時間の可逆性

時間状態のシーケンスが逆転したときにプロセスのダイナミクスが明確に定義されたままである場合、 数学的または物理的なプロセスは時間可逆的です。

決定論的プロセスは、時間反転されたプロセスが元のプロセスと同じ動的方程式を満たす場合、つまり、方程式が時間の符号の変化に対して不変または対称である場合、時間反転可能です。確率論的プロセスは、プロセスの統計的特性が、同じプロセスの時間反転データの統計的特性と同じである場合、可逆的です。

数学では、力学系が時間可逆であるとは、順方向の発展が1 対 1であり、すべての状態に対して、任意の 1 つの状態の時間逆方向の発展と別の対応する状態の順方向の発展との間の 1 対 1 のマッピングを与える変換 (反転) πが存在する場合であり、これは演算子方程式で与えられます。

${\displaystyle U_{-t}=\pi \,U_{t}\,\pi }$

したがって、ダイナミクスによって生じる時間に依存しない構造（たとえば、臨界点やアトラクター）は、自己対称であるか、反転 π の下で対称的なイメージを持つ必要があります。

物理学では、古典力学の運動法則は、演算子 π がシステムのすべての粒子の共役運動量を逆転させる限り、時間の可逆性を示します( T 対称性)。 ${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {-p} }$

しかし、量子力学システムでは、弱い核力はT 対称性のみでは不変ではありません。弱い相互作用が存在する場合、可逆的なダイナミクスは依然として可能ですが、演算子 π がすべての電荷の符号と空間座標のパリティも反転する場合に限られます ( C 対称性とP 対称性)。いくつかの関連した特性のこの可逆性は、CPT 対称性として知られています。

熱力学過程は、過程中のエントロピーの変化に応じて、可逆的または不可逆的となる。ただし、熱力学過程の基礎となる基本法則はすべて時間可逆的であることに注意する（運動の古典的法則と電気力学の法則）^[1]。つまり、微視的レベルでは、すべての粒子とすべての自由度を追跡すると、多体系過程はすべて可逆的である。しかし、そのような分析は人間（または人工知能）の能力を超えており、多体系の巨視的特性（エントロピーや温度など）は、集団の統計からのみ定義される。熱力学におけるそのような巨視的特性について話すとき、特定のケースでは、統計レベルでこれらの量の時間発展の不可逆性を見ることができる。実際、熱力学の第二法則は、宇宙全体のエントロピーが減少してはならないと規定していますが、それはその確率がゼロだからではなく、あらゆる実際的な考慮において統計的に不可能であるほどその可能性が低いためです（クルックスのゆらぎ定理を参照）。

確率過程は、順方向と逆方向の状態シーケンスの結合確率が、すべての時間増分セット{  τs  }（s ₌ 1, ...,  k 、任意のkについて）に対して同じである場合、時間可逆的である。^[2]

${\displaystyle p(x_{t},x_{t+\tau _{1}},x_{t+\tau _{2}},\ldots ,x_{t+\tau _{k}})=p(x_{t'},x_{t'-\tau _{1}},x_{t'-\tau _{2}},\ldots ,x_{t'-\tau _{k}})}$。

一変量定常ガウス過程は時間可逆である。マルコフ過程は、定常分布が詳細バランスの特性を持つ場合にのみ可逆である。

${\displaystyle p(x_{t}=i,x_{t+1}=j)=\,p(x_{t}=j,x_{t+1}=i)}$。

コルモゴロフの基準は、マルコフ連鎖または連続時間マルコフ連鎖が時間可逆である ための条件を定義します。

確率過程の多くのクラスの時間反転が研究されており、その中にはレヴィ過程^[3]、 確率ネットワーク（ケリーの補題^[4] ）、誕生・消滅過程^[5] 、マルコフ連鎖^{[6] 、}区分決定論的マルコフ過程^[7]などがある。

時間反転法は波動方程式の線形相反性に基づいて機能します。これは、標準的な波動方程式には未知の変数の導関数のみが含まれるため、波動方程式の時間反転解は波動方程式の解でもあるというものです。 ^[8]したがって、波動方程式は時間反転に対して対称であるため、有効な解の時間反転も解になります。これは、波が空間を通過する経路は、どちらの方向に移動しても有効であることを意味します。

時間反転信号処理^[9]は、この特性を利用して受信信号を反転させるプロセスです。この信号は再放射され、時間圧縮が発生し、結果として初期ソースで再生される初期励起波形が反転されます。

• T対称性
• 記憶喪失
• マルコフ特性
• 可逆コンピューティング

• Isham, V. (1991)「確率的現象のモデリング」。確率理論とモデリング、Hinkley, DV.、Reid, N.、Snell , EJ (編)。Chapman and Hall。ISBN 978-0-412-30590-0。 
• トン、H. (1990)非線形時系列: 動的システムアプローチ。オックスフォード大学出版。ISBN 0-19-852300-9