行と列のスペース

行列Jが与えられた場合：

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\\-1&-2&1&0&5\\1&6&2&2&2\\3&6&2&5&1\end{bmatrix}}}$

行は ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\end{bmatrix}}}$、 ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}={\begin{bmatrix}-1&-2&1&0&5\end{bmatrix}}}$、 ${\displaystyle \mathbf {r} _{3}={\begin{bmatrix}1&6&2&2&2\end{bmatrix}}}$、 ${\displaystyle \mathbf {r} _{4}={\begin{bmatrix}3&6&2&5&1\end{bmatrix}}}$したがって、Jの行空間は、$\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}${ r ₁ , r ₂ , r ₃ , r ₄ }によって張られる。これらの 4 つの行ベクトルは線形独立であるため、行空間は 4 次元である。さらに、この場合、これらはすべてベクトルn = [6, −1, 4, −4, 0] ( nはJの核の要素) に直交することがわかるので、行空間はすべてのベクトルから構成されると推測できる。$\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$nに直交する。

Kをスカラーの体とする。Aをm × n行列とし、列ベクトルをv ₁ , v ₂ , ..., v _nとする。これらのベクトルの線形結合は、次の形式の任意のベクトルである。

${\displaystyle c_{1}\mathbf {v} _{1}+c_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n},}$

ここで、c ₁、c ₂、 ...、c _nはスカラーです。 v ₁、 ...、v _nのすべての可能な線形結合の集合は、Aの列空間と呼ばれます。つまり、Aの列空間は、ベクトルv ₁、 ...、v _nの張る空間です。

行列Aの列ベクトルの任意の線形結合は、Aと列ベクトルの積として表すことができる。

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}A{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}&=&{\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}a_{11}+\cdots +c_{n}a_{1n}\\\vdots \\c_{1}a_{m1}+\cdots +c_{n}a_{mn}\end{bmatrix}}=c_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}+\cdots +c_{n}{\begin{bmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}\\&=&c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}\end{array}}}$

したがって、行列Aの列空間は、 x ∈ K ⁿに対するすべての可能な積A xから構成されます。これは、対応する行列変換の像（または範囲）と同じです。

行列Aの列ベクトルは列空間を張りますが、列ベクトルが線形独立でない場合は基底を形成しない可能性があります。幸いなことに、基本行操作は列ベクトル間の依存関係に影響を与えません。そのため、行簡約を用いて列空間の基底を求めることが可能です。

例えば、行列を考えてみましょう。

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}.}$

この行列の列は列空間を張りますが、線形独立ではない場合があり、その場合は列の一部が基底を形成します。この基底を見つけるために、行列Aを簡約行階段形に変換します。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&3&1&4\\0&1&1&1\\0&2&2&-3\\0&-1&-1&4\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&1\\0&1&1&1\\0&0&0&-5\\0&0&0&5\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.}$^{[ 6 ]}

この時点で、第1、第2、第4列は線形独立であり、第3列は最初の2列の線形結合であることが明らかです。（具体的には、v ₃ = −2 v ₁ + v ₂です。）したがって、元の行列の第1、第2、第4列は列空間の基底となります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\2\\1\\1\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}3\\7\\5\\2\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}4\\9\\1\\8\end{bmatrix}}.}$

簡約行階段形の独立列は、まさにピボットを持つ列であることに注意してください。これにより、階段形に簡約するだけで、どの列が線形独立であるかを判断することが可能になります。

上記のアルゴリズムは、一般的に任意のベクトル集合間の依存関係を見つけたり、任意の生成集合から基底を選択したりするために使用できます。また、行列Aの列空間の基底を見つけることは、転置行列A ^Tの行空間の基底を見つけることと同等です。 

実用的な場面（例えば、大規模行列の場合）で基底を求めるには、通常、特異値分解が用いられる。

列空間の次元は、行列のランクと呼ばれます。ランクは、簡約行階段形におけるピボットの数に等しく、行列から選択できる線形独立な列の最大数です。例えば、上記の例の 4  ×  4 行列のランクは 3 です。

列空間は対応する行列変換の像であるため、行列のランクは像の次元と同じになります。たとえば、変換${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} ^{4}}$上記の行列で説明されるすべての${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ある三次元部分空間へ。

行列の零空間の次元は零空間の次元であり、簡約行階段形においてピボットを持たない列の数に等しい。^{[ 7 ]} n列の行列A のランクと零空間の次元は、次の式で関係付けられる。

${\displaystyle \operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n.\,}$

これはランク・ヌル性定理として知られています。

行列Aの左零空間は、 x ^T A = 0 ^Tを満たすすべてのベクトルxの集合です。これは、 Aの転置行列の零空間と同じです。行列A ^Tとベクトルxの積は、ベクトルの内積を用いて次のように表すことができます。

${\displaystyle A^{\mathsf {T}}\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {v} _{n}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},}$

A ^Tの行ベクトルはAの列ベクトルv _kの転置であるため、A ^T x = 0となるのは、 x がAの各列ベクトルに直交（垂直）である場合のみです。

したがって、左零空間（^ATの零空間）はAの列空間の直交補空間である。

行列Aの場合、列空間、行空間、零空間、左零空間は、4 つの基本部分空間と呼ばれることがあります。

同様に、環K上の行列の列空間 (右列空間と区別されることもある) は次のように定義できる。

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}c_{k}}$

任意のc ₁ , ..., c _nに対して、ベクトルm空間を「右自由モジュール」に置き換えることで、ベクトルv _kとスカラーc _kのスカラー乗算の順序が変わり、ベクトル–スカラーという通常とは異なる順序で記述される。^{[ 8 ]}

Kをスカラーの体とする。Aをm × n行列とし、行ベクトルをr ₁ , r ₂ , ..., r _mとする。これらのベクトルの線形結合は、次の形式の任意のベクトルである。

${\displaystyle c_{1}\mathbf {r} _{1}+c_{2}\mathbf {r} _{2}+\cdots +c_{m}\mathbf {r} _{m},}$

ここで、c ₁、c ₂、...、c _mはスカラーです。r 1、...、r _mのすべての可能な線形結合の集合は、Aの行空間と呼ばれます。つまり、Aの行空間は_、ベクトルr ₁、...、r _mの張る空間です。

例えば、

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\end{bmatrix}},}$

すると、行ベクトルはr ₁ = [1, 0, 2]およびr ₂ = [0, 1, 0]となります。 r ₁とr ₂の線形結合は、次の形式の任意のベクトルです。

${\displaystyle c_{1}{\begin{bmatrix}1&0&2\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}&c_{2}&2c_{1}\end{bmatrix}}.}$

このようなベクトルの集合は、Aの行空間です。この場合、行空間は、方程式z = 2 xを満たすベクトル( x , y , z ) ∈ K ³の集合です(デカルト座標を使用すると、この集合は3 次元空間の原点を通る平面になります)。

同次線形方程式系を表す行列の場合、行空間は、その系に含まれる方程式から導かれるすべての線形方程式から構成される。

Aの列空間はA ^Tの行空間と等しい。

行空間は基本行操作の影響を受けません。そのため、行簡約を用いて行空間の基底を求めることが可能です。

例えば、行列を考えてみましょう。

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&7&4\\1&5&2\end{bmatrix}}.}$

この行列の行は行空間を張りますが、線形独立ではない場合があり、その場合は行は基底になりません。基底を見つけるには、行列Aを行階段形に変換します。

r ₁、 r ₂、 r ₃は行を表します。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&3&2\\2&7&4\\1&5&2\end{bmatrix}}&\xrightarrow {\mathbf {r} _{2}-2\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{2}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\1&5&2\end{bmatrix}}\xrightarrow {\mathbf {r} _{3}-\,\,\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{3}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\0&2&0\end{bmatrix}}\\&\xrightarrow {\mathbf {r} _{3}-2\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{3}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {\mathbf {r} _{1}-3\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{1}} {\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

行列が階段行列になると、非ゼロの行が行空間の基底になります。この場合、基底は{ [1, 3, 2], [2, 7, 4] }です。別の可能な基底{ [1, 0, 2], [0, 1, 0] }は、さらに簡約することで得られます。^{[ 9 ]}

このアルゴリズムは、一般的にベクトル集合の張る空間の基底を求めるために使用できます。行列をさらに簡略化して簡約行階段形にすると、得られる基底は行空間によって一意に決定されます。

元の行列の行から行空間の基底を見つける方が便利な場合もあります（例えば、この結果は、行列の行列式ランクがそのランクに等しいことを初等的に証明するのに役立ちます）。行操作は行ベクトルの線形従属関係に影響を与える可能性があるため、このような基底は、 A ^Tの列空間がAの行空間に等しいという事実を利用して間接的に見つけられます。上記の例の行列Aを使用して、A ^Tを見つけ、行階段形に変換してください。

${\displaystyle A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&2&1\\3&7&5\\2&4&2\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&2\\0&0&0\end{bmatrix}}.}$

ピボットは、^ATの最初の2列がATの列空間の基底を形成することを示しています。したがって、 ^Aの最初の2行（行簡約を行う前）もAの行空間の基底を形成します。

行空間の次元は行列のランクと呼ばれます。これは、行列から選択できる線形独立な行の最大数、または同等にピボットの数と同じです。たとえば、上記の例の 3  ×  3 行列のランクは 2 です。^{[ 9 ]}

行列のランクは、列空間の次元にも等しい。零空間の次元は行列の零度と呼ばれ、ランクとは次の式で関係付けられる。

${\displaystyle \operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n,}$

ここでnは行列Aの列数である。上記の式はランク・ヌル性定理として知られている。

行列Aの零空間は、 A x = 0となるすべてのベクトルxの集合です。行列Aとベクトルxの積は、ベクトルの内積を用いて次のように表すことができます。

${\displaystyle A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {r} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {r} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},}$

ここで、r ₁、 ...、r _mはAの行ベクトルです。したがって、A x = 0は、 xがAの各行ベクトルに直交（垂直）である場合に限ります。

したがって、 Aの零空間は行空間の直交補空間となる。例えば、行空間が3次元空間において原点を通る平面である場合、零空間は原点を通る垂線となる。これはランク・零空間定理の証明となる（上記の次元を参照）。

行空間と零空間は、行列Aに関連付けられた4つの基本部分空間のうちの2つです（他の2つは列空間と左零空間です）。

VとWがベクトル空間である場合、線形変換T : V → Wの核とは、 T ( v ) = 0となるベクトルv ∈ Vの集合である。線形変換の核は、行列の零空間に相当する。

V が内積空間である場合、核の直交補空間は行空間の一般化と考えることができます。これはTの共像と呼ばれることもあります。変換Tはその共像に対して単射であり、共像はTの像に同型的に写像されます。

Vが内積空間でない場合、 Tの余像は商空間V / ker( T )として定義できる。