輸送定理

輸送定理（または輸送方程式、変化率輸送定理、基本運動方程式、またはエドモンド・ブールにちなんで名付けられたブールの公式）は、非回転座標系で評価されたユークリッドベクトルの時間微分と、回転座標系で評価されたその時間微分を関連付けるベクトル方程式です。古典力学、解析力学、およびさまざまな工学分野で重要な応用があります。ユークリッドベクトルは、測定される座標系に依存しない、空間内の特定の大きさと方向を表します。しかし、このようなベクトルの時間微分を取る場合、実際には、2つの異なる時刻tとt+dtで測定された 2 つのベクトルの差を取ることになります。回転座標系では、これらの 2 つの時刻で座標軸の方向が異なる場合があり、定数ベクトルでも時間微分がゼロにならないことがあります。その結果、回転座標系で測定されたベクトルの時間微分は、非回転座標系での同じベクトルの時間微分と異なる場合があります。例えば、地球に固定された座標系（回転参照系）を使用して評価された飛行機の速度ベクトルは、空間に固定された座標系を使用して評価された速度とは異なります。輸送定理は、回転座標系と非回転座標系の間のベクトルの時間微分を関連付ける方法を提供し、回転参照系でより詳細に導出および説明され、次のように記述できます。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {f}}=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]{\boldsymbol {f}}\ .}$$

ここで、fは非回転座標系と回転座標系の両方で時間微分が評価されるベクトルです。添え字rは回転座標系における時間微分を表し、ベクトルΩは回転座標系の角速度です。

輸送定理は、回転座標系と非回転座標系間の速度ベクトルと加速度ベクトルを関連付けるのに特に役立ちます。^{[ 4 ]}

参考文献^{[ 2 ]}には、「古典力学における重要性や工学における遍在的な応用にもかかわらず、オイラー微分変換公式には普遍的に受け入れられている名称はない[...]運動学的定理、輸送定理、輸送方程式など、いくつかの用語が使用されている。これらの用語は、用語的には正しいものの、流体力学の分野では、まったく異なる物理概念を指すためによく使われる。」とある。このような異なる物理概念の一例として、レイノルズ輸送定理がある。

させて${\displaystyle {\boldsymbol {b}}_{i}:=T_{B}^{E}{\boldsymbol {e}}_{i}}$を基底ベクトルとする${\displaystyle B}$基準座標系から見た場合${\displaystyle E}$、はベクトルの成分を表す。${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$で${\displaystyle B}$単に${\displaystyle f_{i}}$。 させて

${\displaystyle G:=T'\cdot T^{-1}}$

この座標変換は、時間的に、次のように生成される。${\displaystyle T'=G\cdot T}$このような生成微分方程式は、リー群理論における軌道にとって重要である。暗黙の総和規約を用いた積の規則を適用すると、

${\displaystyle {\boldsymbol {f}}'=(f_{i}{\boldsymbol {b}}_{i})'=(f_{i}T)'{\boldsymbol {e}}_{i}=(f_{i}'T+f_{i}G\cdot T)\,{\boldsymbol {e}}_{i}=(f_{i}'+f_{i}G)\,{\boldsymbol {b}}_{i}=\left(\left({\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{B}+G\right){\boldsymbol {f}}}$

回転グループの場合${\displaystyle {\mathrm {SO} }(n)}$1つは${\displaystyle T_{E}^{B}:=(T_{B}^{E})^{-1}=(T_{B}^{E})^{T}}$3次元では、${\displaystyle n=3}$発電機${\displaystyle G}$すると、左からの外積演算に等しくなり、歪対称な線形写像となる。${\displaystyle [{\boldsymbol {\Omega }}_{E}]_{\times }{\boldsymbol {g}}:={\boldsymbol {\Omega }}_{E}\times {\boldsymbol {g}}}$任意のベクトルに対して${\displaystyle {\boldsymbol {g}}}$行列として、それはベクトルとも関連している。${\displaystyle B}$経由

${\displaystyle [{\boldsymbol {\Omega }}_{E}]_{\times }=[T_{B}^{E}{\boldsymbol {\Omega }}_{B}]_{\times }=T_{B}^{E}\cdot [{\boldsymbol {\Omega }}_{B}]_{\times }\cdot T_{E}^{B}}$