{2}}e^{-\gamma x}\end{aligned}}$ 伝送線路が特性インピーダンスで終端されている場合、これらの方程式の反射部分はゼロになり、伝送線路に沿った電圧と電流の解はすべて入射波となります。波の反射がないため、線路によって供給される負荷は実質的に線路に溶け込み、無限線路のように見えます。損失のない線路では、これは電圧と電流が伝送線路のどこにあっても同じであることを意味します。それらの大きさは線路の長さに沿って一定であり、位相角だけ回転します。

サージインピーダンス負荷

電力送電において、送電線の特性インピーダンスは、サージインピーダンス負荷（SIL ）、または自然負荷によって表されます。自然負荷とは、無効電力が発生も吸収もされない電力負荷のことです。 $\mathrm {SIL} ={\frac {{V_{\mathrm {LL} }}^{2}}{Z_{0}}}$ ここで、 $V LL$ は実効値(RMS) 線間電圧(ボルト)です。

SIL（安全絶縁レベル）を下回る負荷では、負荷電圧は系統電圧よりも高くなります。SILを上回る負荷では、負荷電圧は低下します。フェランティ効果とは、負荷が非常に軽い（または開放端の）送電線の遠端に向かうにつれて電圧が増加する現象です。地中ケーブルは通常、特性インピーダンスが非常に低いため、SILは一般的にケーブルの熱限界値を超えます。

実例

同軸ケーブル（同軸ケーブル）の特性インピーダンスは、一般的に次のように選ばれます。 RFおよびマイクロ波アプリケーションには50Ω 。ビデオアプリケーション用の同軸ケーブルは通常損失が少ないため、75Ωです。

参考文献

1 2 「伝送線の特性インピーダンスの導出」 . GATE ECE 2018 . 2016年4月16日。2018年9月9日にオリジナルからアーカイブ済み。2018年9月9日に取得。
↑ Miano, Giovanni; Maffucci, Antonio (2001). Transmission Lines and Lumped Circuits . San Diego: Academic Press. pp. 130–135 . ISBN 0-12-189710-9。
↑ Mooijweer, H. (1971). Microwave Techniques . London: Macmillan Education UK. pp. 74–79 . doi : 10.1007/978-1-349-01065-3 . ISBN 978-1-349-01067-7。
↑ファインマン、リチャード;レイトン、ロバート B. ;サンズ、マシュー. 「第 22-6 節はしごネットワーク」 .ファインマン物理学講義. 第2 巻。
1 2 3 Lee, Thomas H. (2004). "2.5 反復構造の駆動点インピーダンス".平面マイクロ波工学：理論、測定、回路の実践ガイド. Cambridge University Press. p. 44.
1 2リチャード・ファインマン、ロバート・B・レイトン、マシュー・サンズ。「セクション 22-7. フィルタ」。ファインマン物理学講義。第2巻 $。$ 線路を短い長さ $Δℓに分割すると想像すると、各長さは直列インダクタンス$ $ΔL$ と並列容量 $ΔC$ $を$ 持つ LC ラダーの 1 つのセクションのように見えます。次に $、$ $ラダーフィルタに結果を使用できます。Δℓが$ ゼロに近づく極限を取ると、伝送線路の適切な記述が得られます。Δℓ がどんどん小さくなると、ΔL と ΔC の両方が減少するが、同じ割合で減少するため、比 ΔL/ΔC は一定のままであることに注意してください $。$ したがって $、$ 式 $($ $22.28$ $)$ の $ΔL$ $と$ $ΔC$ $が$ $ゼロ$ $に$ $近づく$ 極限 $を$ $取る$ と $、$ 特性インピーダンス $z0$ $は$ $、大きさが$ $\sqrtΔL$ $/ΔC$ $の$ 純抵抗である $こと$ がわかります。比 $Δ$ $L$ $/Δ$ $C は$ $L$ $0$ $/$ $C$ $0$ とも表すことができ、ここで $L$ $0$ と $C$ $0$ は単位長さの線路のインダクタンスと容量です。すると、 $\sqrt$ $L$ $0$ $/$ $C$ $0となります。$ 。
↑ Lee, Thomas H. (2004). "2.6.2. 損失のある伝送線の特性インピーダンス". Planar Microwave Engineering: A practical guide to theory, measurement, and circuits . Cambridge University Press. p. 47.
↑ 「特性インピーダンス」。ee.scu.edu 。2017年5月19日にオリジナルからアーカイブ済み。 2018年9月9日に取得。
↑ 「SuperCat OUTDOOR CAT 5e U/UTP」（PDF）。 2012年3月16日にオリジナル（PDF）からアーカイブされました。
↑ 「第2章 – ハードウェア」。USBの概要。Beyond Logic.org 。 2007年8月25日取得。
1 2 3 4 「AN10798 DisplayPort PCB レイアウトガイドライン」(PDF)。2022-10-09のオリジナルからアーカイブ(PDF) 。2019-12-29に取得。
↑ 「評価」(PDF) . materias.fi.uba.ar. 2022年10月9日にオリジナルからアーカイブ(PDF) 。2019年12月29日に取得。
↑ "VMM5FL" (PDF)。プロビデオデータシート。2016年4月2日にオリジナル(PDF)からアーカイブされました。2016年3月21日に取得。
1 2 Singh 2008、p. 212。

情報源

Guile, AE (1977). Electrical Power Systems . Pergamon Press. ISBN 0-08-021729-X。
ポザール、DM（2004年2月）。マイクロ波工学（第3 版）。ISBN 0-471-44878-8。
Ulaby, FT (2004).応用電磁気学の基礎（メディア版）. Prentice Hall. ISBN 0-13-185089-X。
Singh, SN (2008年6月23日).発電：送電と配電（第2 版）. PHI Learning Pvt. Ltd. p. 212. ISBN 9788120335608OCLC 1223330325。
Guile, AE (1977).電気電力システム. ISBN 0-08-021729-X。

外部リンク

この記事は、連邦規格1037C（一般調達局）からのパブリックドメイン資料を組み込んでいます。 2022年1月22日にオリジナルからアーカイブされました。

[:1-1] 1 2 「伝送線の特性インピーダンスの導出」 . GATE ECE 2018 . 2016年4月16日。2018年9月9日にオリジナルからアーカイブ済み。2018年9月9日に取得。

[Miano-2] Miano, Giovanni; Maffucci, Antonio (2001). Transmission Lines and Lumped Circuits . San Diego: Academic Press. pp. 130–135 . ISBN 0-12-189710-9。

[3] Mooijweer, H. (1971). Microwave Techniques . London: Macmillan Education UK. pp. 74–79 . doi : 10.1007/978-1-349-01065-3 . ISBN 978-1-349-01067-7。

[4] ファインマン、リチャード;レイトン、ロバート B. ;サンズ、マシュー. 「第 22-6 節はしごネットワーク」 .ファインマン物理学講義. 第2 巻。

[lee2004-5] 1 2 3 Lee, Thomas H. (2004). "2.5 反復構造の駆動点インピーダンス".平面マイクロ波工学：理論、測定、回路の実践ガイド. Cambridge University Press. p. 44.

[feynman-6] 1 2リチャード・ファインマン、ロバート・B・レイトン、マシュー・サンズ。「セクション 22-7. フィルタ」。ファインマン物理学講義。第2巻 $。$ 線路を短い長さ $Δℓに分割すると想像すると、各長さは直列インダクタンス$ $ΔL$ と並列容量 $ΔC$ $を$ 持つ LC ラダーの 1 つのセクションのように見えます。次に $、$ $ラダーフィルタに結果を使用できます。Δℓが$ ゼロに近づく極限を取ると、伝送線路の適切な記述が得られます。Δℓ がどんどん小さくなると、ΔL と ΔC の両方が減少するが、同じ割合で減少するため、比 ΔL/ΔC は一定のままであることに注意してください $。$ したがって $、$ 式 $($ $22.28$ $)$ の $ΔL$ $と$ $ΔC$ $が$ $ゼロ$ $に$ $近づく$ 極限 $を$ $取る$ と $、$ 特性インピーダンス $z0$ $は$ $、大きさが$ $\sqrtΔL$ $/ΔC$ $の$ 純抵抗である $こと$ がわかります。比 $Δ$ $L$ $/Δ$ $C は$ $L$ $0$ $/$ $C$ $0$ とも表すことができ、ここで $L$ $0$ と $C$ $0$ は単位長さの線路のインダクタンスと容量です。すると、 $\sqrt$ $L$ $0$ $/$ $C$ $0となります。$ 。

[7] Lee, Thomas H. (2004). "2.6.2. 損失のある伝送線の特性インピーダンス". Planar Microwave Engineering: A practical guide to theory, measurement, and circuits . Cambridge University Press. p. 47.

[:2-8] 「特性インピーダンス」。ee.scu.edu 。2017年5月19日にオリジナルからアーカイブ済み。 2018年9月9日に取得。

[drakacom_cat5-9] 「SuperCat OUTDOOR CAT 5e U/UTP」（PDF）。 2012年3月16日にオリジナル（PDF）からアーカイブされました。

[10] 「第2章 – ハードウェア」。USBの概要。Beyond Logic.org 。 2007年8月25日取得。

[an10798-11] 1 2 3 4 「AN10798 DisplayPort PCB レイアウトガイドライン」(PDF)。2022-10-09のオリジナルからアーカイブ(PDF) 。2019-12-29に取得。

[ieee1394tdr-12] 「評価」(PDF) . materias.fi.uba.ar. 2022年10月9日にオリジナルからアーカイブ(PDF) 。2019年12月29日に取得。

[vga_klotz-13] "VMM5FL" (PDF)。プロビデオデータシート。2016年4月2日にオリジナル(PDF)からアーカイブされました。2016年3月21日に取得。

[FOOTNOTESingh2008212-14] 1 2 Singh 2008、p. 212。

[ 2 ]

[ 3 ]

[

[

[

[ 7 ]