サニャック効果

リング干渉計における干渉縞のずれは、リングの回転によって光が進む距離が 異なることの結果として直感的に理解できる。(図3) ^{[ 32 ]}最も単純な導出は、半径R、屈折率1の円形リングが角速度で回転する場合である。${\displaystyle \omega }$しかし、この結果は他の形状のループ形状にも一般的に当てはまります。光源が回転リング上の1点から両方向に光を放射する場合、回転方向と同じ方向に進む光は、光源の後ろから追いつくまでにリングの1周以上進む必要があります。$t1$光源に追いつくのに必要な時間は、次式で与えられる。

${\displaystyle t_{1}={\frac {2\pi R+\Delta L}{c}}}$

${\displaystyle \Delta L}$ 図3の太い黒矢印は、鏡が同じ時間内に移動した距離を示しています。

${\displaystyle \Delta L=R\omega t_{1}.\,}$

排除する${\displaystyle \Delta L}$上記の2つの式から、次の式が得られます。

${\displaystyle t_{1}={\frac {2\pi R}{cR\omega }}.}$

同様に、回転方向とは逆方向に進む光は、光源の前面に到達するまでに円周1つ分よりも短い距離しか進みません。したがって、この方向の光が再び移動する光源に到達するまでの時間は次のようになります。

${\displaystyle t_{2}={\frac {2\pi R}{c+R\omega }}.}$

時差は

${\displaystyle \Delta t=t_{1}-t_{2}={\frac {4\pi R^{2}\omega }{c^{2}-R^{2}\omega ^{2}}}.}$

のために${\displaystyle R\omega =v\ll c}$これは、

${\displaystyle \Delta t\approx {\frac {4\pi R^{2}\omega }{c^{2}}}={\frac {4A\omega }{c^{2}}},}$

ここでAはリングの面積である。

この単純な導出は屈折率が1の円形リングに関するものですが、結果は面積Aの任意の形状の回転ループにも当てはまります（図4）。  

より複雑な形状や、その他の屈折率値の場合、フェルマーの原理を用いて各方向の光位相シフトを計算し、慣性実験室系における異なる伝搬方向の異なる位相速度を考慮に入れることで、同じ結果が得られます。これは、相対論的速度加算を用いて計算できます。^{[ 33 ]}

干渉縞を見るためのスクリーンを光源に置いたと想像します（または、ビームスプリッターを使用して光源からスクリーンに光を送ります）。一定の光源の場合、干渉縞はスクリーン上に形成され、そのずれは、2つの逆回転するビームが回路を通過するのに必要な時間差に比例します。位相シフトは${\displaystyle \Delta \phi ={\frac {2\pi c\,\Delta t}{\lambda }}}$干渉縞は、${\displaystyle A}$そして${\displaystyle \omega }$。

非相対論的速度では、サニャック効果は光速の光源独立性の単純な結果である。言い換えれば、サニャック実験は相対論以前の物理学と相対論的物理学を区別しない。^{[ 32 ]}

光ファイバーケーブル内を光が伝搬する場合、その仕組みは実質的にサニャックの実験とフィゾーの実験を組み合わせたものと言えます。ガラス中では光速は真空中よりも遅く、光ファイバーケーブルが移動媒体となります。この場合、相対論的な速度加算則が適用されます。相対論以前の光伝搬理論では、フィゾー効果を説明することはできません。（1900年までにローレンツはフィゾー効果を説明できるようになりましたが、その頃には彼の理論は特殊相対性理論と数学的に等価な形にまで発展していました。）

発光体と検出器が同じ速度で移動しているため、ドップラー効果は相殺され、サニャック効果にはドップラー効果は関与しません。リングレーザー干渉計の場合、この点に注意することが重要です。リングレーザー装置が回転すると、逆方向に伝搬するビームは逆方向に周波数シフトを起こします。この周波数シフトはドップラーシフトではなく、リングレーザーで後述するように、光共振器の共鳴効果です。

サニャック効果は特殊相対性理論の文脈でよく理解されており、回転する光源の観点から見ると、位相差は光路に沿った同時線が時空内で閉じたループを形成しないことに起因する。^{[ 34 ]}

光源が（必ずしも円形ではない）光路に沿って移動できるようにした、実験の改良版が提案されている^{[ 35 ]}。この構成では、位相差が生じる別の理由が生じる。光源によって、2つの信号が空間内で異なる経路をたどることになる。一部の著者はこの効果をサニャック効果と呼んでいる^{[ 31 ] [ 36 ]}が、この場合、不一致は同時線が閉じたループを形成しないことによるものではない。

改良された構成の一例を図 5 に示す。 左側に示す標準的な光ファイバージャイロスコープと右側に示す改良型光ファイバーコンベアの両方で測定された位相差は、光速一定を前提とした式 Δ t  =  2 vL / c ²に従う。この式から明らかなように、ファイバーがコンベアの回転部分にあるか直線部分にあるかに関わらず、全体の時間遅延はファイバー全長に沿った累積時間遅延に等しい。

しかし、光源の空間における経路が光信号の経路に従わない場合、例えば標準的な回転プラットフォーム（FOG）の場合で非円形の光路の場合、この式は無効になります。この場合、ストークスの定理により、位相差の式には必然的に光路で囲まれた面積が含まれます。^{[ 34 ]}

図4に示すように、 2つの逆方向に伝搬する光ビームが光ファイバーのループによって決まる共通の光路を共有するリング干渉計を考えます。ループの形状は任意であり、空間内で自由に移動できます。唯一の制約は、ループが伸びてはいけないということです。（自由空間で中心軸を中心に回転する円形リング干渉計の場合、ファイバーの屈折率を1とすることで再現できます。）

繊維のごく小さな部分を考えてみましょう。その静止座標系での長さは${\displaystyle d\ell '}$時間間隔、${\displaystyle dt'_{\pm }}$静止系において、左方向と右方向の光線がセグメントを通過するのにかかる時間は一致し、次式で与えられる。$${\displaystyle dt'_{\pm }={n \over c}d\ell '}$$させて${\textstyle d\ell =|d\mathbf {x} |}$実験室系におけるこの小さなセグメントの長さをとする。相対論的長さ収縮の公式により、${\textstyle d\ell '=\gamma d\ell \approx d\ell }$速度に関して一次の精度で正しい${\displaystyle \mathbf {v} }$セグメントの時間間隔。${\displaystyle dt_{\pm }}$実験室座標系におけるセグメントの移動は、ローレンツ変換によって次のように与えられる。$${\displaystyle dt_{\pm }=\gamma \left(dt'\pm {\frac {\mathbf {v} \cdot d\mathbf {x} '}{c^{2}}}\right)\approx {\frac {n}{c}}d\ell \pm {\frac {\mathbf {v} }{c^{2}}}\cdot d\mathbf {x} }$$速度に関して一次の精度で正しい${\displaystyle \mathbf {v} }$一般的に、2 つのビームは特定のセグメントをわずかに異なるタイミングで通過しますが、伸縮がない場合、長さは${\textstyle d\ell }$両方の梁で同じです。

したがって、2つのビームが1サイクルを完了するのにかかる時間の差は次のようになる。$${\displaystyle \Delta T=\int \left(dt_{+}-dt_{-}\right)\approx {\frac {2}{c^{2}}}\oint \mathbf {v} \cdot d\mathbf {x} }$$驚くべきことに、時間差は屈折率に依存しない。${\displaystyle n}$そして、光ファイバー内の光の速度。

光源に干渉縞を見るためのスクリーンを配置することを想像してください（あるいは、ビームスプリッターを使用して光源からスクリーンに光を送ってもよい）。一定の光源の場合、干渉縞はスクリーン上に形成され、そのずれは次の式で与えられます。 ${\textstyle \Delta \phi \approx {\frac {2\pi c}{\lambda }}\Delta T}$ ここで、最初の要素は光の周波数です。これにより、一般化されたサニャックの公式が得られます^{[ 37 ]。}$${\displaystyle \Delta \phi \approx {\frac {4\pi }{\lambda c}}\oint \mathbf {v} \cdot d\mathbf {x} }$$繊維が角周波数で剛体のように動く特殊な場合${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$速度は${\textstyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {x} }$そして、線積分はループの面積を用いて計算することができる。$${\displaystyle \oint \mathbf {v} \cdot d\mathbf {x} =\oint {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} =\oint {\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {x} \times d\mathbf {x} =2\oint {\boldsymbol {\omega }}\cdot d\mathbf {A} =2{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {A} }$$これにより、任意の形状と幾何学的構造を持つリング干渉計に対するサニャックの公式が得られる。$${\displaystyle \Delta \phi \approx {\frac {8\pi }{\lambda c}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {A} }$$伸縮も考慮に入れると、フィゾー干渉の公式が再現される。^{[ 37 ]}

サニャック効果は、現在の技術で利用されています。その用途の一つが慣性誘導システムです。リングレーザージャイロスコープは回転に非常に敏感であり、慣性誘導システムが正確な結果を得るためには、回転を考慮する必要があります。リングレーザーは恒星日も検出でき、これは「モード1」とも呼ばれます。

GPS、GLONASS、COMPASS、Galileoなどの全地球航法衛星システム（GNSS）は、時計を同期するために無線信号を使用する手順において、地球の自転を考慮に入れる必要がある。^{[ 40 ]}

光ファイバー式ジャイロスコープは、「受動型リング干渉計」と呼ばれることもあります。受動型リング干渉計は、外部から入射する光を利用します。得られる干渉パターンは縞模様であり、測定されるのは位相シフトです。

また、全く異なる構成に基づいた、自己完結型のリング干渉計を構築することも可能です。これはリングレーザー、あるいはリングレーザージャイロスコープと呼ばれます。光は、光路にレーザー励起を組み込むことによって生成され、維持されます。

リングレーザー共振器内で何が起こるかを理解するには、連続的に光を生成するレーザー装置におけるレーザープロセスの物理について議論することが役立ちます。レーザー励起が開始されると、共振器内の分子は光子を放出しますが、分子は熱速度を持つため、レーザー共振器内の光は最初は速度の統計的分布に対応する様々な周波数範囲になります。誘導放出のプロセスにより、ある周波数が他の周波数を急速に凌駕し、その後、光はほぼ単色光になります。

簡略化のため、放出されるすべての光子はリングに平行な方向に放出されると仮定します。図 7 は、リング レーザーの回転による影響を示しています。線形レーザーでは、波長の整数倍がレーザー共振器の長さに相当します。これは、レーザー光が往復する際に、その周波数の整数倍のサイクルを経ることを意味します。リング レーザーの場合も同様で、レーザー光の周波数のサイクル数はどちらの方向でも同じです。リング レーザー装置が回転している場合でも、この両方向で同じサイクル数という性質は維持されます。図は、伝搬の両方向でサイクル数が同じになるように波長シフト（したがって周波数シフト）が発生することを示しています。

2 つのレーザー光の周波数を干渉させることで、ビート周波数が得られます。ビート周波数は、2 つの周波数の差です。このビート周波数は、時間における干渉パターンと考えることができます。（より一般的な干渉計の干渉縞は空間パターンです。）このビート周波数の周期は、慣性空間に対するリングレーザーの角速度に線形的に比例します。これが、現代の慣性航法システムで広く使用されているリングレーザージャイロスコープの原理です。リングレーザージャイロスコープは、地球の自転を示す一般相対性理論効果の検出のための基礎物理学研究にも使用されています^{[ 41 ] [ 42 ]}。この場合、重要な要件は機器の感度です。^{[ 43 ] [ 44 ]}

ゼロ点校正

受動型リング干渉計では、干渉縞の変位は角度位置の1階微分に比例するため、リング干渉計の角速度がゼロとなる干渉縞の変位を決定するには、慎重な校正が必要です。一方、リングレーザー干渉計は、角速度がゼロとなる出力を決定するための校正を必要としません。リングレーザー干渉計は自己校正機能を備えています。リングレーザー装置が慣性空間に対して回転していない場合に限り、ビート周波数はゼロになります。

図 8は、リングレーザー干渉計の自己校正を可能にする物理的特性を示しています。灰色の点は、レーザー共振器内の共振器として機能する分子を表しています。リング共振器のどの部分においても、光速は両方向で同じです。リングレーザー装置が回転すると、その背景に対して回転します。言い換えれば、光速の不変性が、リングレーザー干渉計の自己校正特性の基準となるのです。

光ファイバージャイロ（FOG）とリングレーザージャイロ（RLG）はどちらも、閉じた光路を時計回りと反時計回りに進む光線の伝搬時間の差を監視することで動作します。しかし、コスト、信頼性、サイズ、重量、消費電力、その他の性能特性において大きく異なるため、特定の用途向けにこれらの異なる技術を評価する際には、これらの点を考慮する必要があります。

RLGは、精密な機械加工、精密ミラーの使用、クリーンルーム環境下での組み立てを必要とします。機械的なディザリングアセンブリによって重量が多少増加しますが、それほど大きな増加ではありません。RLG は、室温に近い条件下で10万時間以上の動作を記録することができます。 そのレーザーは比較的高い電力を必要とします。^{[ 45 ]}

干渉計型 FOG は完全に固体であり、機械的なディザリング コンポーネントを必要とせず、精密加工も不要で、柔軟な形状を持ち、非常に小型にすることができます。通信業界の標準コンポーネントを多数使用しています。さらに、FOG の主要な光学コンポーネントは通信業界で実績があり、寿命は数十年に及びます。^{[ 46 ]}ただし、複数の光学コンポーネントを精密ジャイロ機器に組み立てるにはコストがかかります。アナログ FOG は可能な限り低コストですが、性能が制限されます。デジタル FOG は、厳しいアプリケーションに必要な広いダイナミック レンジと正確なスケール ファクター補正を提供します。^{[ 47 ]}より長く大きなコイルを使用すると、温度変化や振動に対する感度が高くなりますが、感度が高くなります。

サニャック位相は、実際には1886年にマイケルソンによって初めて記述されました^{[ 48 ]。}彼はフィゾーの実験の再現において、この干渉計の等反射型を使用しました^{[ 49 ]}。マイケルソンは、この形式の干渉計によって生成される干渉縞の極めて高い安定性に注目しました。ミラーを合わせるとすぐに白色光の干渉縞が観測されました。二光路干渉計では、2つの光路長を数マイクロメートル以内（白色光のコヒーレンス長）に一致させる必要があるため、白色光の干渉縞を得ることは困難です。しかし、サニャック構成は共通光路干渉計であるため、本質的に2つの光路長が一致します。同様に、マイケルソンは、光路の下に点火したマッチを持っていても干渉縞のパターンが安定していることを観察しました。ほとんどの干渉計では、マッチの上にある暖かい空気による屈折率の変動により、干渉縞が大きくずれてしまいます。サニャック干渉計は、ミラーやビームスプリッターの変位に対してほとんど感度がありません。^{[ 50 ]}このサニャックトポロジーの特性により、非常に高い安定性が求められる用途で使用されています。

サニャック干渉計における回転による干渉縞のずれは、光路の囲まれた面積に比例する大きさを持ち、この面積は回転軸との関係で指定する必要がある。したがって、ループが反対方向（時計回りまたは反時計回り）に巻かれると、ループの面積の符号が反転する。そのため、両方向にループを含む光路の正味面積は、時計回りループと反時計回りループの面積の差によって決まる。2つの等しく反対方向のループの特殊なケースは、面積ゼロのサニャック干渉計と呼ばれる。その結果、回転に影響されないサニャックトポロジーの安定性を示す干渉計が得られる。^{[ 51 ]}

レーザー干渉計重力波観測所（LIGO）は、2基の4kmマイケルソン・ファブリ・ペロー干渉計で構成され、ビームスプリッターにおけるレーザー出力は約100ワットであった。Advanced LIGOへのアップグレード後は、数キロワットのレーザー出力が必要となる。

Advanced LIGO を超える第 3 世代の強化に向けて、さまざまな競合する光学システムが検討されています。^{[ 52 ]}これらの競合する提案の 1 つは、ゼロ面積サニャック設計に基づいています。同じ面積で反対方向の 2 つのループで構成される光路により、実効面積がゼロになり、通常の意味でのサニャック効果が打ち消されます。この構成は、低周波ミラーのドリフト、レーザー周波数の変動、アーム間の反射率の不均衡、および熱誘起複屈折には鈍感ですが、それでも天文学的に関心のある周波数の通過重力波には敏感です。 ^{[ 51 ]}しかし、光学システムの選択には多くの考慮事項が関係しており、ゼロ面積サニャックが特定の分野で優れているにもかかわらず、第 3 世代 LIGO の光学システムの選択についてはまだ合意が得られていません。^{[ 53 ] [ 54 ]}