単項式

数学において、単項式とは、大まかに言えば、項が1つしかない多項式のことである。単項式には、次の2つの定義が見られる。

1. 単項式は、べき積または原始単項式とも呼ばれ、^{[ 1 ]}非負の整数指数を持つ変数のべき乗の積、言い換えれば、変数の積であり、重複する場合もある。^{[ 2 ]}例えば、${\displaystyle x^{2}yz^{3}=xxyzzz}$は単項式です。定数${\displaystyle 1}$は原始単項式であり、空積と等しく、${\displaystyle x^{0}}$任意の変数${\displaystyle x}$単一の変数のみの場合${\displaystyle x}$単項式は、${\displaystyle 1}$または権力${\displaystyle x^{n}}$の${\displaystyle x}$、 と${\displaystyle n}$正の整数。複数の変数を考慮する場合、例えば、${\displaystyle x,y,z,}$すると、それぞれに指数を与えることができ、任意の単項式は次の形式になります。${\displaystyle x^{a}y^{b}z^{c}}$と${\displaystyle a,b,c}$非負整数（任意の指数に注意）${\displaystyle 0}$対応する係数を等しくする${\displaystyle 1}$)
2. 第一の意味での単項式は、その単項式の係数と呼ばれるゼロでない定数を掛け合わせたものです。 ^{[ 1 ]}原始単項式は、係数が である第二の意味での単項式の特殊なケースです。${\displaystyle 1}$例えば、この解釈では、${\displaystyle -7x^{5}}$そして${\displaystyle (3-4i)x^{4}yz^{13}}$は単項式です（2 番目の例では、変数は${\displaystyle x,y,z,}$そして係数は複素数である）。

ローラン多項式およびローラン級数の文脈では、単項式の指数は負になる可能性があり、ピュイズー級数の文脈では、指数は有理数になる可能性があります。

数学解析では、シフト変数を用いて記述された多項式を考えるのが一般的である。${\displaystyle {\bar {x}}=xc}$ある定数に対して${\displaystyle c}$変数ではなく${\displaystyle x}$単独で、テイラー級数の研究のように。^{[ 3 ] [ 4 ]}表記を少し乱用すると、シフトされた変数の単項式、例えば${\displaystyle 2{\bar {x}}^{3}=2(xc)^{3},}$シフトされた単項式または中心化された単項式の意味で単項式と呼ばれることがある。${\displaystyle c}$中心または​${\displaystyle -c}$シフトです。

「monomial」という単語も「polynomial」という単語も、後期ラテン語の「binomium」（二項式）に由来し、接頭辞「bi-」（ラテ​​ン語で2）を変えることで、理論的には単項式は「mononomial」と呼ばれるべきである。「Monomial」は「mononomial」のハプロロジーによる音節脱落である。^{[ 5 ]}

どちらの定義を用いても、単項式の集合は、乗法に関して閉じているすべての多項式のサブセットである。

この概念のどちらの用法も見られ、多くの場合、その区別は単に無視されます。例えば、最初の意味^{[ 6 ]}と2番目の意味^{[ 7 ]}の例を参照してください。非公式な議論では、この区別はめったに重要ではなく、より広い2番目の意味に向かう傾向があります。しかし、多項式の構造を研究する場合、最初の意味を持つ概念が確実に必要になることがよくあります。これは、たとえば、多項式環の単項式基底、またはその基底の単項式順序を考える場合です。最初の意味を支持する議論は、これらの値を指定するための明らかな他の概念が利用できないことですが、原始単項式は使用されており、定数の不在を明確にしています。^{[ 1 ]}

この記事の残りの部分では、「単項式」という言葉を最初の意味で解釈する。

単項式（第一の意味）に関する最も明白な事実は、任意の多項式がそれらの線形結合であるということです^{[ 8 ] [ 9 ]}。したがって、それらはすべての多項式のベクトル空間の基底を形成し、単項式基底と呼ばれます。これは数学において常に暗黙のうちに使用されている事実です。^{[ 10 ]}

次数が の単項式の数${\displaystyle d}$で${\displaystyle n}$変数は、${\displaystyle d}$要素の中から選択された${\displaystyle n}$変数（変数は複数回選択できますが、順序は関係ありません）は、多重集合係数によって与えられます。${\textstyle \left(\!\!{\binom {n}{d}}\!\!\right)}$この式は、二項係数の形式、多項式として表すこともできます。${\displaystyle d}$または、上昇階乗を使用して${\displaystyle d+1}$:

${\displaystyle \left(\!\!{\binom {n}{d}}\!\!\right)={\binom {n+d-1}{d}}={\binom {d+(n-1)}{n-1}}={\frac {(d+1)\times (d+2)\times \cdots \times (d+n-1)}{1\times 2\times \cdots \times (n-1)}}={\frac {1}{(n-1)!}}(d+1)^{\overline {n-1}}.}$

後者の形式は、変数の数を固定し、次数を変化させる場合に特に有用である。これらの式から、固定されたnに対して、次数dの単項式の数は、次の多項式で表されることがわかる。${\displaystyle d}$学位${\displaystyle n-1}$先頭係数付き${\textstyle {\frac {1}{(n-1)!}}}$。

例えば、3 つの変数の単項式の数 (${\displaystyle n=3}$次数dの )は${\textstyle {\frac {1}{2}}(d+1)^{\overline {2}}={\frac {1}{2}}(d+1)(d+2)}$これらの数字は、1、3、6、10、15、...という三角数の数列を形成します。

ヒルベルト級数は、与えられた次数を持つ単項式の数を簡潔に表現する方法です。次数 の単項式の数は、${\displaystyle d}$で${\displaystyle n}$変数は次数係数です${\displaystyle d}$形式的冪級数展開の

$\displaystyle {\frac {1}{(1-t)^{n}}}.}$

n 個の変数における次数が最大dの単項式の数は${\textstyle {\binom {n+d}{n}}={\binom {n+d}{d}}}$これは、次数 の単項式間の 1 対 1 対応から導かれる。${\displaystyle d}$で${\displaystyle n+1}$変数と次数が最大で の単項式${\displaystyle d}$で${\displaystyle n}$変数とは、余分な変数を1で置き換えることを指します。

多重インデックス表記は、特に変数が2つまたは3つ以上ある場合に、簡潔な表記に便利なことが多いです。使用されている変数が次のようなインデックス付きファミリーを形成している場合${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,}$設定できる

${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ),}$

そして

${\displaystyle \alpha =(a,b,c,\ldots ).}$

次に単項式

${\displaystyle x_{1}^{a}x_{2}^{b}x_{3}^{c}\cdots }$

簡潔に記述すると次のようになる

${\displaystyle x^{\alpha }.}$

この表記法を用いると、2つの単項式の積は指数ベクトルの加算によって簡単に表すことができます。

${\displaystyle x^{\alpha }x^{\beta }=x^{\alpha +\beta }.}$

単項式の次数は、変数のすべての指数の合計として定義されます。指数なしで現れる変数については、暗黙の指数である 1 も含まれます。たとえば、前のセクションの例では、次数は次のようになります。${\displaystyle a+b+c}$. の程度${\displaystyle xyz^{2}}$1+1+2=4 です。ゼロでない定数の次数は 0 です。たとえば、−7 の次数は 0 です。^{[ 11 ]}

単項式の次数は、主に級数の文脈において、位数と呼ばれることがあります。また、いずれかの変数の次数と区別する必要がある場合は、全次数とも呼ばれます。

単項式の次数は、一変数および多変数多項式の理論において基礎となる概念です。具体的には、多項式の次数や同次多項式の概念を定義する際、また、グレブナー基底の定式化や計算に用いられる次数付き単項式の順序付けに用いられます。さらに、複数の変数におけるテイラー級数の項をグループ化する際にも用いられます。

代数幾何学では、単項式方程式によって定義される多様体${\displaystyle x^{\alpha }=0}$α の集合によっては、特別な均質性を持つことがあります。これは代数群の言葉で言えば、代数トーラスの群作用（対角行列の乗法群による作用と同等）の存在という形で表現できます。この分野はトーラス埋め込みという名称で研究されています。

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