移動平均

統計学において、移動平均（ローリング平均、ランニング平均、移動平均^[1]、ローリング平均）は、データセット全体のさまざまな選択の平均シリーズを作成することによってデータポイントを分析する計算です。バリエーションには、単純、累積、加重形式があります。

数学的には、移動平均は畳み込みの一種です。したがって、信号処理では、ローパス有限 インパルス応答フィルタとして扱われます。ボックスカー関数がフィルタ係数を概説するため、ボックスカーフィルタと呼ばれます。ダウンサンプリングが後に続くこともあります。

一連の数値と固定されたサブセット サイズが与えられた場合、移動平均の最初の要素は、数値シリーズの最初の固定サブセットの平均を取ることによって取得されます。次に、サブセットは「前方にシフト」することによって変更されます。つまり、シリーズの最初の数値を除外し、サブセットの次の値を含めます。

移動平均は、短期的な変動を平滑化し、長期的な傾向やサイクルを強調するために、時系列データでよく使用されます。短期と長期の間のしきい値はアプリケーションによって異なり、移動平均のパラメータはそれに応じて設定されます。また、経済学では、国内総生産、雇用、その他のマクロ経済の時系列を調べるためにも使用されます。時系列以外のデータで使用する場合、移動平均は、通常、何らかの順序付けが暗示されますが、時間との特定の関係なしに、高頻度のコンポーネントをフィルターします。単純に見ると、データを平滑化していると見なすことができます。

金融アプリケーションでは、単純移動平均( SMA ) は、以前のデータ ポイントの加重されていない平均です。ただし、科学と工学では、平均は通常、中心値の両側にある同数のデータから取得されます。これにより、平均の変動が時間的にシフトするのではなく、データの変動と一致するようになります。${\displaystyle k}$単純な均等加重移動平均の例としては、エントリを含むデータセットの最後のエントリの平均があります。これらのデータポイントを とします。これは株式の終値である可能性があります。最後のデータポイント (この例では日数)の平均はと表され、次のように計算されます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\textit {SMA}}_{k}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\textit {SMA}}_{k}&={\frac {p_{n-k+1}+p_{n-k+2}+\cdots +p_{n}}{k}}\\&={\frac {1}{k}}\sum _{i=n-k+1}^{n}p_{i}\end{aligned}}}$$

同じサンプリング幅で次の平均を計算するときは、からまでの範囲が考慮されます。新しい値が合計に含まれ、最も古い値が削除されます。これにより、前の平均を再利用することで計算が簡素化されます。 つまり、移動平均フィルターは、FIFO /循環バッファーと 3 つの演算ステップのみを使用 して、リアルタイム データで非常に安価に計算できます。 ${\displaystyle {\textit {SMA}}_{k,{\text{next}}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n-k+2}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle p_{n+1}}$${\displaystyle p_{n-k+1}}$${\displaystyle {\textit {SMA}}_{k,{\text{prev}}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\textit {SMA}}_{k,{\text{next}}}&={\frac {1}{k}}\sum _{i=n-k+2}^{n+1}p_{i}\\&={\frac {1}{k}}{\Big (}\underbrace {p_{n-k+2}+p_{n-k+3}+\dots +p_{n}+p_{n+1}} _{\sum _{i=n-k+2}^{n+1}p_{i}}+\underbrace {p_{n-k+1}-p_{n-k+1}} _{=0}{\Big )}\\&=\underbrace {{\frac {1}{k}}{\Big (}p_{n-k+1}+p_{n-k+2}+\dots +p_{n}{\Big )}} _{={\textit {SMA}}_{k,{\text{prev}}}}-{\frac {p_{n-k+1}}{k}}+{\frac {p_{n+1}}{k}}\\&={\textit {SMA}}_{k,{\text{prev}}}+{\frac {1}{k}}{\Big (}p_{n+1}-p_{n-k+1}{\Big )}\end{aligned}}}$$

FIFO / 循環バッファの初期充填中は、サンプリング ウィンドウはデータ セット サイズと等しくなり、平均計算は累積移動平均として実行されます。 ${\displaystyle k=n}$

選択する期間 ( ) は、短期、中期、長期など、関心のある動きの種類によって異なります。 ${\displaystyle k}$

使用されるデータが平均値を中心にしていない場合は、単純移動平均は最新のデータからサンプル幅の半分だけ遅れます。また、SMA は古いデータの欠落や新しいデータの流入によって不均衡に影響を受ける可能性があります。SMA の特徴の 1 つは、データに周期的な変動がある場合、その期間の SMA を適用すると、その変動が除去されることです (平均には常に 1 つの完全なサイクルが含まれます)。ただし、完全に規則的なサイクルに遭遇することはめったにありません。^[2]

多くのアプリケーションでは、「過去」のデータのみを使用することで生じるシフトを回避することが有利です。したがって、平均が計算される系列内のポイントの両側に等間隔で配置されたデータを使用して、中央移動平均を計算できます。^[3]これには、サンプルウィンドウ内の奇数個のポイントを使用する必要があります。

SMA の主な欠点は、ウィンドウの長さよりも短い信号の大部分を通過させてしまうことです。さらに悪いことに、実際に信号を反転させてしまいます。^[要出典]これにより、データの谷があった場所に平滑化された結果のピークが現れるなど、予期しないアーティファクトが発生する可能性があります。また、高周波の一部が適切に除去されないため、結果が予想よりも滑らかでなくなることもあります。

その周波数応答は、sinc-in-frequencyと呼ばれるローパス フィルターの一種です。

連続移動平均は次の積分で定義されます。周囲の環境は関数のグラフの平滑化の強度を定義します。 ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle [x_{o}-\varepsilon ,x_{o}+\varepsilon ]}$${\displaystyle x_{o}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}f:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &f\left(x\right)\end{array}}}$

関数の連続移動平均は次のように定義されます。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}MA_{f}:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &\displaystyle {\frac {1}{2\cdot \varepsilon }}\cdot \int _{x_{o}-\varepsilon }^{x_{o}+\varepsilon }f\left(t\right)\,dt\end{array}}}$

が大きいほど、関数のソース グラフ (青) がより滑らかになります。以下のアニメーションは、 のさまざまな値に依存したアニメーションとして移動平均を示しています 。は積分の区間幅である ため、分数が使用されています。${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle {\frac {1}{2\cdot \varepsilon }}}$${\displaystyle 2\cdot \varepsilon }$

• 
  連続移動平均正弦および多項式 - 積分のための小さな間隔での平滑化の視覚化
• 
  連続移動平均正弦および多項式 - 積分のためのより大きな間隔での平滑化の視覚化
• 
  間隔の幅と移動平均による平滑化の影響を示すアニメーション。

累積平均( CA )では、データは順序付けられたデータ ストリームで到着し、ユーザーは現在のデータまでのすべてのデータの平均を取得したいと考えます。たとえば、投資家は、特定の株式について、現在の時刻までのすべての株式取引の平均価格を知りたい場合があります。新しい取引が発生するたびに、その時点までのすべての取引について、累積平均 (通常は現在の時刻までのn 個の値のシーケンスの均等加重平均) を使用して、取引時の平均価格を計算できます。 ${\displaystyle x_{1}.\ldots ,x_{n}}$$${\displaystyle {\textit {CA}}_{n}={{x_{1}+\cdots +x_{n}} \over n}\,.}$$

これを計算する強引な方法は、すべてのデータを保存し、新しいデータが到着するたびに合計を計算し、ポイントの数で割ることです。ただし、次の式を使用して、新しい値が利用可能になる と累積平均を更新するだけで済みます。${\displaystyle x_{n+1}}$$${\displaystyle {\textit {CA}}_{n+1}={{x_{n+1}+n\cdot {\textit {CA}}_{n}} \over {n+1}}.}$$

したがって、新しいデータの現在の累積平均は、前の累積平均にn を掛け、最新のデータを加え、これまでに受信したポイントの数n +1 で割った値に等しくなります。すべてのデータが到着すると ( n = N )、累積平均は最終平均に等しくなります。また、データの累積合計とポイント数を格納し、新しいデータが到着するたびに合計をポイント数で割って CA を取得することもできます。

累積平均の公式の導出は簡単です。 と を同様にn + 1 について用いると、 $${\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{n}=n\cdot {\textit {CA}}_{n}}$$$${\displaystyle x_{n+1}=(x_{1}+\cdots +x_{n+1})-(x_{1}+\cdots +x_{n})}$$ $${\displaystyle x_{n+1}=(n+1)\cdot {\textit {CA}}_{n+1}-n\cdot {\textit {CA}}_{n}}$$

この方程式を解くと、 ${\displaystyle {\textit {CA}}_{n+1}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\textit {CA}}_{n+1}&={x_{n+1}+n\cdot {\textit {CA}}_{n} \over {n+1}}\\[6pt]&={x_{n+1}+(n+1-1)\cdot {\textit {CA}}_{n} \over {n+1}}\\[6pt]&={(n+1)\cdot {\textit {CA}}_{n}+x_{n+1}-{\textit {CA}}_{n} \over {n+1}}\\[6pt]&={{\textit {CA}}_{n}}+{{x_{n+1}-{\textit {CA}}_{n}} \over {n+1}}\end{aligned}}}$$

加重平均は、サンプル ウィンドウ内の異なる位置にあるデータに異なる重みを与える乗算係数を持つ平均です。数学的には、加重移動平均は、固定の重み関数によるデータの畳み込みです。1 つの用途は、デジタル グラフィック イメージからピクセル化を除去することです。 ^{[引用が必要]}

金融分野、より具体的には金融データの分析において、加重移動平均（WMA）は等差数列で減少する重みという特別な意味を持ちます。^[4] n日間のWMAでは、最新の日はnの重みを持ち、2番目に新しい日は、というように1まで重みが減ります。 ${\displaystyle n-1}$

$${\displaystyle {\text{WMA}}_{M}={np_{M}+(n-1)p_{M-1}+\cdots +2p_{((M-n)+2)}+p_{((M-n)+1)} \over n+(n-1)+\cdots +2+1}}$$

分母は、に等しい三角数です。より一般的なケースでは、分母は常に個々の重みの合計になります。 ${\textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}.}$

連続する値にわたってWMAを計算する場合、との分子の差はです。 合計を と表すと、 ${\displaystyle {\text{WMA}}_{M+1}}$${\displaystyle {\text{WMA}}_{M}}$${\displaystyle np_{M+1}-p_{M}-\dots -p_{M-n+1}}$${\displaystyle p_{M}+\dots +p_{M-n+1}}$${\displaystyle {\text{Total}}_{M}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Total}}_{M+1}&={\text{Total}}_{M}+p_{M+1}-p_{M-n+1}\\[3pt]{\text{Numerator}}_{M+1}&={\text{Numerator}}_{M}+np_{M+1}-{\text{Total}}_{M}\\[3pt]{\text{WMA}}_{M+1}&={{\text{Numerator}}_{M+1} \over n+(n-1)+\cdots +2+1}\end{aligned}}}$$

右側のグラフは、最新のデータの最高重みからゼロまで重みがどのように減少するかを示しています。これは、後続の指数移動平均の重みと比較できます。

指数移動平均（EMA）は指数加重移動平均（EWMA）とも呼ばれ、^[5]指数的に減少する重み係数を適用する一次無限インパルス応答フィルタです。古いデータに対する重みは指数的に減少し、ゼロになることはありません。この定式化はハンター（1986）に基づいています。^[6]

他の加重システムが時々使用されます。たとえば、株式取引では、取引量加重により、各期間が取引量に比例して加重されます。

アクチュアリーが使用するさらなる加重は、スペンサーの15ポイント移動平均^{[7] （中心移動平均）である。その対称加重係数は[−3、−6、−5、3、21、46、67、74、67、46、21、3、−5、−6、−3]であり、}次のように係数される。[1, 1, 1, 1]×[1, 1, 1, 1]×[1, 1, 1, 1, 1]×[−3, 3, 4, 3, −3]/320⁠そして、2次または3次多項式のサンプルは変更されません。^{[8] [9]}

金融の世界以外では、加重平均にはさまざまな形式と用途があります。各加重関数または「カーネル」には独自の特性があります。工学および科学では、フィルターの周波数応答と位相応答は、特定のフィルターがデータに適用する望ましい歪みと望ましくない歪みを理解する上で、多くの場合、最も重要です。

平均値は単にデータを「平滑化」するだけではありません。平均値はローパス フィルターの一種です。適切な選択を行うには、使用する特定のフィルターの効果を理解する必要があります。この点について、この記事のフランス語版では、3 種類の平均値 (累積平均値、指数平均値、ガウス平均値) のスペクトル効果について説明しています。

統計的な観点から見ると、移動平均は時系列の根本的な傾向を推定するために使用する場合、急激なショックやその他の異常などのまれなイベントの影響を受けやすい。傾向をより確実に推定するには、n時点 の単純移動中央値を使用する。 ここで、中央値は、たとえば括弧内の値を並べ替えて中央の値を見つけることによって求められる。nの値が大きい場合、中央値はインデックス可能なスキップリストを更新することで効率的に計算できる。^[10]$${\displaystyle {\widetilde {p}}_{\text{SM}}={\text{Median}}(p_{M},p_{M-1},\ldots ,p_{M-n+1})}$$

統計的には、トレンドの変動が正規分布している場合、移動平均は時系列の根本的なトレンドを回復するのに最適です。しかし、正規分布はトレンドからの非常に大きな偏差に高い確率を置かないため、そのような偏差はトレンドの推定に不釣り合いに大きな影響を及ぼします。代わりに変動がラプラス分布であると仮定すると、移動中央値が統計的に最適であることが示されています。^[11]与えられた分散に対して、ラプラス分布は正規分布よりもまれなイベントに高い確率を置きます。そのため、移動中央値は移動平均よりもショックに耐性があります。

上記の単純移動中央値が中心である場合、平滑化は、画像信号処理などに応用されている中央値フィルタと同一です。移動中央値は、時系列の根本的な傾向を推定する場合、移動平均よりも堅牢な代替手段です。移動平均は、傾向の周りの変動が正規分布している場合に傾向を回復するのに最適ですが、急激なショックや異常などのまれなイベントの影響を受けやすくなります。対照的に、時間ウィンドウ内の値を並べ替えて中央の値を見つけることによって求められる移動中央値は、そのようなまれなイベントの影響をより受けにくくなります。これは、特定の分散に対して、移動中央値が想定するラプラス分布は、移動平均が想定する正規分布よりもまれなイベントの確率が高くなるためです。その結果、移動中央値は、時系列が傾向からの大きな偏差の影響を受ける場合でも、根本的な傾向のより信頼性が高く安定した推定値を提供します。さらに、移動メディアン平滑化はメディアン フィルターと同一であり、画像信号処理でさまざまな用途に使用されます。

移動平均回帰モデルでは、対象変数は観測されていない独立した誤差項の加重移動平均であると想定され、移動平均の重みが推定されるパラメータとなります。

これら 2 つの概念は、名前のせいで混同されることがよくありますが、多くの類似点がある一方で、異なる方法を表し、非常に異なるコンテキストで使用されます。

ウィキメディア・コモンズには、移動平均に関連するメディアがあります。

• 指数平滑法
• ローカル回帰（LOESS および LOWESS）
• カーネルスムージング
• 移動平均収束/発散指標
• マーチンゲール（確率論）
• 移動平均クロスオーバー
• 移動最小二乗法
• 上昇移動平均
• ローリングハッシュ
• 合計
• サビツキー・ゴレイフィルタ
• ウィンドウ関数
• ゼロラグ指数移動平均