量子熱機関と冷蔵庫

量子熱機関は、高温の貯蔵庫と低温の貯蔵庫の間の熱流から電力を生成する装置である。この機関の動作メカニズムは、量子力学の法則によって説明できる。量子熱機関の最初の実現は、1959年にスコヴィルとシュルツ＝デュボアによって指摘され、 ^[1]カルノー機関と3レベルメーザーの効率の関係を示した。量子冷蔵庫は、電力を消費して冷熱槽から高温槽に熱を送り込むことを目的として、量子熱機関の構造を共有しており、これは最初にゲウジック、シュルツ＝デュボア、ド・グラス、スコヴィルによって提案された。^[2]電力がレーザーによって供給される場合、このプロセスは、ワインランドとヘンシュによって提案された光ポンピングまたはレーザー冷却と呼ばれる。^{[3] [4] [5]} 驚くべきことに、熱機関と冷蔵庫は単一粒子のスケールまで動作できるため、量子熱力学と呼ばれる量子理論の必要性が正当化される。^[6]

3準位増幅器は量子デバイスのテンプレートです。これは、誘導放出による光の増幅に使用される2つのエネルギー準位間の反転分布を維持するために、温浴と冷浴を使用することで動作します^[7] 基底状態準位（1-g）と励起準位（3-h）は、温度の温浴に結合されています。エネルギーギャップはです 。準位の分布が平衡になると、 ${\displaystyle T_{\text{h}}}$${\displaystyle \hbar \omega _{\text{h}}=E_{3}-E_{1}}$

${\displaystyle {\frac {N_{\text{h}}}{N_{\text{g}}}}=e^{-{\frac {\hbar \omega _{\text{h}}}{k_{\text{B}}T_{\text{h}}}}}}$

ここで はプランク定数、 はボルツマン定数です。冷温浴は基底準位 ( 1-g ) をエネルギーギャップを持つ中間準位 ( 2-c ) に結合します。準位2-cと1-g が平衡状態 になると、${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$${\displaystyle k_{\text{B}}}$${\displaystyle T_{\text{c}}}$${\displaystyle E_{2}-E_{1}=\hbar \omega _{\text{c}}}$

${\displaystyle {\frac {N_{\text{c}}}{N_{\text{g}}}}=e^{-{\frac {\hbar \omega _{\text{c}}}{k_{\text{B}}T_{\text{c}}}}}}$。

この装置は、レベル（3-h）とレベル（2-c）が外部周波数場に結合されると増幅器として動作します。最適な共振条件の場合 、増幅器が熱を電力に変換する効率は、仕事出力と熱入力の比です。 ${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \nu =\omega _{\text{h}}-\omega _{\text{c}}}$

${\displaystyle \eta ={\frac {\hbar \nu }{\hbar \omega _{\text{h}}}}=1-{\frac {\omega _{\text{c}}}{\omega _{\text{h}}}}}$。

場の増幅は、正のゲイン（反転分布）の場合にのみ可能です 。これは と同等です。この式を効率式に代入すると、次のようになります。 ${\displaystyle G=N_{\text{h}}-N_{\text{c}}\geq 0}$${\displaystyle {\frac {\hbar \omega _{\text{c}}}{k_{\text{B}}T_{\text{c}}}}\geq {\frac {\hbar \omega _{\text{h}}}{k_{\text{B}}T_{\text{h}}}}}$

${\displaystyle \eta =1-{\frac {\omega _{\text{c}}}{\omega _{\text{h}}}}\leq 1-{\frac {T_{\text{c}}}{T_{\text{h}}}}=\eta _{\text{c}}}$

ここで、はカルノーサイクル効率である。ゼロゲイン条件下では等式が得られる。量子増幅器とカルノー効率の関係は、スコヴィルとシュルツ・デュボアによって初めて指摘された：^[1]${\displaystyle \eta_{\text{c}}}$ ${\displaystyle G=0}$

電力を消費して冷浴から温浴に熱を送る動作を逆にすると、冷蔵庫が構成されます。逆転したデバイスの 性能係数(COP)として定義される冷蔵庫の効率は次のとおりです。

${\displaystyle \epsilon ={\frac {\omega _{\text{c}}}{\nu }}\leq {\frac {T_{\text{c}}}{T_{\text{h}}-T_{\text{c}}}}}$

量子デバイスは、連続的にも往復サイクルでも動作できる。連続デバイスには、太陽光を電力に変換する太陽電池、 出力が電流である熱電、出力がコヒーレント光であるレーザーなどがある。連続冷凍機の主な例は、光ポンピングとレーザー冷却である。^{[8] [9]} 古典的な往復エンジンと同様に、量子熱エンジンにも、異なるストロークに分割されたサイクルがある。ストロークとは、特定の操作（熱化、仕事の抽出など）が行われる時間セグメントである。隣接する2つのストロークは互いに交換できない。最も一般的な往復熱機械は、4ストローク機械と2ストローク機械である。往復装置は、カルノーサイクル^{[10] [11]}または オットーサイクル^[12]のいずれかで動作することが提案されている。

どちらのタイプでも、量子記述により、作動媒体の運動方程式と貯留層からの熱流を得ることができます。

一般的な熱力学サイクルのほとんどの量子バージョンが研究されており、例えばカルノーサイクル^[10]、^{[11] [13]、} スターリングサイクル^[14]、オットーサイクル^{[12] [15]}などが挙げられます。

オットーサイクルは、他の往復サイクルのテンプレートとして使用できます。

次の 4 つのセグメントで構成されています。

• セグメント等 磁気または等容積プロセス、一定のハミルトニアンの下での冷浴との部分的な平衡。作業媒体のダイナミクスはプロパゲータによって特徴付けられます。${\displaystyle A\rightarrow B}$ ${\displaystyle {U}/$
• セグメント磁化 または 断熱圧縮では、外部磁場が変化し、ハミルトニアンのエネルギーレベル間のギャップが拡大します。ダイナミクスはプロパゲータによって特徴付けられます。${\displaystyle B\rightarrow C}$ ${\displaystyle {U}_{\text{ch}}}$
• セグメント等磁化、または等容プロセスは、プロパゲータによって記述された熱浴との部分平衡です。${\displaystyle C\rightarrow D}$ ${\displaystyle U_{\text{h}}}$
• セグメント消磁または 断熱膨張により、ハミルトニアンのエネルギーギャップが減少し、伝播関数によって特徴付けられます。${\displaystyle D\rightarrow A}$ ${\displaystyle U_{\text{hc}}}$

4ストロークサイクルのプロパゲータは、セグメントプロパゲータの順序積である になります。 ${\displaystyle U_{\text{global}}}$

${\displaystyle {U}_{\text{global}}~~=~~{U}_{\text{hc}}{U}_{\text{h}}{U}_{\text{ch}}{U}_{\text{c}}}$

プロパゲーターは、動作媒体の状態を完全に決定するベクトル空間上で定義される線形演算子です。すべての熱力学サイクルに共通して、連続するセグメントのプロパゲーターは交換されません。交換可能なプロパゲーターは、ゼロの電力をもたらします。 ${\displaystyle [{\ U}_{i},{U}_{j}]\neq 0}$

往復量子熱機関では、作動媒体はスピンシステム^[16]や調和振動子^[17]などの量子システムです。最大出力を得るには、サイクル時間を最適化する必要があります。往復冷凍機には、サイクル時間と内部タイムスケール という2 つの基本的な時間スケールがあります。一般に、エンジンが準断熱状態で動作する場合。唯一の量子効果は、デバイスのエネルギー単位がではなく になる低温で見られます。この限界での効率は であり、常にカルノー効率よりも小さくなります。高温で調和作動媒体の場合、最大出力での効率は になり、これは内可逆熱力学の結果です。^[17]${\displaystyle \tau _{\text{cyc}}}$${\displaystyle 2\pi /\omega }$${\displaystyle \tau _{\text{cyc}}\gg 2\pi /\omega }$${\displaystyle \hbar \omega }$${\displaystyle k_{\text{B}}T}$${\displaystyle \eta =1-{\frac {\omega _{\text{c}}}{\omega _{\text{h}}}}}$ ${\displaystyle \eta _{\text{c}}}$${\displaystyle \eta =1-{\sqrt {\frac {T_{\text{c}}}{T_{\text{h}}}}}}$

サイクル時間が短いと、作動媒体は外部パラメータの変化に断熱的に追従できません。これにより、摩擦のような現象が発生します。システムをより高速に駆動するには、追加の電力が必要です。このようなダイナミクスの特徴は、余分な散逸を引き起こすコヒーレンスの発達です。驚くべきことに、摩擦につながるダイナミクスは量子化されており、断熱膨張/圧縮に対する摩擦のないソリューションが有限時間内に見つかることを意味します。^{[18] [19]}結果として、最適化は熱輸送に割り当てられた時間に関してのみ実行する必要があります。この状態では、コヒーレンスの量子特性によりパフォーマンスが低下します。コヒーレンスをキャンセルできるときに、最適な摩擦のないパフォーマンスが得られます。

最も短いサイクルタイムは突然のサイクルとも呼ばれ、^[20]普遍的な特徴を持っています。この場合、コヒーレンスはサイクルのパワーに寄与します。 ${\displaystyle \tau _{\text{cyc}}\ll 2\pi /\omega }$

2つの量子ビットに基づくオットーサイクルに相当する2ストロークエンジン量子サイクルが提案されている。最初の量子ビットは周波数を持ち、2番目の量子ビットは周波数を持つ。サイクルは、2つの量子ビットを並列の温水浴と冷水浴で部分的に平衡化する最初のストロークで構成される。2番目のパワーストロークは、量子ビット間の部分的または完全なスワップで構成される。スワップ操作は、エントロピーを保存するユニタリー変換によって生成される ため、純粋なパワーストロークとなる。^{[21] [22]}${\displaystyle \omega _{\text{h}}}$${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$

量子オットーサイクル冷凍機は磁気冷凍と同じサイクルを共有している。^[23]

連続量子エンジンはタービンの量子アナログである。仕事出力メカニズムは外部周期場、典型的には電磁場と結合している。したがって、熱エンジンはレーザーのモデルである。^[9] モデルは、作業物質と熱源およびシンクの選択によって異なる。外部駆動の2レベル、^[24] 3レベル^[25] 4レベル^{[26] [27]}および結合調和振動子^[28]が研究されてきた。

周期的な駆動により、作動媒体のエネルギーレベル構造が分割されます。この分割により、2レベルエンジンは温浴と冷浴に選択的に結合して電力を生成することができます。一方、運動方程式の導出においてこの分割を無視すると、熱力学の第二法則に違反することになります。^[29]

量子熱機関には非熱燃料が検討されている。そのアイデアは、熱浴のエントロピーを増加させずに熱浴のエネルギー含有量を増やすことである。これはコヒーレンス^{[30]または圧縮熱浴[31]}を使用することで達成できる。これらの装置は熱力学の第二法則に違反しない。

2ストローク、4ストローク、連続エンジンは、それぞれ非常に異なっています。しかし、これらすべてのエンジンが互いに熱力学的に等価になる量子状態が存在することが示されました^[32]。等価状態におけるサイクル内ダイナミクスはエンジンの種類によって大きく異なりますが、サイクルが完了すると、それらはすべて同じ量の仕事を提供し、同じ量の熱を消費することがわかります（したがって、効率も同じです）。この等価性は、一貫した仕事抽出メカニズムに関連しており、古典的な類似物はありません。これらの量子特性は実験的に実証されています。^[33]

基本的な例は、準平衡状態で動作します。その主な量子特性は、離散的なエネルギー レベル構造です。より現実的なデバイスは、摩擦熱の漏れと有限の熱流を伴う平衡状態で動作しません。 量子熱力学は、熱機関などの平衡状態ではないシステムに必要な動的理論を提供し、熱力学にダイナミクスを導入します。開放量子システムの理論は、基本理論を構成します。熱機関の場合、作動物質のダイナミクスの簡略化された記述が求められ、熱浴と冷浴がトレースされます。出発点は、複合システムの一般的なハミルトニアンです。

${\displaystyle H=H_{\text{s}}s+H_{\text{c}}+H_{\text{h}}{\text{h}}+H_{\text{sc}}+H_{\text{sh}}}$

そして、システムハミルトニアン は時間に依存します。簡約された記述はシステムの運動方程式につながります。 ${\displaystyle H_{\text{s}}(t)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\rho =-{\frac {i}{\hbar }}[H_{\text{s}},\rho ]+L_{\text{h}}(\rho )+L_{\text{c}}(\rho )}$

ここで、は作動媒体の状態を記述する密度演算子であり、は熱浴からの熱輸送項を含む散逸ダイナミクスの生成子です。この構成を使用すると、サブシステムのエネルギーの総変化は次のようになります。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle L_{\text{h/c}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}E=\left\langle {\frac {\partial H_{\text{s}}}{\partial t}}\right\rangle +\langle L_{\text{h}}(H_{\text{s}})\rangle +\langle L_{\text{c}}(H_{\text{s}})\rangle }$

熱力学第一法則の動的バージョンにつながる：^[6]

• パワー${\displaystyle P=\left\langle {\frac {\partial H}{\partial t}}\right\rangle }$
• 熱流と。${\displaystyle J_{\text{h}}=\langle L_{\text{h}}(H_{\text{s}})\rangle }$${\displaystyle J_{\text{c}}=\langle L_{\text{c}}(H_{\text{s}})\rangle }$

エントロピー生成率は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=-{\frac {J_{\text{h}}}{T_{\text{h}}}}-{\frac {J_{\text{c}}}{T_{\text{c}}}}\geq 0}$

量子力学の全体構造は、簡約された記述の導出に反映されています。熱力学の法則と一致する導出は、弱結合限界に基づいています。熱力学的な理想化では、システムと浴は相関がないと仮定します。つまり、結合されたシステムの全体的な状態は常にテンソル積になります。

${\displaystyle \rho =\rho _{\text{s}}\otimes \rho _{\text{h}}\otimes \rho _{\text{c}}~.}$

これらの条件下では、運動の動的方程式は次のようになる。 ここで、はシステムのヒルベルト空間で記述されるリウヴィル超演算子であり、リザーバーは暗黙的に記述される。量子開放系の形式主義では、はゴリーニ-コサコフスキー-スダルシャン-リンドブラッド（GKS-L）マルコフ生成器の形を取ることができ、単にリンドブラッド方程式としても知られている 。^[34]弱結合領域を超える理論が提案されている。^{[35] [36] [37]}${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\rho _{\text{s}}={L}\rho _{\text{s}}~,}$${\displaystyle {L}}$${\displaystyle L}$

吸収冷凍機は、自律 型量子デバイスを設定する上で独特の重要性を持っています。このようなデバイスは外部電源を必要とせず、操作のスケジュール設定に外部からの介入なしに動作します。^{[38] [39] [40]}基本的な構造には、電力浴、温浴、冷浴の3つの浴槽が含まれます。三輪車モデルは吸収冷凍機のテンプレートです。

三輪エンジンは一般的な構造を持っています。基本モデルは、温度 の温浴、温度 の冷浴 、温度 の作業浴の3 つの熱浴で構成されています。 ${\displaystyle T_{\text{h}}}$${\displaystyle T_{\text{c}}}$${\displaystyle T_{\text{d}}}$

各バスは、3 つの発振器でモデル化できる周波数フィルターを介してエンジンに接続されます。

${\displaystyle H_{0}=\hbar \omega _{\text{h}}a^{\dagger }a+\hbar \omega _{\text{c}}b^{\dagger }b+\hbar \omega _{\text{d}}c^{\dagger }c~~,}$

ここで、、およびは 共振におけるフィルタ周波数です。 ${\displaystyle \omega _{\text{h}}}$${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$${\displaystyle \omega _{\text{d}}}$${\displaystyle \omega _{\text{d}}=\omega _{\text{h}}-\omega _{\text{c}}}$

この装置は、冷浴と作業浴から励起を除去し、熱浴に励起を生成することで冷凍機として動作します。 ハミルトニアンの項は非線形であり、エンジンや冷凍機にとって重要です。 ${\displaystyle a^{\dagger }bc}$

${\displaystyle H_{I}=\hbar \epsilon \left(ab^{\dagger }c^{\dagger }+a^{\dagger }bc\right)~~,}$

結合強度は どこにあるか。${\displaystyle \epsilon }$

熱力学の第一法則は、3 つの浴槽から発生し、システム上で集束する熱流のエネルギー バランスを表します。

${\displaystyle {\frac {dE_{\text{s}}}{dt}}={J}_{\text{h}}+{J}_{\text{c}}+{J}_{\text{d}}~~.}$

定常状態では三輪車に熱は蓄積されないので、 となります。さらに、定常状態ではエントロピーは浴槽内でのみ生成されるため、熱力学の第二法則が成立します。 ${\displaystyle {\frac {dE_{\text{s}}}{dt}}=0}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\Delta {S}_{\text{u}}~=~-{\frac {{J}_{\text{h}}}{T_{\text{h}}}}-{\frac {{J}_{\text{c}}}{T_{\text{c}}}}-{\frac {{J}_{\text{d}}}{T_{\text{d}}}}~\geq ~0~~.}$

このバージョンの第二法則は、クラウジウスの定理の記述を一般化したものです。熱は冷たい物体から熱い物体へ自然に流れることはありません。温度が のとき、電力浴にエントロピーは生成されません。エントロピー生成を伴わないエネルギー電流は、 純粋な電力を生成することと同等です。 ここで、 は電力出力です。 ${\displaystyle T_{\text{d}}\rightarrow \infty }$${\displaystyle {P}={J}_{\text{d}}}$${\displaystyle {P}}$

熱力学の第 3 法則には、一見 2 つの独立した定式化があり、どちらも元々はヴァルター・ネルンストによって述べられました。最初の定式化はネルンストの熱定理として知られ、次のように表現できます。

• 熱力学的平衡にある純物質のエントロピーは、温度がゼロに近づくにつれてゼロに近づきます。

2番目の定式化は動的なものであり、到達不可能原理として知られている。^[41]

• どのような手順であっても、どれだけ理想化されたものであっても、有限回数の操作でアセンブリを絶対零度まで下げることは不可能です。

定常状態では、熱力学の第二法則により、総エントロピー生成は非負となる。冷浴が絶対零度に近づくと、冷側でのエントロピー生成発散をなくす必要がある。 ${\displaystyle T_{\text{c}}\rightarrow 0}$

${\displaystyle {\dot {S}}_{\text{c}}\propto -T_{\text{c}}^{\alpha }~~~,~~~~\alpha \geq 0~~.}$

第二法則の実現は、他の浴のエントロピー生成に依存し、それが冷浴の負のエントロピー生成を補償するはずです。第三法則の最初の定式化は、この制限を修正します。代わりに、第三法則は を課し、絶対零度で冷浴でのエントロピー生成がゼロになることを保証します。この要件は、熱流のスケーリング条件につながります。 ${\displaystyle \alpha =0}$${\displaystyle \alpha \geq 0}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle {\dot {S}}_{\text{c}}=0}$${\displaystyle {J}_{\text{c}}\propto T_{\text{c}}^{\alpha +1}}$

2番目の定式化は、達成不可能原理として知られており、次のように言い換えることができる。^[42]

• いかなる冷蔵庫も、有限の時間内にシステムを絶対零度まで冷却することはできません。

冷却プロセスのダイナミクスは次の式で表されます。

${\displaystyle {J}_{\text{c}}(T_{\text{c}}(t))=-c_{V}(T_{\text{c}}(t)){\frac {dT_{\text{c}}(t)}{dt}}~~.}$

ここで は浴の熱容量である。 およびを とすると、冷却過程の 特性指数を評価することでこの定式化を定量化できる。${\displaystyle c_{V}(T_{\text{c}})}$${\displaystyle {J}_{\text{c}}\propto T_{\text{c}}^{\alpha +1}}$${\displaystyle c_{V}\sim T_{\text{c}}^{\eta }}$${\displaystyle {\eta }\geq 0}$${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle {\frac {dT_{\text{c}}(t)}{dt}}\propto -T_{\text{c}}^{\zeta },~~~~~T_{\text{c}}\rightarrow 0,~~~~~{\zeta =\alpha -\eta +1}}$

この方程式は、特性指数との関係を導入します 。 すると、浴槽は有限時間内に 0 度まで冷却され、第 3 法則に違反することになります。 最後の方程式から、到達不可能原理はネルンストの熱定理よりも制限が厳しいことがわかります。 ${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \zeta <0}$

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