ライエ構成

幾何学において、ライ配置はテオドール・ライ (1882)によって導入され、 12個の点と 16本の直線の配置である。配置の各点は 4 本の直線に属し、各直線には 3 個の点が含まれる。したがって、配置の表記法では、ライ配置は12 ₄ 16 ₃と表記される。

ライ配置は、直線を立方体の 12 辺と 4 本の長い対角線、点を立方体の 8 つの頂点、中心、および 4 つの平行な立方体の辺のグループが無限遠平面と交わる 3 つの点とすることで、3 次元の射影空間で実現できます。2 つの正四面体を立方体に内接させて、星八面体を形成することができます。この 2 つの四面体は、4 つの異なる方法で互いの透視図形であり、配置の他の 4 つの点は、それらの透視中心です。これらの 2 つの四面体は、残りの 4 点の四面体とともに、 3 つの四面体のデスミック システムを形成します。

3 次元空間にある、半径の異なる 2 つの互いに交わらない球には、2 つの 二重接円錐があり、その頂点は相似中心と呼ばれます。中心が同一直線上にない 3 つの球が与えられた場合、その 6 つの相似中心は完全な四辺形の 6 つの点を形成し、その 4 つの線は相似軸と呼ばれます。また、中心が同一平面上にない 4 つの球が与えられた場合、12 の相似中心と 16 の相似軸が決定され、これらが一緒になってライ配置の例を形成します (Hilbert & Cohn-Vossen 1952)。

ライ配置は、三点透視図法で三次元配置を描くことによって、ユークリッド平面上の点と線によって実現することもできます。実射影平面上の 8 つの点とそれらを結ぶ 12 本の線からなる 8 ₃ 12 _{2配置は、立方体の接続パターンで、8 つの点が}平行六面体の透視投影である場合に限り、ライ配置を形成するように拡張できます(Servatius & Servatius 2010)

24 個の点の順列は、4 次元ユークリッド空間の原点を中心とする24 セル の頂点を形成します。これらの 24 個の点は、ルート システム内の 24 個のルートも形成します。これらは、原点を通る線上で互いに反対側にある点のペアにグループ化できます。12 本の軸線は、24 セルの同じ中心平面にある 16 個の 3 つにグループ化できます。各中心平面は、正六角形の形で 6 つの頂点と交差します。24 セルの各頂点では、4 つの六角形が交差します。24 セルの 12 個の軸線と 16 個の六角形平面は、ライ構成の 12 個の点と 16 個の線に対応します (Aravind 2000)。 ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0,0)}$ ${\displaystyle D_{4}}$

4 次元ユークリッド空間の原点を通る直線と平面は、3 次元射影空間の点と直線の幾何学を持ち、この 3 次元射影空間では、これら 24 点の相対するペアを通る直線と、これらの点を通る中心平面が、ライ配置の点と直線になります (Manivel 2006)。 の順列は、この配置の 12 点の 同次座標を形成します。${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0,0)}$

アラヴィンド（2000）は、ライ構成が量子力学における隠れた変数の非存在に関する ベル・コッヘン・スペッカー定理のいくつかの証明の基礎となっていることを指摘した。

パプス配置は、デスミック四面体を含むライ配置の解釈と同様に、3 つの異なる方法で互いの透視図となる 2 つの三角形から形成されます。

ライ配置が 3 次元空間の立方体から形成される場合、立方体の 6 つの面の平面と、立方体の反対の辺のペアを通る 6 つの平面の、それぞれ 4 本の線を含む 12 の平面があります。これらの 12 の平面と 16 本の線を一般的な位置にある別の平面と交差させると、ライ配置の双対である 16 ₃ 12 ₄配置が生成されます。元のライ配置とその双対を合わせると、28 ₄ 28 ₄構成になります (Grünbaum & Rigby 1990)。

_{タイプ 12 4} 16 ₃には 574 種類の異なる構成があります(Betten & Betten 2005)。

• Aravind, PK (2000)、「ライの構成がベル・コッヘン・スペッカー定理の証明にどのように役立つか：興味深い幾何学的物語」（PDF）、Foundations of Physics Letters、13（6）：499–519、doi：10.1023/A：1007863413622、MR  1814009
• ベルガー、マルセル（2010）、Geometry revealed、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、doi：10.1007 / 978-3-540-70997-8、ISBN 978-3-540-70996-1、MR  2724440
• Betten, Anton; Betten, Dieter (2005)、「正則線形空間についての詳細」(PDF)、Journal of Combinatorial Designs、13 (6): 441–461、doi :10.1002/jcd.20055、MR  2221852。
• グリュンバウム、ブランコ; リグビー、JF (1990)、「実構成 (21 ₄ )」、ロンドン数学会誌、第 2 シリーズ、41 (2): 336–346、doi :10.1112/jlms/s2-41.2.336、MR  1067273。
• ヒルベルト、デイヴィッド、コーン＝フォッセン、ステファン（1952）、「22. ライの構成」、幾何学と想像力（第2版）、ニューヨーク：チェルシー、pp. 134-143、ISBN 978-0-8284-1087-8154～157ページも参照。
• マニベル、L. (2006)、「直線の構成とリー代数のモデル」、代数ジャーナル、304 (1): 457–486、arXiv : math/0507118、doi :10.1016/j.jalgebra.2006.04.029、MR  2256401特にセクション2.1「ライの構成と三元性」、460～461ページを参照。
• レイ、Th. (1882)、「Das 問題の構成」、Acta Mathematica (ドイツ語)、1 (1): 93–96、doi : 10.1007/BF02391837、MR  1554576。
• ブリギット・セルバティウス; Servatius, Herman (2010)、「一般化された Reeye 構成」、Ars Mathematica Contemporanea、3 (1): 21–27、doi : 10.26493/1855-3974.108.423、MR  2592512。