ストーマーの定理

数論において、カール・ストーマーにちなんで名付けられたストーマーの定理は、与えられた滑らかさの度合いに対して存在する連続する滑らかな数のペアの数に有限の上限を与え、ペル方程式を用いてそのようなペアをすべて見つける方法を提供する。チュー・ジーゲル・ロスの定理から、この種のペアは有限個しか存在しないことがわかるが、ストーマーはそれらすべてを見つける手順を与えた。^{[ 1 ]}

有限集合を選択した場合${\displaystyle P=\{p_{1},p_{2},\dots p_{k}\}}$素数の集合の場合、P-平滑数は整数の集合として定義されます。

${\displaystyle \left\{p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{k}^{e_{k}}\mid e_{i}\in \{0,1,2,\ldots \}\right\}}$

これは、 Pに含まれる数の積によって生成できるものです。そして、ストーマーの定理によれば、 Pの任意の選択に対して、連続するP平滑数のペアは有限個しか存在しません。さらに、ペル方程式を用いてそれらすべてを見つける方法も示されています。

^{ストーマーの元の手順では、}およそ3 ^{k 個}のペル方程式を解き、それぞれの方程式で最小の解のみを見つけます。DHレーマーによる手順の簡略版 [ 2 ] を以下に説明します。これは、解く^方程式の数は少ないですが、各方程式でより多くの解を見つけます。

Pを素数の集合とし、すべての素因数が P に属する数を P 平滑数と定義する。p 1 = 2と仮定する。そうでなければ、すべてのP平滑数が奇数になるため、連続するP平滑数は存在し得ない。レーマーの方法では_、ペル方程式を解く。

${\displaystyle x^{2}-2qy^{2}=1}$

2以外のP平滑平方フリー数qごとに、各数qはPの部分集合の積として生成されるため、解くべき Pell 方程式は2 ^k − 1 個あります。このような方程式ごとに、生成された解をx _i、y _iとします。ここで、 i は1 からmax(3, ( p _k + 1)/2) (両端を含む) の範囲にあり、p _kはPの素数の最大値です。

すると、レーマーが示すように、連続するP平滑数のペアはすべて( x _i − 1)/2、( x _i + 1)/2の形になります。したがって、この形の数をP平滑性についてテストすることで、そのようなペアをすべて見つけることができます。

さらにレーマーの論文は、同様の手順を方程式に適用すると^{[ 3 ]}

${\displaystyle x^{2}-Dy^{2}=1,}$

ここで、D は1 以外のすべてのP滑らかな平方因子を持たない数の範囲をとり、 2 で区切られたP滑らかな数のペアが得られます。滑らかなペアは(x − 1, x + 1)であり、( x , y )はその方程式の最初のmax(3, (max( P ) + 1) / 2)解の 1 つです。

音楽理論において、 10 組の{2,3,5} 滑らかな数(純正律の超粒子比を与える)を見つけるには、 P = {2,3,5} とする。 7 つのP滑らかな平方フリー数q (8 番目のP滑らかな平方フリー数 2 を除く)があり、それぞれがペル方程式につながる。 レーマーの方法によって必要なペル方程式ごとの解の数は max(3, (5 + 1)/2) = 3 なので、この方法では各ペル方程式に対して次の 3 つの解を生成する。   

• q = 1の場合、ペル方程式x ² − 2 y ² = 1 の最初の 3 つの解は (3,2)、(17,12)、および (99,70) です。したがって、3 つの値x _i = 3、17、および 99 のそれぞれについて、レーマー法は ( x _i − 1)/2、( x _i + 1)/2 のペアの滑らかさをテストします。テストされる 3 つのペアは (1,2)、(8,9)、および (49,50) です。(1,2)と(8,9)は連続するP滑らかな数のペアですが、49 の素因数が 7 であるため、(49,50) はそうではありません。    
• q = 3の場合、ペル方程式x ² − 6 y ² = 1 の最初の 3 つの解は (5,2)、(49,20)、および (485,198) です。 3 つの値x _i = 5、49、および 485 から、レーマー法は、連続する数の 3 つの候補ペア ( x _i − 1)/2、( x _i + 1)/2: (2,3)、(24,25)、および (242,243) を形成します。 これらのうち、(2,3)と(24,25)は連続するP平滑数のペアですが、(242,243) はそうではありません。    
• q = 5の場合、ペル方程式x ² − 10 y ^{2 = 1 の最初の 3 つの解は (19,6)、(721,228)、および (27379,8658) です。ペル解 (19,6) は連続する}P平滑数のペア(9,10)をもたらしますが、ペル方程式の他の 2 つの解はP平滑数のペアをもたらしません。
• q = 6の場合、ペル方程式x ² − 12 y ^{2 = 1 の最初の 3 つの解は (7,2)、(97,28)、および (1351,390) です。ペル解 (7,2) は、連続する}P平滑数のペア(3,4)につながります。
• q = 10の場合、ペル方程式x ² − 20 y ² = 1 の最初の 3 つの解は (9,2)、(161,36)、および (2889,646) です。ペル解 (9,2) は連続するP平滑数のペア(4,5)につながり、ペル解 (161,36) は連続するP平滑数のペア(80,81)につながります。
• q = 15の場合、ペル方程式x ² − 30 y ^{2 = 1 の最初の 3 つの解は (11,2)、(241,44)、および (5291,966) です。ペル解 (11,2) は、連続する}P平滑数のペア(5,6)につながります。
• q = 30の場合、ペル方程式x ² − 60 y ^{2 = 1 の最初の 3 つの解は (31,4)、(1921,248)、および (119071,15372) です。ペル解 (31,4) は、連続する}P平滑数のペア(15,16)につながります。

ストーマーの元の結果を用いると、 k個の素数の集合に関して滑らかな連続する整数のペアの数は最大で 3 ^k − 2 ^kであることを示すことができる。レーマーの結果は、小さな素数の集合に対してより厳しい上限 (2 ^k − 1) × max(3,( p _k +1)/2) を与える。^{[ 4 ]}      

最初のk個の素数に関して滑らかな連続する整数のペアの数は

1、4、10、23、40、68、108、167、241、345、... （ OEISのシーケンスA002071）。

これらのペアすべてから、各kについて最大の整数は

2、9、81、4375、9801、123201、336141、11859211、... （ OEISの配列A117581）。

OEISには、このタイプのペアのうち、2つの整数のうち大きい方が平方数（ OEISのシーケンスA117582）または三角数（OEISのシーケンスA117583）であるペアの数も記載されています。これは、どちらのタイプのペアも頻繁に発生するためです。

解のサイズも制限できます。xとx +1がP - 滑らかであることが要求される場合、^{[ 5 ]}

${\displaystyle \log(x)<M(2+\log(8S)){\sqrt {2S}}-\log(4),}$

ここで、M = max(3, (max( P ) + 1) / 2)であり、S はPのすべての要素の積であり、滑らかなペアがx ± 1の場合、^{[ 6 ]となります。}

${\displaystyle \log(x-1)<M(2+\log(4S)){\sqrt {S}}-\log(2).}$

ルイ・モルデルはこの結果について、「とても美しいし、多くの応用がある」と述べている。^{[ 7 ]}