統計的証明

統計的証明とは、支持する証拠とテストのスコアから引き出せる推論の種類の統計的テストに続いて、他の人を説得するために使用される命題、仮説、または理論の確実性の程度を合理的に実証することです。統計的手法は事実の理解を深めるために使用され、証明は仮説、実験データ、事実、テスト、およびオッズを明示的に参照して推論の妥当性と論理を示します。証明には2つの重要な目的があります。1つ目は説得することであり、2つ目はピアレビューと公開レビューを通じて命題を説明することです。^[1]

立証責任は、統計的手法の実証可能な適用、仮定の開示、および外部世界に対するデータの真の理解に関して検定が持つ関連性にかかっています。ベイズの定理と尤度関数、実証主義と批判的合理主義など、推論に関する統計哲学にはさまざまな支持者がいます。これらの推論方法は、統計的証明と、より広い科学哲学におけるその解釈に直接関係しています。^[1]^[2]

科学と非科学の一般的な区分は、カール・ポパーが開発した仮説演繹的反証証明であり、統計学の伝統の中で確立された実践である。しかし、他の推論モードには、帰納的および帰納的証明モードが含まれる場合がある。^[3]科学者は、統計的証明を確実性を得るための手段としてではなく、主張を反証し理論を説明するために使用する。科学は絶対的な確実性を得ることはできないし、また「証明」という用語の科学的意味とは対照的に、俗語が示唆するような客観的真実への継続的な前進でもない。統計的証明は、理論の反証の一種の証明と、繰り返される統計的試行と実験エラーを通じて発見的に学習する手段を提供する。^{[2]統計的証明は}、法的立証責任に影響を与える法的事項にも応用される。^[4]

公理

公理には2種類あり、1) 真実であるとされているが検証できないため避けるべき慣習と、2) 仮説である。^[5]確率論の証明は、17世紀後半に開発された4つの公理に基づいている。

仮説の確率は負でない実数です: ; ${\bigg \{}\Pr(h)\geqq 0{\bigg \}}$
必然的な真実の確率は 1 に等しい: ; ${\bigg \{}\Pr(t)=1{\bigg \}}$
2つの仮説h ₁と h ₂が相互に排他的である場合、それらの確率の合計はそれらの論理和の確率に等しくなります。 ${\bigg \{}\Pr \left(h_{1}\right)+\Pr \left(h_{2}\right)=\Pr \left(h_{1}orh_{2}\right){\bigg \}}$
h _{2が与えられたときの h}₁の条件付き確率は、 h ₁と h _{2 の}結合の無条件確率を、その確率が正であるh 2 の_無条件確率で割ったものに等しくなります。 ${\Bigg \{}\Pr(h_{1}|h_{2}){\Bigg \}}$ ${\bigg \{}\Pr(h_{1}\And h_{2}){\bigg \}}$ ${\bigg \{}\Pr(h_{2}){\bigg \}}$ ${\bigg \{}\Pr(h_{1}|h_{2})={\frac {\Pr(h_{1}\And h_{2})}{\Pr(h_{2})}}{\bigg \}}$ ${\bigg \{}\Pr(h_{2})>0{\bigg \}}$

前述の公理は、ランダム性の法則、つまり客観的な偶然性の法則の統計的証明と基礎を提供し、そこから現代の統計理論が発展しました。しかし、実験データでは仮説 (h) が正しいとは決して証明できず、経験的データに対する仮説の確率を測定する帰納的推論に依存しています。証明は、推論、数学、テスト、および有意性の演繹的推論の論理を使用して合理的に実証することです。^[1]^[2]^[6]

テストと証明

証明という用語は、ラテン語の語源（証明可能、蓋然性、ラテン語のprobare）から派生したもので、テストするという意味です。^[7]^[8]したがって、証明は統計的検定による推論の一形態です。統計的検定は、確率分布を生成するモデルに基づいて策定されます。確率分布の例には、バイナリ分布、正規分布、ポアソン分布などがあり、これらはランダムな偶然の自然法則に従って動作する変数の正確な説明を提供します。統計的検定が母集団のサンプルに適用されると、検定はサンプル統計が想定されるヌルモデルと大幅に異なるかどうかを判定します。実際には知ることができない母集団の真の値は、母集団のパラメータと呼ばれます。研究者は、パラメータの推定値を提供する母集団からサンプルを抽出し、平均または標準偏差を計算します。母集団全体をサンプリングすると、サンプル統計の平均と分布はパラメトリック分布に収束します。^[9]

科学的反証法を用いると、標本統計量が帰無モデルと偶然だけで説明できるほど十分に異なる確率値が検定前に与えられる。ほとんどの統計学者は事前確率値を 0.05 または 0.1 に設定する。これは、標本統計量がパラメトリックモデルから 100 回中 5 回 (または 10 回) 以上乖離する場合、その相違は偶然だけで説明できる可能性は低く、帰無仮説は棄却されることを意味する。統計モデルは、パラメトリックの正確な結果と標本統計量の推定値を提供する。したがって、立証責任は統計モデルの推定値を提供する標本統計量にある。統計モデルには、パラメトリック値とその確率分布の数学的証明が含まれている。^[10]^[11]

ベイズの定理

ベイズ統計は推論の証明に関して異なる哲学的アプローチに基づいています。ベイズの定理の数式は次のとおりです。

$Pr[Parameter|Data]={\frac {Pr[Data|Parameter]\times Pr[Parameter]}{Pr[Data]}}$

この式は、データ（または経験的観察）が「与えられた」場合のパラメータ（または公理の表記法で使用される仮説=h）の確率として読み取られ、水平バーは「与えられた」ことを表します。式の右側は、統計モデルの事前確率（Pr [パラメータ]）と尤度（ Pr [データ | パラメータ]）を計算して、パラメータの事後確率分布（Pr [パラメータ | データ]）を生成します。事後確率とは、観測データまたはサンプル統計が与えられた場合にパラメータが正しい尤度です。^[12]仮説は、事後オッズと事前オッズの比率であるベイズ係数を使用してベイズ推論で比較できます。これはデータの尺度を提供し、ある仮説の尤度が別の仮説と比較して増加または減少したかどうかを示します。^[13]

統計的証明とは、ある仮説の尤度がより高い（弱い、強い、肯定的な）ことをベイズ的に証明することである。^[13]ベイズ法がカール・ポッパーの反証証明法と一致するかどうかについてはかなりの議論があり、その方法には「仮説を「受け入れる」ということなど全く存在しない。科学でやることは信念の度合いを割り当てることだけだ」と示唆する者もいる^[14]^{: 180}ポッパーによれば、テストに耐え、まだ反証されていない仮説は検証されたものではなく、確証されたものである。一部の研究者は、確証を確率の前提で定義しようとするポッパーの試みが、彼の哲学をベイズ的アプローチに沿わせていると示唆している。この文脈では、ある仮説の別の仮説に対する尤度は確証の指標であり、確証ではないため、厳密な客観的立場を通じて統計的に証明される可能性がある。^[6]^[15]

法的手続きにおいて

「統計的に著しい差異が示される場合、適切な場合には、それだけで差別のパターンまたは慣行の明白な証拠を構成する可能性がある。」 ^{[注 1]}^{: 271}

法的手続きにおける統計的証拠は、次の 3 つの証拠カテゴリに分類できます。

出来事、行為、または行動の種類の発生、
責任者の身元
意図または心理的責任^[16]

統計的証明は、1970年代半ばのカスタネダ対パルティダ裁判で陪審差別の画期的な判決が出るまで、米国の法的手続きに関する判決で定期的には適用されなかった。米国最高裁判所は、統計上の著しい不均衡は差別の「一応の証明」を構成すると判決し、立証責任が原告から被告に移った。この判決以来、統計的証明は不平等、差別、DNA証拠に関する他の多くの訴訟で使用されている。^[4]^[17]^[18]しかし、統計的証明と法的立証責任は一対一で対応しているわけではない。「最高裁判所は、法律と科学の事実認定プロセスで要求される厳密さの程度は必ずしも一致しないと述べた。」^[18]^{: 1533}

人種差別に関する死刑判決の例（マクレスキー対ケンプ^{[nb 2]}）では、請願者であるマクレスキーという名の黒人男性が、強盗中に白人警察官を殺害した罪で起訴された。マクレスキーの専門家証言は、「白人の犠牲者を殺害した罪で起訴された被告が死刑判決を受ける可能性は、黒人を殺害した罪で起訴された被告よりも 4.3 倍高い」という統計的証拠を提示した。 ^[19]^{: 595}しかし、この統計は「彼の事件の意思決定者が差別的な目的で行動したことを証明するには不十分」であった。 ^[19]^{: 596}さらに、「統計的証明には固有の限界がある」と主張された。 ^{[19 ]}^{: 596}なぜなら、統計的証明は個人の詳細に言及していないからである。差別の可能性が高まったという統計的証明にもかかわらず、法的立証責任は（主張された）ケースごとに検討されなければならない。^[19]

参照

参考文献

^ abc Gold, B. ; Simons, RA (2008). 証明とその他のジレンマ: 数学と哲学。アメリカ数学協会。ISBN 978-0-88385-567-6。
^ abc Gattei, S. (2008). Thomas Kuhn の「言語的転回」と論理的経験主義の遺産: 通約不可能性、合理性、そして真実の探求。Ashgate Pub Co. p. 277。ISBN 978-0-7546-6160-3。
^ Pedemont, B. (2007). 「議論と証明の関係をどのように分析できるか?」.数学教育研究. 66 (1): 23–41. doi :10.1007/s10649-006-9057-x. S2CID 121547580.
^ abc Meier, P. (1986). 「Damned Liars and Expert Witnesses」（PDF） . Journal of the American Statistical Association . 81 (394): 269–276. doi :10.1080/01621459.1986.10478270.
^ Wiley, EO (1975). 「カール・R・ポッパー、系統学、分類：ウォルター・ボックとその他の進化論的分類学者への返答」.系統動物学. 24 (2): 233–43. doi :10.2307/2412764. ISSN 0039-7989. JSTOR 2412764.
^ ab ハウソン、コリン; アーバッハ、ピーター (1991)。「科学におけるベイズ推論」。ネイチャー。350 ( 6317): 371–4。Bibcode :1991Natur.350..371H。doi : 10.1038/350371a0。ISSN 1476-4687。S2CID 5419177 。
^ Sundholm, G. (1994). 「命題に対する証明理論的意味論とフレーゲの同一性基準」(PDF) . The Monist . 77 (3): 294–314. doi :10.5840/monist199477315. hdl : 1887/11990 .
^ Bissell, D. (1996). 「統計学者にはそれを表す言葉がある」(PDF) .統計教育. 18 (3): 87–89. CiteSeerX 10.1.1.385.5823 . doi :10.1111/j.1467-9639.1996.tb00300.x.
^ Sokal, RR; Rohlf, FJ (1995). Biometry (第3版). WH Freeman & Company. pp. 887. ISBN 978-0-7167-2411-7.生体認証。
^ ヒース、デイビッド（1995）。生物学のための実験計画と統計入門。CRC Press。ISBN 978-1-85728-132-3。
^ Hald, Anders (2006). パラメトリック統計推論の歴史: ベルヌーイからフィッシャーまで、1713-1935年。Springer。p. 260。ISBN 978-0-387-46408-4。
^ Huelsenbeck, JP; Ronquist, F.; Bollback, JP (2001). 「ベイズ推定による系統発生と進化生物学への影響」(PDF) . Science . 294 (5550): 2310–2314. Bibcode :2001Sci...294.2310H. doi :10.1126/science.1065889. PMID 11743192. S2CID 2138288.
^ ab Wade, PR (2000). 「保全生物学におけるベイズ法」(PDF) .保全生物学. 14 (5): 1308–1316. doi :10.1046/j.1523-1739.2000.99415.x. S2CID 55853118.
^ ソバー、E. (1991)。過去の再構築：簡素化、進化、推論。ブラッドフォードの本。p. 284。ISBN 978-0-262-69144-4。
^ Helfenbein, KG; DeSalle, R. (2005). 「偽造と確証: カール・ポパーの系統学への影響」(PDF) .分子系統学と進化. 35 (1): 271–280. doi :10.1016/j.ympev.2005.01.003. PMID 15737596.
^ Fienberg, SE; Kadane, JB (1983). 「法的手続きにおけるベイズ統計分析の提示」. Journal of the Royal Statistical Society, Series D . 32 (1/2): 88–98. doi :10.2307/2987595. JSTOR 2987595.
^ Garaud, MC (1990). 「タイトル VII 訴訟における法的基準と統計的証明: 一貫性のある差異影響モデルの探求」.ペンシルバニア大学法学評論. 139 (2): 455–503. doi :10.2307/3312286. JSTOR 3312286.
^ abハーバード・ロー・ レビュー協会 (1995)。 「法の発展：科学的証拠の新たな課題に立ち向かう」ハーバード・ロー・レビュー。108 (7): 1481–1605。doi :10.2307 / 1341808。JSTOR 1341808。
^ abcde Faigman, DL (1991). 「規範的憲法事実調査」: 憲法解釈の経験的要素の探究.ペンシルバニア大学法学評論. 139 (3): 541–613. doi :10.2307/3312337. JSTOR 3312337.

注記

^ アメリカ合衆国最高裁判所カスタネダ対パルティダ事件、1977年 [1] マイヤー (1986) 同書で引用。同書では「こうして、わずか半年足らずの間に、最高裁判所は統計的証拠に対する従来の法的軽視から、統計的証拠が単独で被告に対する一応の証拠を立証できると強く支持するようになった」と述べている。^[4]
^ 481 US 279 (1987). ^[19]

外部リンク

[Gold08-1] Gold, B. ; Simons, RA (2008). 証明とその他のジレンマ: 数学と哲学。アメリカ数学協会。ISBN 978-0-88385-567-6。

[Gattei08-2] Gattei, S. (2008). Thomas Kuhn の「言語的転回」と論理的経験主義の遺産: 通約不可能性、合理性、そして真実の探求。Ashgate Pub Co. p. 277。ISBN 978-0-7546-6160-3。

[Pedemont07-3] Pedemont, B. (2007). 「議論と証明の関係をどのように分析できるか?」.数学教育研究. 66 (1): 23–41. doi :10.1007/s10649-006-9057-x. S2CID 121547580.

[Meier86-4] Meier, P. (1986). 「Damned Liars and Expert Witnesses」（PDF） . Journal of the American Statistical Association . 81 (394): 269–276. doi :10.1080/01621459.1986.10478270.

[Wiley75-5] Wiley, EO (1975). 「カール・R・ポッパー、系統学、分類：ウォルター・ボックとその他の進化論的分類学者への返答」.系統動物学. 24 (2): 233–43. doi :10.2307/2412764. ISSN 0039-7989. JSTOR 2412764.

[Howson91-6] ハウソン、コリン; アーバッハ、ピーター (1991)。「科学におけるベイズ推論」。ネイチャー。350 ( 6317): 371–4。Bibcode :1991Natur.350..371H。doi : 10.1038/350371a0。ISSN 1476-4687。S2CID 5419177 。

[Sundholm94-7] Sundholm, G. (1994). 「命題に対する証明理論的意味論とフレーゲの同一性基準」(PDF) . The Monist . 77 (3): 294–314. doi :10.5840/monist199477315. hdl : 1887/11990 .

[Bissell96-8] Bissell, D. (1996). 「統計学者にはそれを表す言葉がある」(PDF) .統計教育. 18 (3): 87–89. CiteSeerX 10.1.1.385.5823 . doi :10.1111/j.1467-9639.1996.tb00300.x.

[Sokal95-9] Sokal, RR; Rohlf, FJ (1995). Biometry (第3版). WH Freeman & Company. pp. 887. ISBN 978-0-7167-2411-7.生体認証。

[Heath95-10] ヒース、デイビッド（1995）。生物学のための実験計画と統計入門。CRC Press。ISBN 978-1-85728-132-3。

[Hald06-11] Hald, Anders (2006). パラメトリック統計推論の歴史: ベルヌーイからフィッシャーまで、1713-1935年。Springer。p. 260。ISBN 978-0-387-46408-4。

[Huelsenbeck01-12] Huelsenbeck, JP; Ronquist, F.; Bollback, JP (2001). 「ベイズ推定による系統発生と進化生物学への影響」(PDF) . Science . 294 (5550): 2310–2314. Bibcode :2001Sci...294.2310H. doi :10.1126/science.1065889. PMID 11743192. S2CID 2138288.

[Wade00-13] Wade, PR (2000). 「保全生物学におけるベイズ法」(PDF) .保全生物学. 14 (5): 1308–1316. doi :10.1046/j.1523-1739.2000.99415.x. S2CID 55853118.

[Sober91-14] ソバー、E. (1991)。過去の再構築：簡素化、進化、推論。ブラッドフォードの本。p. 284。ISBN 978-0-262-69144-4。

[Helfenbein05-15] Helfenbein, KG; DeSalle, R. (2005). 「偽造と確証: カール・ポパーの系統学への影響」(PDF) .分子系統学と進化. 35 (1): 271–280. doi :10.1016/j.ympev.2005.01.003. PMID 15737596.

[Fienberg82-17] Fienberg, SE; Kadane, JB (1983). 「法的手続きにおけるベイズ統計分析の提示」. Journal of the Royal Statistical Society, Series D . 32 (1/2): 88–98. doi :10.2307/2987595. JSTOR 2987595.

[Garaud90-18] Garaud, MC (1990). 「タイトル VII 訴訟における法的基準と統計的証明: 一貫性のある差異影響モデルの探求」.ペンシルバニア大学法学評論. 139 (2): 455–503. doi :10.2307/3312286. JSTOR 3312286.

[HLRA95-19] ハーバード・ロー・ レビュー協会 (1995)。 「法の発展：科学的証拠の新たな課題に立ち向かう」ハーバード・ロー・レビュー。108 (7): 1481–1605。doi :10.2307 / 1341808。JSTOR 1341808。

[Faigman91-20] Faigman, DL (1991). 「規範的憲法事実調査」: 憲法解釈の経験的要素の探究.ペンシルバニア大学法学評論. 139 (3): 541–613. doi :10.2307/3312337. JSTOR 3312337.

[16] アメリカ合衆国最高裁判所カスタネダ対パルティダ事件、1977年 [1] マイヤー (1986) 同書で引用。同書では「こうして、わずか半年足らずの間に、最高裁判所は統計的証拠に対する従来の法的軽視から、統計的証拠が単独で被告に対する一応の証拠を立証できると強く支持するようになった」と述べている。^[4]

[21] 481 US 279 (1987). ^[19]