確率の古典的な定義

確率の古典的な定義や解釈は、ヤコブ・ベルヌーイとピエール＝シモン・ラプラスの著作^[1]と同一視されている。ラプラスの『確率解析理論』には、

ある出来事が起こる確率とは、その出来事に有利な場合の数と、起こりうるすべての場合の数との比率であり、その場合、これらの場合のいずれかが他の場合よりも多く起こると予想できる根拠が何もなく、私たちにとってはそれらが等しく起こりうるとみなされる場合を指します。

この定義は本質的に無差別原理の結果です。基本イベントに等しい確率が割り当てられている場合、基本イベントの選言の確率は、選言内のイベント数を基本イベントの総数で割ったものになります。

確率の古典的な定義は、ジョン・ヴェンやジョージ・ブールなど19世紀の数人の著述家によって疑問視されました。^[2]頻度主義的な確率の定義は、彼らの批判、特にRAフィッシャーの著作の結果として広く受け入れられるようになりました。ベイズ確率への一般的な関心により、古典的な定義はある種の復活を遂げました。ベイズ法では事前確率分布が必要であり、無差別原理がそのような分布の1つの情報源となるからです。古典的な確率は、実験を行う前に適切と思われることが多い無知を反映した事前確率を提供できます。

数学の分野としての確率論は、世界中の文化に人類がサイコロで遊んでいたという先史時代の証拠があるにもかかわらず、例えば幾何学と比較すると非常に遅く登場しました。 ^[3 ] 確率に関する最も初期の著述家の一人はジェロラモ・カルダーノです。彼はおそらく古典的な確率の最も古い定義を生み出しました。^[4]

確率の持続的な発展は、1654年にブレーズ・パスカルが父の友人ピエール・ド・フェルマーと、偶然旅行に同行したメレ騎士から聞いた偶然のゲームに関する2つの問題について手紙のやり取りをしたことに始まった。 1つの問題は、いわゆるポイントの問題で、当時すでに古典的な問題であった（1494年にはルカ・パチョーリによって扱われていた^[5] 。さらに早い1400年には匿名の原稿で扱われていた^{[5] ）。これは、ゲームが途中で中断された場合に、賭けたお金を}公平に分割する方法を扱っていた。もう1つの問題は、サイコロゲームを1つのサイコロから2つのサイコロに拡張したときに当てはまらないと思われる数学的な経験則に関するものだった。この最後の問題、つまりパラドックスは、メレ自身が発見したもので、彼によれば、数学を現実に適用することがいかに危険であるかを示したものだった。^{[5] [6]}彼らは旅行中に他の数学哲学的問題やパラドックスについても議論し、メレはそれが彼の一般的な哲学的見解を強化するものと考えていた。

パスカルは、数学は美しく完璧だが現実とのつながりが薄いというメレの見解に同意できず、純粋数学の範囲内でこれら 2 つの問題を解くことでメレの誤りを証明しようと決意した。フェルマーがすでに著名な数学者として認められていたが、パスカルはフェルマーが同じ結論に達したことを知り、フェルマーが問題を決定的に解決したと確信した。この書簡は当時の他の学者の間で、特にホイヘンス、ロベルヴァル、そして間接的にカラムエルに回覧され^[5]、数学者が一般に偶然のゲームから問題を研究し始めた出発点となった。書簡では「確率」には触れられておらず、公正な価格に焦点が当てられていた^{[7] 。}

半世紀後、ヤコブ・ベルヌーイは確率の高度な理解を示しました。彼は順列と組み合わせの巧みな表現を示し、古典的な定義を超えた例（個人、司法、財務上の決定など）で確率の概念について議論し、試行回数が増えるにつれて不確実性が減少する繰り返しの試行によって確率を推定できることを示しました。^{[7] [8]}

ディドロとダランベールの古典『百科全書』 1765年版には、確率に関する長い議論と、その当時の知識の要約が含まれている。「自然そのものの考察から導き出された確率」（物理的）と「過去の経験のみに基づいており、自信を持って将来について結論を導き出せる確率」（証拠的）が区別されている。^[9]

確率の明確かつ永続的な定義の源はラプラスです。1814 年になっても彼は次のように述べています。

偶然の理論は、同じ種類のすべての出来事を、同様に起こりうる、つまり、その存在に関して同じように不確定な可能性のある、ある一定の数の事例に還元し、その確率を求める出来事に有利な事例の数を決定することにあります。この数と、起こりうるすべての事例の数との比率がこの確率の尺度であり、したがって、確率は、有利な事例の数を分子とし、起こりうるすべての事例の数を分母とする単なる分数です。

— ピエール＝シモン・ラプラス『確率についての哲学的試論』^[10]

この記述は、最終的に確率の古典的な定義を提供するものです。ラプラスは、半世紀にわたって確率に関する複数の文書（技術的および一般向け）の複数の版を出版しました。彼の先駆者の多く（カルダノ、ベルヌーイ、ベイズ）は、死後に単一の文書を出版しました。

確率の古典的な定義では、コイン、カード、サイコロに自然な物理的な対称性に基づいて、イベントに等しい確率を割り当てます。

• 数学者の中には、この定義は循環的であると異議を唱える者もいる。^[11] 「公正な」コインの確率は... 「公正な」コインは確率によって定義される...
• この定義は非常に限定的です。物理的な対称性が存在しないケースについては何も述べられていません。たとえば、保険料は測定された損失率によってのみ合理的に価格設定できます。
• 最も単純かつ最も理想的なケース (問題の限定された定義の拡張) を除いて、無差別原理を正当化するのは簡単ではありません。コインは完全に対称ではありません。それぞれの面に等しい確率を割り当てることはできるでしょうか? 現実世界のあらゆる経験に等しい確率を割り当てることはできるでしょうか?

限定的ではありますが、定義には相当の確信が伴います。古典的な確率から著しく逸脱したカジノは、その仮定が破られた（誰かが不正行為をしている）と確信しています。^{[要出典] [異論あり–議論]}確率の数学の多くは、この単純化された定義に基づいて開発されました。確率の代替解釈（たとえば、頻度主義や主観的）にも問題があります。

数学的確率論は抽象化を扱い、確率の解釈に伴う限界や哲学的な複雑さを回避します。

• ピエール・シモン・ド・ラプラス。確率論の分析。パリ：アンプリムール裁判所、1812年。
• ピエール・シモン・ド・ラプラス。確率論的哲学、第 3 版。パリ：アンプリムール裁判所、1816年。
• ピエール＝シモン・ド・ラプラス。確率に関する哲学的論文。ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラグ、1995年。（1825年の第5フランス語版からAIデールが翻訳。詳細な注釈付き。）

• ポイントの問題