コイコライザー

圏論において、コイコライザー（coequalizer ）とは、任意の圏におけるオブジェクトに対する同値関係による商の一般化である。これは、イコライザーの双対的な圏論的構成である。

共等化子は、 2 つのオブジェクトXとYおよび 2 つの平行射f、g  : X → Yで構成される図の共極限です。

より明示的には、平行射fとgの共等化子は、 q ∘ f = q ∘ gとなる射q  : Y → Qを伴うオブジェクトQとして定義できます。さらに、ペア( Q、q )は、他の任意のペア ( Q ′、q ′) が与えられたときに、 u ∘ q = q ′となる唯一の射u  : Q → Q ′が存在するという意味で普遍的でなければなりません。この情報は、次の可換図で表すことができます。

すべての普遍的な構成 と同様に、共等化子は、存在する場合、一意の同型性まで一意です(このため、言語の誤用により、2 つの平行な矢印の「共等化子」について話すことがあります)。

共等化矢印q は任意のカテゴリにおける エピモルフィズムであることが示されます。

• 集合のカテゴリでは、２つの関数f 、 g :  X → Yの共等化子は、任意のx ∈ Xに対してf ( x ) ~ g ( x )が成り立つような最小の同値関係~によるYの商です。^[1]特に、R が集合Y上の同値関係であり、r ₁、r ₂が自然な射影( R ⊂ Y × Y ) → Yである場合、 r ₁とr ₂の共等化子は商集合Y / Rです。 （同値関係による商も参照。）
• 群のカテゴリにおける共等化子も非常によく似ている。ここで、f、g  : X → Yが群準同型である場合、それらの共等化子はYを集合の 正規閉包で割った商である。

  ${\displaystyle S=\{f(x)g(x)^{-1}\mid x\in X\}}$

• アーベル群の場合、コイコライザは特に単純です。これは因子群 Y / im( f – g )だけです。(これは射f – gのコカーネルです。次のセクションを参照してください)。
• 位相空間のカテゴリでは、円オブジェクトS ¹は、標準 0 単体から標準 1 単体への 2 つの包含写像の共等化子として見ることができます。
• 共等化子は大きくなることがあります。1つのオブジェクトと 1 つの恒等矢印を持つカテゴリ1から、2 つのオブジェクトとそれらの間を通る 1 つの非恒等矢印を持つカテゴリ2への関数は、正確に2 つあります。これらの 2 つの関数の共等化子は、1 つのオブジェクトのカテゴリとして考えられる、加算による自然数のモノイドです。特に、これは、共等化矢印はすべてエピックですが、必ずしも射影的ではないことを示しています。

• すべての共等化子はエピモーフィズムです。
• トポスでは、すべてのエピモーフィズムはそのカーネル ペアの共等化子です。

零射を持つカテゴリでは、射 f の余核をfの余等化子と平行零射 として定義できます。

前加法的なカテゴリでは、射を加算したり減算したりすることは理にかなっています ( hom 集合は実際にはアーベル群を形成します)。このようなカテゴリでは、2 つの射fとgの共等化子をそれらの差の共核として定義できます。

coeq( f , g ) = coker( g – f ) です。

より強い概念は絶対共等化子というものであり、これはすべての関手の下で保存される共等化子です。正式には、カテゴリC内の一対の平行矢印f、g  : X → Yの絶対共等化子は、上で定義された共等化子ですが、任意の関手F  : C → Dが与えられた場合、F ( Q ) とF ( q ) を合わせると、カテゴリD内のF ( f ) とF ( g )の共等化子になるという追加のプロパティがあります。分割共等化子は絶対共等化子の例です。

• 副産物
• プッシュアウト

• Mac Lane, Saunders (1998)。Category for the Working Mathematician . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 5 (第 2 版)。Springer -Verlag . ISBN 0-387-98403-8.ZBL0906.18001  。​
  • コイコライザー – 65 ページ
  • 絶対コイコライザー – 149 ページ

• 有限集合のカテゴリにおける共等化子の例を生成するインタラクティブな Web ページ。作者: Jocelyn Paine。