索引付きファミリー

数学において、族、またはインデックス付き族とは、それぞれがインデックスと呼ばれる要素に関連付けられ、何らかのインデックス集合に属するオブジェクトの集合のことである。

例えば、整数の集合によってインデックス付けされた実数の族は、与えられた関数が各整数に対して1つの実数（同じ場合もある）をインデックスとして選択する実数の集合である。

より厳密に言えば、インデックス付き族とは、定義域を持つ数学関数のことである。${\displaystyle I}$そして画像${\displaystyle X}$（つまり、インデックス付きファミリーと数学関数は技術的には同一であり、単に視点が異なるだけです。）多くの場合、集合の要素は${\displaystyle X}$はファミリーを構成する要素と呼ばれます。この観点では、インデックス付きファミリーは関数ではなく、インデックス付き要素の集合として解釈されます。${\displaystyle I}$は族のインデックス集合と呼ばれ、${\displaystyle X}$はインデックス付きセットです。

数列は自然数でインデックス付けされたファミリーの一種です。一般に、インデックスセットは${\displaystyle I}$可算集合である必要はない。例えば、実数によって添え字付けられた自然数の部分集合の非可算集合族を考えることができる。

させて${\displaystyle I}$そして${\displaystyle X}$セットである。${\displaystyle X}$インデックス${\displaystyle I}$、と表記される${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$、は関数です${\displaystyle f:I\to X}$そのため $${\displaystyle f(i)=x_{i}}$$ すべての人々のために${\displaystyle i\in I}$[ ^{1 ]}要素^​${\displaystyle x_{i}}$インデックスの用語として知られています${\displaystyle i}$異なる括弧を使用した表記法、例:${\displaystyle \{x_{i}\}_{i\in I}}$も有効です。

関数とインデックス付き族は形式的に同等である。なぜなら、どの関数も${\displaystyle f}$ドメイン付き${\displaystyle I}$家族を誘発する${\displaystyle (f(i))_{i\in I}}$そしてその逆もまた然り。（関数における「マッピング」と、インデックス付きファミリーにおける「インデックス付け」という用語は同義である。）ファミリーの要素であることは、対応する関数のレンジ内にあることと同義である。ただし実際には、ファミリーは関数ではなく、集合として扱われる。

どのセットでも${\displaystyle X}$家族を生み出す${\displaystyle \left(x_{t}\right)_{t\in X},}$どこ${\displaystyle X}$自身によってインデックス付けされる（つまり、${\displaystyle f}$は恒等関数です。ただし、ファミリーはセットとは異なり、同じオブジェクトが異なるインデックスで複数回出現する可能性がありますが、セットは異なるオブジェクトの集合です。ファミリーには、対応する関数が単射である場合に限り、任意の要素がちょうど1回含まれます。

索引付きファミリー${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$セットを定義する${\displaystyle {\mathcal {X}}=\{x_{i}:i\in I\},}$つまり、${\displaystyle I}$下${\displaystyle f.}$マッピング以来${\displaystyle f}$単射である必要はなく、存在する可能性がある${\displaystyle i,j\in I}$と${\displaystyle i\neq j}$そのため${\displaystyle x_{i}=x_{j}.}$したがって、${\displaystyle |{\mathcal {X}}|\leq |I|}$、 どこ${\displaystyle |A|}$集合の濃度を表す${\displaystyle A.}$例えば、シーケンス${\displaystyle \left((-1)^{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$自然数でインデックス付け${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}}$画像セットがあります${\displaystyle \left\{(-1)^{i}:i\in \mathbb {N} \right\}=\{-1,1\}.}$さらに、セット${\displaystyle \{x_{i}:i\in I\}}$構造物に関する情報は含まれていません${\displaystyle I.}$したがって、ファミリーの代わりにセットを使用すると、一部の情報が失われる可能性があります。たとえば、ファミリーのインデックスセットに対する順序付けは、ファミリーに対する順序付けを誘導しますが、対応するイメージセットに対する順序付けは誘導しません。

インデックスセットは、合計やその他の同様の演算でよく使用されます。たとえば、${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}}$は添え字付きの数の族であり、それらの数の合計は で表される。 $${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}.}$$

いつ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$は集合の族であり、それらの集合の 和集合は で表される。$$\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}.}$$

交差とデカルト積についても同様です。

圏論におけるこれに相当する概念は「図式」と呼ばれる。図式とは、ある圏Cにおいて、別の圏Jによって添え字付けされた、添え字付きの対象の族を生み出す関手であり、 2 つの添え字に依存する射によって関連付けられている。

• 配列データ型– 要素（値または変数）の順序付きコレクションを表すデータ型。リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 共積– 圏論的構成 
• 図（圏論）– 圏における対象と射のインデックス付き集合 
• 互いに素な和集合– 数学において、集合に対する演算 
• 集合の族– 集合の任意の集まり、または集合の部分集合 
• インデックス表記法– 配列またはテンソルの要素を参照する方法 
• ネット（数学）– 点列の一般化 
• パラメトリックファミリー
• シーケンス– 有限または無限の順序付き要素リスト 
• タグ付きユニオン– 強制ケースを備えたユニオンデータ構造 

• 日本数学会『数学百科事典』第2版、全2巻、伊藤清（編）、MIT Press、ケンブリッジ、マサチューセッツ州、1993年。EDM（巻）と略記。