直交対称リー代数

数学において、直交対称リー代数は、実リー代数と位数の自己同型からなり、 1 に対応するの固有空間(つまり、不動点の集合) がコンパクトな部分代数となるようなペアです。「コンパクト性」を省略すると、対称リー代数と呼ばれます。直交対称リー代数は、が の中心と自明に交差する場合に有効であると言われます。実際には、有効性が仮定されることが多く、この記事でもこれを行います。 ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},s)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle s}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

標準的な例は対称空間のリー代数であり、これは対称性の微分です。 ${\displaystyle s}$

を実効直交対称リー代数とし、 を の -1 固有空間を表すものとします。がコンパクトかつ半単純な場合、 はコンパクト型であるといいます。が非コンパクトかつ半単純な場合、 がカルタン分解である場合、 は非コンパクト型です。が のアーベルイデアルである場合、 はユークリッド型であるといいます。 ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},s)}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle ({\mathfrak {g}},s)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {u}}+{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle ({\mathfrak {g}},s)}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle ({\mathfrak {g}},s)}$

すべての有効直交対称リー代数は、それぞれ に対して不変でのキリング形式に関して直交するイデアル、、 の直和に分解され、 、、がそれぞれ 、 、の制限を表す場合、 、、 はユークリッド型、コンパクト型、非コンパクト型の有効直交対称リー代数です。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{+}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle s_{0}}$${\displaystyle s_{-}}$${\displaystyle s_{+}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{+}}$${\displaystyle ({\mathfrak {g}}_{0},s_{0})}$${\displaystyle ({\mathfrak {g}}_{-},s_{-})}$${\displaystyle ({\mathfrak {g}}_{+},s_{+})}$

• ヘルガソン、シグルドゥル (2001)。『微分幾何学、リー群、対称空間』アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-2848-9。