頻度主義的確率

頻度主義的確率または頻度主義は確率の解釈であり、ある事象の確率を、無限回の試行におけるその事象の相対頻度の限界（長期確率）として定義する。^[2] 確率は（原理的には）繰り返し可能な客観的プロセスによって求めることができる（したがって、理想的には意見がない）。しかし、科学的推論において頻度主義的手法を継続的に使用することは疑問視されている。^{[3] [4] [5]}

頻度主義的説明の発展は、それまで支配的だった観点である古典的解釈の問題点とパラドックスに動機づけられた。古典的解釈では、確率は問題の自然な対称性に基づく無差別原理の観点から定義されていた。そのため、たとえば、サイコロゲームの確率は、サイコロの自然な対称性である 6 面性から生じる。この古典的解釈は、推論のための自然な対称性を持たない統計的問題にはつまずいていた。

頻度主義的解釈では、確率は明確に定義されたランダム実験を扱う場合にのみ議論されます。ランダム実験のすべての可能な結果の集合は、実験のサンプル空間と呼ばれます。イベントは、考慮されるサンプル空間の特定のサブセットとして定義されます。特定のイベントについては、発生するか発生しないかの 2 つの可能性のうち 1 つだけが成立します。実験を何回か繰り返して観察されたイベントの相対的な発生頻度は、そのイベントの確率の尺度です。これが、頻度主義的解釈における確率の中心的な概念です。

頻度主義的アプローチの主張は、試行回数が増えるにつれて相対頻度の変化が減少するというものです。したがって、確率は対応する相対頻度の 限界値として見ることができます。

頻度主義的解釈は、確率の定義と使用に対する哲学的アプローチであり、そのようなアプローチの 1 つです。自然言語の口語における「確率的」という概念のすべての含意を捉えると主張するものではありません。

解釈としては、確率論の数学的公理化と矛盾するものではなく、むしろ、数学的確率論を現実世界の状況に適用する方法についての指針を提供するものである。特にベイズ解釈と対比した場合、実用的な実験の構築と設計において明確な指針を提供する。この指針が有用であるか、または誤解されやすいかについては、論争の種となってきた。特に、確率の頻度解釈が頻度主義的推論の唯一の可能な根拠であると誤って想定されている場合である。したがって、たとえば、p値の意味の誤った解釈のリストはp値に関する記事に付随しており、論争は統計的仮説検定に関する記事で詳述されている。ジェフリーズ-リンドリーのパラドックスは、同じデータ セットに適用された異なる解釈が、結果の「統計的有意性」について異なる結論につながる可能性があることを示している。^[要出典]

フェラー氏は次のように指摘している。^[a]

我々のシステムには、明日太陽が昇る確率に関する推測の余地はない。それについて話す前に、我々は「無限の数の世界からランダムに 1 つの世界が選ばれる」という考え方に沿った (理想化された) モデルに同意しなければならない。そのようなモデルを構築するのに想像力はほとんど必要ではないが、それは面白くなく無意味であるように思われる。^[6]

頻度主義の見解は、アリストテレスが『弁論術』 [ ^7]の中で次 のように書いたことによって予見されていた可能性がある。

起こりうることは大抵起こることである —アリストテレス レトリック^[8]

ポアソン（1837）は客観的確率と主観的確率を明確に区別した。^[9] その後すぐに、ミル、エリス（1843）^[10] 、エリス（1854）^{[11] 、} クールノー（1843）^[12] 、フリースによるほぼ同時の一連の出版物により、頻度主義の見解が導入された。ヴェン（1866、1876、1888）^[1]は、20年後に徹底的な解説を行った。これらは、ブールとベルトランの出版物によってさらに裏付けられた。19世紀の終わりまでには、頻度主義の解釈は十分に確立され、おそらく科学において支配的であった。^[9]次の世代は、すべて頻度主義的確率に基づいた古典的な推論統計（有意性検定、仮説検定、信頼区間）のツールを確立した。

あるいは、^[13] ベルヌーイ^[b]は 頻度主義的確率の概念を理解し、死後に重要な証明 (大数の弱い法則) を出版しました (Bernoulli, 1713)。 ^[14] 彼はまた、主観的確率 (ベイズの定理 以前およびベイズの定理なし) をあ​​る程度理解していたとされています。^{[15] [c] [16]} ガウスとラプラスは、1 世紀後、ポアソンより 1 世代前に、頻度主義的 (およびその他の) 確率を最小二乗法の導出に使用しました。^[13] ラプラスは、証言、死亡率表、法廷の判決などの確率を考慮しましたが、これらは古典的な確率の候補にはなりそうにありません。 この観点から、ポアソンの貢献は、代替の「逆」 (主観的、ベイズ的) 確率解釈に対する彼の鋭い批判でした。ガウスやラプラスによる批判は、控えめで暗黙的でした。 (ただし、後の最小二乗法の導出では逆確率を使用していなかった ことに注意してください。)

20世紀初頭の「古典的」統計学への主要な貢献者には、フィッシャー、ネイマン、ピアソンなどがいた。フィッシャーは統計学のほとんどに貢献し、有意性検定を実験科学の中核としたが、「同じ母集団から繰り返しサンプリングする」という頻度主義の概念には批判的だった。^[17] ネイマンは信頼区間を定式化し、サンプリング理論に大きく貢献した。ネイマンとピアソンは仮説検定の創出で協力した。全員が客観性を重視したため、彼らにとって確率の最良の解釈は頻度主義であった。

全員が、無差別原理を用いて事前確率を選択した「逆確率」（利用可能な代替手段）に疑念を抱いていた。フィッシャーは「逆確率の理論は誤り（ベイズの定理を参照）に基づいており、完全に拒否されなければならない」と述べた。 ^[18] ネイマンは純粋な頻度主義者であったが、^{[19] [d]} フィッシャーの確率観は独特であった。フィッシャーとネイマンはどちらも確率について微妙な見解を持っていた。フォン・ミーゼスは、その時代に頻度主義を数学的および哲学的に支持した。^{[20] [21]}

オックスフォード英語辞典によると、頻度主義者という用語は1949年にMGケンドールによって初めて使用され、ベイズ主義者と対比されました。ケンドールはベイズ主義者を非頻度主義者と呼びました。 ^{[22] [23]} ケンドールは次のように述べています 。

3. ... 我々は、2つの主要な態度を大まかに区別することができる。1つは、確率を「合理的信念の程度」または同様の考えとしてとらえる。2つ目は、確率を事象の発生頻度、または「集団」または「集団」における相対的な割合で定義する。^{[23] (p 101)}

...

12. 頻度主義者と非頻度主義者（そう呼んでもいいなら）の違いは、主に彼らがカバーすると主張する領域の違いによるものと考えられるかもしれない。^{[23] （p 104）}

...

私はそうではないと主張します...頻度主義者と非頻度主義者の本質的な違いは、前者は意見の問題を匂わせるあらゆるものを避けるため、現実の集団または仮想の集団の客観的な特性に基づいて確率を定義しようとするのに対し、後者はそうしないということだと思います。[強調は原文のまま]

「確率の頻度理論」は、ケインズ（1921年）の章のタイトルとして一世代前に使用されました。^[7]

歴史的経緯：

1. 確率の概念が導入され、確率の数学の多くが派生した（20世紀以前）
2. 古典的な統計的推論手法が開発された
3. 確率の数学的基礎が固められ、現在の用語が導入されました (すべて 20 世紀)。

確率と統計の主要な歴史的資料では、古典的確率、主観的確率(ベイズ確率)、頻度主義的確率という現在の用語は使用されていませんでした。

確率論は数学の一分野です。その起源は数世紀前に遡りますが、 1933 年にアンドレイ・コルモゴロフの公理によって成熟しました。この理論は、値の初期割り当てではなく、確率値に対する有効な操作に重点を置いています。この数学は、確率の解釈からほとんど独立しています。

確率の応用と解釈は、哲学、科学、統計学によって検討されています。すべては、観察から知識を抽出すること、つまり帰納的推論に興味を持っています。競合するさまざまな解釈があります。 ^{[24]すべてに問題があります。頻度主義的解釈は、結果の自然な対称性が知られていない問題など、古典的解釈の困難さを解決します。}オランダの本 などの他の問題には対処していません。

• 古典的な確率は、物理的な理想化された対称性（サイコロ、コイン、カード）に基づいて確率を割り当てます。古典的な定義は循環性のリスクがあります。確率は確率の等価性を仮定して定義されます。^[25]対称性がない場合、定義の有用性は限られます。

• 主観的（ベイズ）確率（競合する解釈のファミリー）は、信念の度合いを考慮します。すべての実用的な「主観的」確率の解釈は、合理性に非常に制限されているため、ほとんどの主観性は回避されます。実際の主観性は、観察者や分析者から独立した結果を目指す科学の定義には反します。^[要出典]科学におけるベイズ主義の他の応用（たとえば、論理ベイズ主義）は、多くの科学的研究とオブジェクトの固有の主観性を受け入れ、ベイズ推論を使用して、すべての分析に対する主観性の影響に境界とコンテキストを設定します。 ^[26] この概念の歴史的なルーツは、法的証拠などの非数値的アプリケーションにまで広がりました。

• 傾向確率は、確率を純粋に記述的または主観的なものではなく、原因となる現象として捉えます。^[24]