ハンセンの問題

三角法において、ハンセンの問題は平面測量の問題であり、デンマークの測地測量に携わった天文学者ピーター・アンドレアス・ハンセン(1795–1874) にちなんで名付けられました。既知の 2 つの点A 、 Bと、未知の 2 つの点P ₁、P ₂があります。観測者はP ₁とP ₂から、他の 3 つの点それぞれに対する視線のなす角度を測定します。問題は、P ₁とP ₂の位置を見つけることです。図を参照してください。測定された角度は ( α ₁、β ₁、α ₂、β ₂ )です。

この問題は、未知の点における角度の観察を伴うため、交差ではなく切除の例となります。

次の角度を定義します。 まず、φとψを解きます。この2つの未知の角度の合計は、 β ₁とβ ₂の合計に等しく、次の式が得られます。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\gamma &=\angle P_{1}AP_{2},&\quad \delta &=\angle P_{1}BP_{2},\\[4pt]\phi &=\angle P_{2}AB,&\quad \psi &=\angle P_{1}BA.\end{alignedat}}}$$

$${\displaystyle \phi +\psi =\beta _{1}+\beta _{2}.}$$

2番目の方程式は、次のように、より手間のかかる方法で求める ことができる。正弦定理は、

$${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {P_{2}B}}}={\frac {\sin \alpha _{2}}{\sin \phi }},\qquad { \frac {\overline {P_{2}B}}{\overline {P_{1}P_{2}}}}={\frac {\sin \beta _{1}}{\sin \デルタ }}。}$$

これらを組み合わせると、

$${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {P_{1}P_{2}}}}={\frac {\sin \alpha _{2}\sin \beta _{1}} {\sin \phi \sin \delta }}.}$$

反対側で全く同様の推論をすると、

$${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {P_{1}P_{2}}}}={\frac {\sin \alpha _{1}\sin \beta _{2}} {\sin \psi \sin \gamma }}.}$$

これら2つを等しくすると

$${\displaystyle {\frac {\sin \phi }{\sin \psi }}={\frac {\sin \gamma \sin \alpha _{2}\sin \beta _{1}}{\sin \delta \sin \alpha _{1}\sin \beta _{2}}}=k.}$$

既知の三角関数の恒等式を使用すると、この正弦比は角度差の正接として表すことができます。

${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}(\phi -\psi )={\frac {k-1}{k+1}}\tan {\tfrac {1}{2}}( \phi +\psi ).}$

どこ${\displaystyle k={\frac {\sin \phi }{\sin \psi }}.}$

これは必要な2番目の方程式です。2つの未知数φ、 ψについて2つの方程式を解くと、 ABがわかっているので、上記の2つの式のいずれかを使用して⁠ ⁠を見つけることができます。その後、正弦定理を使用して他のすべての線分を見つけることができます。^[1]${\displaystyle {\tfrac {\overline {AB}}{\overline {P_{1}P_{2}}}}}$${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$

4 つの角度( α ₁、  β ₁、  α ₂、  β ₂ )と距離ABが与えられます。計算は次のように進行します。

• 計算する$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\pi -\alpha _{1}-\beta _{1}-\beta _{2},\\\delta &=\pi -\alpha _{2}-\beta _{1}-\beta _{2}.\end{aligned}}}$$
• 計算する$${\displaystyle k={\frac {\sin \gamma \sin \alpha _{2}\sin \beta _{1}}{\sin \delta \sin \alpha _{1}\sin \beta _{2 }}}.}$$
• そしてそれから$${\displaystyle s=\beta _{1}+\beta _{2},\quad d=2\arctan \left({\frac {k-1}{k+1}}\tan {\tfrac {1}{2}}s\right)}$$$${\displaystyle \phi ={\frac {s+d}{2}},\quad \psi ={\frac {sd}{2}}.}$$

計算するか、同等の方法で、これらの分数の 1 つの分母がゼロに近い場合は、もう 1 つを使用します。 $${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}={\overline {AB}}\ {\frac {\sin \phi \sin \delta }{\sin \alpha _{2}\sin \beta _{1}}}}$$$${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}={\overline {AB}}\ {\frac {\sin \psi \sin \gamma }{\sin \alpha _{1}\sin \beta _{2}}}.}$$

^{Venturaら[2]}は、ベクトル幾何代数と等角幾何代数を介して問題を解くアルゴリズムを提示するだけでなく、以前の方法をレビューし、さまざまな方法の計算速度と測定誤差に対する感度を比較しています。

• 三角形を解く
• スネルの問題