非心カイ分布

非中心カイ

パラメータ	${\displaystyle k>0\,}$自由度 ${\displaystyle \lambda >0\,}$
サポート	${\displaystyle x\in [0;+\infty )\,}$
PDF	${\displaystyle {\frac {e^{-(x^{2}+\lambda ^{2})/2}x^{k}\lambda }{(\lambda x)^{k/2}}}I_{k/2-1}(\lambda x)}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle 1-Q_{\frac {k}{2}}\left(\lambda ,x\right)}$Marcum Q関数付き ${\displaystyle Q_{M}(a,b)}$
平均	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}L_{1/2}^{(k/2-1)}\left({\frac {-\lambda ^{2}}{2}}\right)\,}$
分散	${\displaystyle k+\lambda ^{2}-\mu ^{2}}$平均はどこにあるか${\displaystyle \mu }$

確率論と統計学において、非心カイ分布^[1]はカイ分布の非心一般化であり、一般化レイリー分布としても知られています。

がk個の独立した、平均と分散を持つ正規分布するランダム変数である場合、統計量は ${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \mu _{i}}$${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$

${\displaystyle Z={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

は非心カイ分布に従って分布します。非心カイ分布には 2 つのパラメータがあります。これは自由度の数(つまり の数) を指定し、これはランダム変数の平均と次の式で関連しています。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle X_{i}}$

${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

確率密度関数（pdf）は

${\displaystyle f(x;k,\lambda )={\frac {e^{-(x^{2}+\lambda ^{2})/2}x^{k}\lambda }{(\lambda x)^{k/2}}}I_{k/2-1}(\lambda x)}$

ここで、は第一種 修正ベッセル関数です。${\displaystyle I_{\nu }(z)}$

最初のいくつかの生々しい瞬間は次のとおりです。

${\displaystyle \mu _{1}^{'}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}L_{1/2}^{(k/2-1)}\left({\frac {-\lambda ^{2}}{2}}\right)}$

${\displaystyle \mu _{2}^{'}=k+\lambda ^{2}}$

${\displaystyle \mu _{3}^{'}=3{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}L_{3/2}^{(k/2-1)}\left({\frac {-\lambda ^{2}}{2}}\right)}$

${\displaystyle \mu _{4}^{'}=(k+\lambda ^{2})^{2}+2(k+2\lambda ^{2})}$

ここで、 はラゲール関数です。2 番目のモーメントは、がに置き換えられた非心カイ 2 乗分布の 番目のモーメントと同じであることに注意してください。 ${\displaystyle L_{n}^{(a)}(z)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda ^{2}}$

を、周辺分布、相関、平均ベクトル、共分散行列を持つn個の独立かつ同一分布の2変量正規乱数ベクトルの集合とする。${\displaystyle X_{j}=(X_{1j},X_{2j}),j=1,2,\dots n}$${\displaystyle N(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),i=1,2}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle E(X_{j})=\mu =(\mu _{1},\mu _{2})^{T},\qquad \Sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}^{2}&\rho \sigma _{1}\sigma _{2}\\\rho \sigma _{1}\sigma _{2}&\sigma _{2}^{2}\end{bmatrix}},}$

正定値で定義する ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle U=\left[\sum _{j=1}^{n}{\frac {X_{1j}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}\right]^{1/2},\qquad V=\left[\sum _{j=1}^{n}{\frac {X_{2j}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}\right]^{1/2}.}$

すると、 U、Vの結合分布は、自由度n の中心または非中心二変量カイ分布となる。^{[2] [3]}分布の いずれかまたは両方が非中心二変量カイ分布である 場合。${\displaystyle \mu _{1}\neq 0}$${\displaystyle \mu _{2}\neq 0}$

• が非心カイ分布に従うランダム変数である場合、ランダム変数は非心カイ二乗分布に従います。その他の関連する分布もそこに見られます。${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{2}}$
• がカイ分布である場合、は非心カイ分布でもあります。つまり、カイ分布は非心カイ分布の特殊なケースです (つまり、非心パラメータが 0 の場合)。${\displaystyle X}$${\displaystyle X\sim \chi _{k}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\sim NC\chi _{k}(0)}$
• 自由度が 2 の非心カイ分布は、自由度が のRice 分布と同等です。${\displaystyle \sigma =1}$
• X が自由度 1 と非心パラメータ λ を持つ非心カイ分布に従う場合、σ X は、任意の σ の値に対してパラメータが σλ と σ ²に等しい折り畳み正規分布に従います。