誕生から死までの過程

出生死亡過程（または生死過程）は、状態遷移が2種類だけである、連続時間マルコフ過程の特殊なケースである。状態変数を1増やす「出生」と状態を1減らす「死亡」である。このモデルはウィリアム・フェラーによって導入された。^[1] このモデルの名前は、遷移が文字通りの出生と死亡である現在の人口規模を表すためにこのようなモデルを使用するという一般的な応用に由来している。出生死亡過程は、人口統計学、待ち行列理論、パフォーマンスエンジニアリング、疫学、生物学などの分野で多くの応用がある。たとえば、細菌の進化、人口内の疾病患者の数、スーパーマーケットで列に並んでいる顧客の数などを 研究するために使用できる。

出生が発生すると、プロセスは状態nから状態n + 1に移行します 。死亡が発生すると、プロセスは状態nから状態 n  − 1 に移行します。プロセスは、正の出生率と正の死亡率によって指定されます。時間におけるプロセス内の個体数は で示されます。プロセスはマルコフ特性を持ち、時間の経過に伴う変化を説明します。 が小さい場合、関数は次の特性を満たすものと想定されます。 ${\displaystyle \{\lambda _{i}\}_{i=0\dots \infty}}$${\displaystyle \{\mu _{i}\}_{i=1\dots \infty }}$${\displaystyle t}$${\displaystyle X(t)}$${\displaystyle P_{i,j}(t)={\mathsf {P}}\{X(t+s)=j|X(s)=i\}}$${\displaystyle X(t)}$${\displaystyle \triangle t>0}$${\displaystyle P_{i,j}(\triangle t)}$

${\displaystyle P_{i,i+1}(\triangle t)=\lambda _{i}\triangle t+o(\triangle t),\quad i\geq 0,}$

${\displaystyle P_{i,i-1}(\triangle t)=\mu _{i}\triangle t+o(\triangle t),\quad i\geq 1,}$

${\displaystyle P_{i,i}(\triangle t)=1-(\lambda _{i}+\mu _{i})\triangle t+o(\triangle t),\quad i\geq 1.}$

このプロセスは次の図で表されます。プロセスの状態 (つまり、集団内の個体数) は円で示され、状態間の遷移は矢印で示されます。

マルコフ過程における再帰性と一時性については、マルコフ連鎖のセクション5.3を参照してください。

再発と一過性の条件はサミュエル・カーリンとジェームズ・マクレガーによって確立された。^[2]

誕生と死のプロセスが反復的であるのは、

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\素晴らしい。}$

誕生と死のプロセスがエルゴード的であるのは、

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty \quad {\text{and}}\quad \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\lambda _{n-1}}{\mu _{n}}}}}\infty .}$

誕生と死のプロセスが帰無回帰となるのは、

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty \quad {\text{and}}\quad \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\lambda _{n-1}}{\mu _{n}}}=\infty .}$

拡張ベルトラン検定（比検定のセクション4.1.4を参照）を使用することで、再帰性、一時性、エルゴード性、および帰無再帰性の条件をより明確な形で導くことができる。^[3]

整数 について、は自然対数の番目の反復を表します。つまり、 であり、任意の について、 です。 ${\displaystyle K\geq 1,}$${\displaystyle \ln _{(K)}(x)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \ln _{(1)}(x)=\ln(x)}$${\displaystyle 2\leq k\leq K}$${\displaystyle \ln _{(k)}(x)=\ln _{(k-1)}(\ln(x))}$

そして、生死の過程の繰り返しと無常の条件は次のようになります。

誕生と死のプロセスは、すべての${\displaystyle c>1,}$ ${\displaystyle K\geq 1}$${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle n>n_{0}}$

${\displaystyle {\frac {\lambda _{n}}{\mu _{n}}}\geq 1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{j=1}^{k}\ln _{(j)}(n)}}+{\frac {c}{n\prod _{j=1}^{K}\ln _{(j)}(n)}},}$

ここで、 の空の合計は0 であると仮定されます。 ${\displaystyle K=1}$

誕生と死のプロセスは、すべての${\displaystyle K\geq 1}$${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle n>n_{0}}$

${\displaystyle {\frac {\lambda _{n}}{\mu _{n}}}\leq 1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{K}{\frac {1}{\prod _{j=1}^{k}\ln _{(j)}(n)}}.}$

より広範な種類の誕生と死のプロセスについては、再発と一時性の条件を確立できるものが、以下に記載されている。^[4]

次のように定義される1 次元 ランダム ウォーク を考えます。 、 が値を取り、 の分布が次の条件で定義されるとします。 ${\displaystyle S_{t},\ t=0,1,\ldots ,}$${\displaystyle S_{0}=1}$${\displaystyle S_{t}=S_{t-1}+e_{t},\ t\geq 1,}$${\displaystyle e_{t}}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle S_{t}}$

${\displaystyle {\mathsf {P}}\{S_{t+1}=S_{t}+1|S_{t}>0\}={\frac {1}{2}}+{\frac {\alpha _{S_{t}}}{S_{t}}},\quad {\mathsf {P}}\{S_{t+1}=S_{t}-1|S_{t}>0\}={\frac {1}{2}}-{\frac {\alpha _{S_{t}}}{S_{t}}},\quad {\mathsf {P}}\{S_{t+1}=1|S_{t}=0\}=1,}$

ここで条件を満たします。 ${\displaystyle \alpha _{n}}$${\displaystyle 0<\alpha _{n}<\min\{C,n/2\},C>0}$

ここで説明するランダムウォークは、出生率を伴う 出生と死亡のプロセス（マルコフ連鎖を参照）の離散時間類似物である。

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {\alpha _{n}}{n}},}$

そして死亡率

${\displaystyle \mu _{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {\alpha _{n}}{n}}}$。

したがって、ランダムウォークの繰り返しまたは一時性は、誕生と死のプロセスの繰り返しまたは一時性と関連している。^[3]

ランダムウォークが過渡的であるとは、 および が存在し、すべての${\displaystyle c>1}$${\displaystyle K\geq 1}$${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle n>n_{0}}$

${\displaystyle \alpha _{n}\geq {\frac {1}{4}}\left(1+\sum _{k=1}^{K-1}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{\ln _{(j)}(n)}}+c\prod _{j=1}^{K}{\frac {1}{\ln _{(j)}(n)}}\right),}$

ここで、 の空の合計はゼロであると仮定されます。 ${\displaystyle K=1}$

ランダムウォークは、すべての${\displaystyle K\geq 1}$${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle n>n_{0}}$

${\displaystyle \alpha _{n}\leq {\frac {1}{4}}\left(1+\sum _{k=1}^{K}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{\ln _{(j)}(n)}}\right).}$

誕生と死のプロセスがエルゴード的である場合、定常状態の確率が存在し、これは誕生と死のプロセスが時刻 の状態にある確率です。限界は初期値とは無関係に存在し、次の関係式で計算されます。 ${\displaystyle \pi _{k}=\lim _{t\to \infty }p_{k}(t),}$${\displaystyle p_{k}(t)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle t.}$${\displaystyle p_{k}(0),}$

${\displaystyle \pi _{k}=\pi _{0}\prod _{i=1}^{k}{\frac {\lambda _{i-1}}{\mu _{i}}},\quad k=1,2,\ldots ,}$

${\displaystyle \pi _{0}={\frac {1}{1+\sum _{k=1}^{\infty }\prod _{i=1}^{k}{\frac {\lambda _{i-1}}{\mu _{i}}}}}.}$

これらの限界確率は、次の無限微分方程式系から得られる。${\displaystyle p_{k}(t):}$

${\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=\mu _{1}p_{1}(t)-\lambda _{0}p_{0}(t)\,}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda _{k-1}p_{k-1}(t)+\mu _{k+1}p_{k+1}(t)-(\lambda _{k}+\mu _{k})p_{k}(t),k=1,2,\ldots ,\,}$

そして初期条件${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}(t)=1.}$

次に、最後の微分方程式系は、短時間 におけるシステムのダイナミクスを記述する差分方程式系から導出されます。この短時間の間に考えられる遷移の種類は、1 つの死亡、1 つの誕生、または誕生も死亡もないという 3 つだけです。これらの遷移の最初の 2 つの確率の順序はです。この短時間の間隔中に発生する他の遷移、たとえば2 つ以上の誕生、2 つ以上の死亡、または少なくとも 1 つの誕生と少なくとも 1 つの死亡は、よりも小さい順序の確率を持つため 、導出では無視できます。システムが状態kにある場合、間隔中の誕生の確率は、死亡の確率は、誕生も死亡もない確率は です。人口プロセスの場合、「誕生」は人口サイズが 1増加する方向への遷移であり、「死亡」は人口サイズが 1 減少する方向への遷移です。 ${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle \lambda _{k}\Delta t+o(\Delta t)}$${\displaystyle \mu _{k}\Delta t+o(\Delta t)}$${\displaystyle 1-\lambda _{k}\Delta t-\mu _{k}\Delta t+o(\Delta t)}$

純粋な誕生過程とは、すべての に対してとなる誕生-死滅過程です。 ${\displaystyle \mu _{i}=0}$${\displaystyle i\geq 0}$

純粋死の過程は、すべての に対してとなる誕生-死の過程です。 ${\displaystyle \lambda _{i}=0}$${\displaystyle i\geq 0}$

M/M/1 モデルとM/M/c モデルはどちらも待ち行列理論で使用され、無限の待ち行列内の顧客を説明するために使用される誕生-死亡プロセスです。

出生・死亡プロセスは系統発生の事前分布として系統動態学で使用され、系統発生とは、出生イベントが木の枝に対応し、死亡イベントが葉のノードに対応する二分木を指します。^{[5]特に、出生・死亡プロセスはウイルス系統動態学[6]}で使用され、感染プロセスや感染者数が時間とともにどのように変化するかを理解します。^[7]

系統動態学における一般化された出生死亡プロセスの使用は、出生率と死亡率がデータからどの程度特定できるかという研究を刺激した。^[8]モデルは一般に特定不可能であるが、典型的に使用されるモデルのサブセットは特定可能である。^[9]

待ち行列理論では、誕生と消滅のプロセスは、待ち行列モデルの最も基本的な例であり、M/M/C/K/ /FIFO${\displaystyle \infty }$ (完全なケンドール記法) 待ち行列です。これは、無限の集団から抽出されたポアソン到着を持つ待ち行列で、指数分布のサービス時間を持つC 個のサーバーと、待ち行列内のK 個の場所があります。無限の集団を前提としているにもかかわらず、このモデルはさまざまな通信システムに適したモデルです。

M /M/1は、バッファ サイズが無限の単一サーバ キューです。非ランダム環境では、キュー モデルにおける誕生と消滅のプロセスは長期平均になる傾向があるため、平均到着率は、平均サービス時間は と表されます。誕生と消滅のプロセスは、次の場合に M/M/1 キューとなります。 ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle 1/\mu }$

${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda {\text{ and }}\mu _{i}=\mu {\text{ for all }}i.\,}$

システムが時刻tに状態kにある確率の微分方程式は、

${\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=\mu p_{1}(t)-\lambda p_{0}(t),\,}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +\mu )p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=1,2,\ldots \,}$

純粋な誕生過程は、M/M/1 待ち行列過程の特殊なケースです。次のような微分方程式系があります。 ${\displaystyle \lambda _{k}\equiv \lambda }$

${\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=-\lambda p_{0}(t),\,}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)-\lambda p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=1,2,\ldots \,}$

初期条件およびの下では、システムの解は ${\displaystyle p_{0}(0)=1}$${\displaystyle p_{k}(0)=0,\ k=1,2,\ldots }$

${\displaystyle p_{k}(t)={\frac {(\lambda t)^{k}}{k!}}\mathrm {e} ^{-\lambda t}.}$

つまり、（同次）ポアソン過程は純粋な生成過程です。

M/M/C は、 C台のサーバーと無限のバッファーを 備えたマルチサーバー キューです。次の生成および消滅パラメータによって特徴付けられます。

${\displaystyle \mu _{i}=i\mu \quad {\text{ for }}i\leq C-1,\,}$

そして

${\displaystyle \mu _{i}=C\mu \quad {\text{ for }}i\geq C,\,}$

と

${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda \quad {\text{ for all }}i.\,}$

この場合の微分方程式系は次の形式になります。

${\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=\mu p_{1}(t)-\lambda p_{0}(t),\,}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+(k+1)\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +k\mu )p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=1,2,\ldots ,C-1,\,}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+C\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +C\mu )p_{k}(t)\quad {\text{for }}k\geq C.\,}$

純粋な死の過程は、M/M/C 待ち行列過程の特殊なケースです。次のような微分方程式系があります。 ${\displaystyle \mu _{k}=k\mu }$

${\displaystyle p_{C}^{\prime }(t)=-C\mu p_{C}(t),\,}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=(k+1)\mu p_{k+1}(t)-k\mu p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=0,1,\ldots ,C-1.\,}$

初期条件との下では、解は次のようになる。 ${\displaystyle p_{C}(0)=1}$${\displaystyle p_{k}(0)=0,\ k=0,1,\ldots ,C-1,}$

${\displaystyle p_{k}(t)={\binom {C}{k}}\mathrm {e} ^{-k\mu t}\left(1-\mathrm {e} ^{-\mu t}\right)^{C-k},}$

時間パラメータに応じて二項分布のバージョンを提示します（二項過程を参照）。 ${\displaystyle t}$

M/M/1/K キューは、サイズKのバッファを持つ単一サーバー キューです。このキューは、通信だけでなく、集団に容量制限がある場合の生物学にも応用されています。通信では、M/M/1 キューのパラメータを次のように使用します。

${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda \quad {\text{ for }}0\leq i<K,\,}$

${\displaystyle \lambda _{i}=0\quad {\text{ for }}i\geq K,\,}$

${\displaystyle \mu _{i}=\mu \quad {\text{ for }}1\leq i\leq K.\,}$

生物学、特に細菌の増殖においては、個体数がゼロになると増殖能力がなくなるため、

${\displaystyle \lambda _{0}=0.\,}$

さらに、その容量が人口過剰により個体が死亡する限界を表している場合、

${\displaystyle \mu _{K}=0.\,}$

システムが時刻tに状態kにある確率の微分方程式は、

${\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=\mu p_{1}(t)-\lambda p_{0}(t),}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +\mu )p_{k}(t)\quad {\text{ for }}k\leq K-1,\,}$

${\displaystyle p_{K}^{\prime }(t)=\lambda p_{K-1}(t)-(\lambda +\mu )p_{K}(t),\,}$

${\displaystyle p_{k}(t)=0\quad {\text{ for }}k>K.\,}$

定常状態確率が存在する場合、キューは平衡状態にあると言われます。M /M/1 キューの場合、これらの定常状態確率が存在する条件は であり、 M/M/C キューの場合はです。 パラメーターは通常、負荷パラメーターまたは使用率パラメーターと呼ばれます。トラフィック強度と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle \pi _{k}=\lim _{t\to \infty }p_{k}(t),\ k=0,1,\ldots ,}$${\displaystyle \rho =\lambda /\mu <1}$${\displaystyle \rho =\lambda /(C\mu )<1}$${\displaystyle \rho }$

M/M/1キューを例にとると、定常状態方程式は次のようになる。

${\displaystyle \lambda \pi _{0}=\mu \pi _{1},\,}$

${\displaystyle (\lambda +\mu )\pi _{k}=\lambda \pi _{k-1}+\mu \pi _{k+1}.\,}$

これは次のように要約できる。

${\displaystyle \lambda \pi _{k}=\mu \pi _{k+1}{\text{ for }}k\geq 0.\,}$

したがって、 を考慮すると、 ${\displaystyle \pi _{0}+\pi _{1}+\ldots =1}$

${\displaystyle \pi _{k}=(1-\rho )\rho ^{k}.}$

双生児出生死亡過程は、出生率と死亡率が指標パラメータの値に対して定義されているという点を除いて、標準的な出生死亡過程と同様に定義される。^[10]これに従うと、双生児出生死亡過程が再帰的であるのは、 ${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \mu _{i}}$${\displaystyle i=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty \quad {\text{and}}\quad \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\lambda _{-n}}{\mu _{-n}}}=\infty .}$

エルゴード性とヌル再帰の概念は、標準的な誕生と死の過程の対応する概念を拡張することによって同様に定義されます。

• アーラン単位
• 待ち行列理論
• キューイングモデル
• 擬似的な誕生と死のプロセス
• モラン法

• Latouche, G.; Ramaswami, V. (1999) 「擬似誕生死過程」確率モデルにおける行列解析法入門(第 1 版) ASA SIAM ISBN 0-89871-425-7。
• Nowak, MA (2006)。進化のダイナミクス：生命の方程式を探る。ハーバード大学出版局。ISBN 0-674-02338-2。
• Virtamo, J.「誕生-死のプロセス」（PDF）。38.3143 待ち行列理論。2019年12月2日閲覧。